Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 29
Текст из файла (страница 29)
2гв Доказательство. Пусть А и  — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть Π— точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с осноа ванием АВ и углами при основании, равными —, А В где а — угол многоугольника. Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны а многоугольника, а углы при вершине В равны —.
Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, а равным —, т, е. СО есть биссектриса угла С. Теперь соединяем точку О с вершиной Ю, соседней с С, и доказываем, что треугольник СОВ Рве. 280 Многоугольники Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около ок- ружности.
равнобедренный и ХЮ вЂ” биссектриса угла В многоугольника. И т. д. В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана. Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр.
Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника. 116. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников Найдем радиус В описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон и (рис. 281).
Имеем: 180' В = ОВ = —. 2 а1а — „ а г=ОС= — = 18 Р 180 218 Для правильного 1равностороннего) тре- 180' о угольника и = 3, р = = 60 . а а а а 2а1п 60' Яз ' 218 60 БАГЗ 172 Длл правильного четырехугольника (ква- 180' в дратв) п=4,р= =46 . 4 в в в а в > 2в!п 45' Ч'2 ' 213 45' 2 Длл правильного шестиугольника и = 6, 18о 30 6 В=, .=а,г= а а а13 2в!и 30' 218 30' 2 Задача (16). Найдите выражения для стороны а„правильного и-угольника через радиус В описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности.
Вычислите а„при и = 3, 4, 6. Решение. вв Так как В= 180 2 81п , то отсюда сле- дует: а„= 2В81п „. В частности, 180 аз=В'ч'3, а =В чГ2, ае=В. вв Так как г = , то отсюда следу- 180 2 13 ет: а„= 2г $6180'. В частности, 2г а = 2гч'3, а = 2г, ае= Гз 117. Построение некоторых правильных многоугольников Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол. У правильного шести- З6О' угольника такой угол равен = 60 .
Поэтому для 6 построения правильного шестиугольника одну вершину (А,) на окружности берем произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем вершину Аг Рпе. 282 (рис. 282). Затем аналогично строим остальные вершины Аз, А4, А, А и соединяем их отрезками. Для построения правильного вписанного треугольника достаточно соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 283). Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые.
Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 284). Для построения правильного описанного многоугольника достаточно провести касательные к окружности в вершинах правильного вписанного многоугольника. Касательные, проходящие через вершины правильного вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного описанного многоугольника (рис. 286).
Если в окружность вписан правильный л-угольник, то легко построить правильный вписанный 2п-угольник. На рисунке 286 показано построение правильного восьмиугольника. Рис. 283 Рис. 284 118. Подобие правильных выпуклых многоугольников Теорема Правильные выпуклые и-угольники подобны. В част- ности, если у них стороны одинаковы, то они равны.
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р;. А,Аз ... А„, Р;. В,В, ... „— правильные выпуклые п-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением. Треугольники А,АзАз и ВзВзВз равны по первому признаку. У них А,Аз = В1Вз, АзАз = ВзВз н ~А1АзАз = ~В1ВзВз. Подвергнем многоугольник Р, движению, при котором его вершины А„Аз, Аз переходят в вершины В„Вз, Вз соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А4 р, 288 174 9 ккиск Рис.
286 у правильных в-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окруж- ностей равны. 119. Длина окружности Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности. Как найти длину окружности, в, Рис.
287 1 75 Многокго.гоники перейдет в некоторую точку С. Точки В4 и С лежат по одну сторону с точкой В, относительно прямой ВэВэ. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то ~ВэВзС = ~.ВзВзВ4 и ВэС = ВэВ4. А значит, точка С совпадает с точкой В4. Итак, при нашем движении вершина А4 переходит в вершину В4. Далее таким же способом заключаем, что вершина Ао переходит в вершину Во и т. д.
То есть многоугольник Р, переводится движением в многоугольник Р„ а значит, они равны. Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Р, преобразованию подобия, например гомотетии, с коэффив,в, циентом подобия Й= л При этом получим праАг44 вильный и-угольник Р' с такими же сторонами, как и у многоугольника Р,. По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Р, а значит, многоугольник Р, переводится в многоугольник Р, преобразованием подобия и движением.
А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана. У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных п-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры в-угольников тоже относятся как стороны, то зная ее радиус7 Ясно, что при неограниченном увеличении числа сторон вписанного в окружность правильного многоугольника его периметр неограниченно приближается к длине окружности (рис. 288).
Исходя из этого, докажем некоторые свойства длины окружности. Теорема Отношение длины окружности к ее диаметру не за- висит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей. Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть В1 и Вг — их радиусы, а 11 и 12 — их длины.
Допустим, что утверждение теоремы неверно и — ~ — „например: 2Н1 2Н2 1 2 — < —. 2Н1 2В2 (*) Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых п-угольников относятся как радиусы описанных окружностей: Р1 Н1 Рг Н,' Р1 Рг Отсюда — = . А это противоречит Нг неравенству (**). Теорема доказана. Рис. 288 Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон и. Если п очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров р1 и рг вписанных многоугольников. Поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить 11 на Р1 а 12 на Рг' Р1 Рг — <— (**) Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой д (читается «пи»): — =х, Число н иррациональное.
Прибли2В женное значение х = 3,1416. Приближенное значение числа х было известно уже древним грекам. Очень простое прибли- 22 женное значение х нашел Архимед: —. Оно отли- 7 чается от точного значения меньше чем на 0,002. Так как — =х. то длина окружности 2В вычисляется по формуле Архимед — древне- греческий ученый (111 в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
