Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (991112), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рис. 244 Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Пусть СХл — биссектриса треугольника АВС (рис. 244). Если треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в атом случае биссектриса СХ> является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС ~ ~ ВС.
Опустим перпендикуляры АР и ВЕ из вершин А и В на прямую СХ>. Прямоугольные треугольники АСЕ и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС АЕ ВС ВЕ Прямоугольные треугольники АОГ и ВВЕ тоже подобны. У них углы при вершине Ю равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: Ас АВ ВЕ ВВ ' Сравнивая это равенство с предыