Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 31
Текст из файла (страница 31)
По радиусу В = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45', 2) 30', 3) 120', 4) 45'45", 5) 60'30', 6) 150 36'. 47. По данной хорде а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60', 2) 90; 3) 120. 48. По данной длине дуги «найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60'; 2) 90', 3) 120'. 49. Найдите радианную меру углов: 1) 30', 2) 45', 3) 60*. 50. Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если Л.А = 60', л'В = 45'. 51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна: 1) —; 2) —; 3) —; 4) — "; 5) — "; 6) —. а) в 2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей. 3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Если квадрат, о котором идет речь в определении, имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных метрах (м ). Если сторона квадрата 100 м, то площадь будет в гектарах. Если сторона квадрата 1 км, то площадь будет в квадратных километрах и т. п. в, 122. Площадь прямоугольника Найдем площадь прямоугольника со сторонами а, Ь. Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.
Пусть АВСВ и АВ1С1Ю вЂ” два прямоугольника с общим основанием АЗ (рис. 296, а). Пусть В и Я1 — их площади. Докажем, что Я А — . Разобьем сторону АВ прямоугольника на Я1 А1В1 ' большое число и равных частей, каждая из них рав- АВ на „. Пусть т — число точек деления, которые лежат на стороне АВ,. Тогда ( — „)т <АВ1<( — „) (т+ 1). Отсюда, разделив на АВ, получим: аг 1 т 1 — ( — ( — + —. и',1В'за' (*) Рис.
266 (33 Площади Фигур Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию А)л. Они разобьют прямоугольник АВСВ на и равных прямоугольников. КажЯ дый из них имеет площадь — „. Прямоугольник АВ1С1лл содержит первые т прямоугольников, считая снизу, и содержится в т + 1 прямоугольниках. Поэтому Отсюда т 1 т 1 — « — — +— и ' я ' и и (**) Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа АЯ1 Я т т 1 АВ Я вЂ” и — заключены между и — + —. Поэтому и и и' 1 они отличаются не более чем на —. А так как п и можно взять сколь угодно большим, что это может Щ Я1 быть только при — = —, что и требовалось доказать. АВ Я' Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами а, Ь (рис.
296, б). Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь: Я' а Я Ь и 1 1 Я' 1 Перемножая эти равенства почленно, по- лучим: В = аЬ. Итак, площадь прямоугольника со сторонами а, Ь вычис- ляется по формуле В = аЬ, 18Л 9 клика 1 23. Площадь параллелограмма Пусть АВСР— данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов — А или  — острый. Пусть для определенности угол А острый, как изображено на рисунке 297. Опустим перпендикуляр АЕ из вершины А на прямую СР. Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей параллелограмма АВСР и треугольника АРЕ. Опустим перпендикуляр ВР из вершины В на прямую СР.
Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей прямоугольника АВВЕ и треугольника ВСЕ. Прямоугольные треугольники АРЕ и ВСЕ равны, а значит, имеют равные площади.. Отсюда следует, что площадь параллелограмма АВСР равна площади прямоугольника АВВЕ, т. е. равна АВ ВЕ.
Отрезок ВГ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам АВ и СР. Рис. 297 Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 124. Площадь треугольника Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 298). Дополним этот треугольник до параллелограмма АВСР, как указано на рисунке. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников АВС и СРА. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника АВС.
Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, равна высоте треугольника АВС, проведенной к стороне АВ. Отсюда следует, что В Рис. 298 площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту: Я= — аа 1 2 Докажем теперь, что а) площадь треугольника равна половине произведе- ния двух любых его сторон на синус угла между ни- ми. Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис.
299). Докажем, что 1 Я= — АВ АС зшА. 2 Проведем в треугольнике АВС высоту ВР. С Р А Имеем: Я=-АС ВР. 1 2 Из прямоугольного треугольника АВР ВР =АВ з1п а, если угол а острый (рис. 299, а), ВР = АВ з1п (180* — а), если угол а тупой (рис. 299, б). Так как з)п (180' — а) = з1п а, то в любом случае ВР = = АВ з(п а. Следовательно, площадь треугольника 1 Я= — АС АВ з1пА, что и требовалось доказать.
2 Рзс. 299 135 и. смаэи фиггг 125. Формула Герона для площади треугольника Задача (29). Выведите формулу Герона для площади треугольника: Я = гдеа,Ь,с— аеЬес длины сторон треугольника, а р= — полупериметр. Решение. 1 Имеем: Я=-аЬв1пу, где у — угол тре- 2 угольника, противолежащий стороне с. По теореме косинусов с = а + Ь вЂ” 2аЬ сов у. авеЬ2 — са Отсюда сов у = . Значит, в1п у= 1 сов у=(1 сову)(1+сову)= 2аь а2 ь2 е св 2аь+ а2+ ь2 с2 2аЬ 2аЬ св — (а — Ь)2 (а е Ь)2 — сз 2аЬ 2аЬ 1 (с — а + Ь)(с + а — Ь)(а + Ь вЂ” с)(а + Ь + с).
4аВЬ2 Замечая, что а + Ь + с = 2р, а + Ь вЂ” с = 2р — 2с, а + с — Ь = 2р — 2Ь, с — а + Ь = 2р — 2а, получаем: 2 в1п у = — р(р — а)(р — Ь)(р — с), 1 Таким образом, Я= — аЬв1пу = 2 1 26. Площадь трапеции Пусть АВСР— данная трапеция (рис. 300).
Диагональ трапеции АС разбивает ее на два треугольника: АВС и СРА. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна 1 — АВ СЕ. площадь треугольника АСР равна 2 РР С ' Герон Александрийский — древнегреческий ученый, 1 в. н. э. 186 В класс 1 Рис. 300 — РС АР. Высоты СЕ и АР этих треугольников рав- 2 ны расстоянию между параллельными прямыми АВ и СР. Это расстояние называется высотой трапеции. Следовательно, площадь трапеции равна произведению полусуммы а+Ь ее оснований на высоту: Я= 2 Ь.
Задача (40). Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, Решение. Рис. 301 Площадь Я четырехугольника равна сумме площадей треугольников АВС и АРС (рис. 301)." Я= — АС ВЕ+ — АС РЕ= 1 2 2 = — АС ВО . 21п а+ — АС РО 21п а = 1 . 1 2 1 = — АС в1п а (ВО + ОР) = — АС ВР в1п а, 2 что и требовалось доказать. 127.
Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника Задача (42). Выведите следующие формулы для радиусов описанной (В) и вписанной (г) окружностей тре- аЬс 2Я угольника: В= —, г= , где а, Ь, с — стороны 4Я а+Ь+с треугольника, а Я вЂ” его площадь. Решение. Начнем с формулы для В. Как мы знаем, а В= —,, где а — угол, противолежащии стороне а 2в1иа треугольника. Умножая числитель и знаменатель пра- 1 вой части на Ьс и замечая, что — Ьсв1па=Я, полу- 2 чим." аЬс В=— 4Я 187 и шааа ф ас Выведем формулу для г (рис. 302). Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ОАВ, ОВС и ОСА: 1 1 1 Я =-сг+-аг+-Ьг. 2 2 2 2Я Отсюда г= аьЬ+с А Ь Рис. 302 128. Площади подобных фигур Пусть Г' и Г'" — две подобные простые фигуры.
Выясним, как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны, то существует преобразование подобия, при котором фигура Г' переходит в Фигуру Г". Разобьем фигуру Г' на треугольники а1;, Ь'и слз, ... (рис. 303). Преобразование подобия, переводящее фигуру Г' в фигуру Г", переводит эти треугольники в треугольники Ь",,,б", б"з, ... разбиения фигуры Г". Площадь фигуры Г' равна сумме площадей треугольников Ц, Ь', ..., а площадь фигуры Г" равна сумме площадей треугольников Ь, Ь", .... Если коэФфициент подобия равен й, то размеры треугольника Л'„' в й раз больше соответствующих размеров треугольника а'„.
В частности, стороны и высоты треугольника Ь'„' в й раз больше соответствующих сторон и высот треугольника Ь'„. Отсюда следует, что 3~11 ) й2В~Р Складывая эти равенства почленно, получим: В ~Г ) й2 В ~Г) КоэФфициент подобия й равен отношению соответствующих линейных размеров Фигур Г" и Г'.
Поэтому площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. 129. Площадь круга Если фигура простая, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольников, то ее площадь равна сумме площадей этих треугольников. Р„. 3О3 Для произвольной фигуры площадь определяется следующим образом. 1о8 э класс Данная фигура имеет площадь Я, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от Я. Применим это определение к нахождению площади круга.
Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом (рис. 304). Площадь круга равна половине произведения дли- ны ограничивающей его окружности на радиус. Докажем это. Построим два правильных и-угольника: Р, — вписанный в круг и Рв — опи- санный около круга (рис.
305). Многоугольники Р, и Рв являются простыми фигурами. Многоугольник Р, содержит круг, а многоугольник Р, содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоуголь- ника Р„разбивают его на и треугольников, равных треугольнику АОО. Поэтому Яг = пЯ,що. Так как Явор = АС ОС = АС АО соз а, то ра Яр, = (лАС) АО соэ а = †с а, где р — периметр многоугольника Є — радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольнив' Яб яЯВОг' Явог =АВ АО= 'АО сова (оАС)АО рд сова 2сова Итак, многоугольник Р„содержащийся ра в круге, имеет площадь Яд = — сова, а многоугольник Р„содержащий круг, имеет площадь рк е 2сова Так как при достаточно большом и периметр Р отличается сколь угодно мало от длины ( окружности, а соз а сколь угодно мало отличается от Рис. 304 Рис. 305 1 В9 п..шаве Е-лр единицы, то площадь многоугольников Р, и Р, сколь СВ угодно мало отличаются от —.
Согласно определе- 2 И нию это значит, что площадь круга Я = — = яВ, что и требовалось доказать. Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 306). Площадь кругового сектора вычисляется по формуле кд 2 Я= — а, 360 где  — радиус круга, а — градусная мера соответ- ствующего центрального угла. Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
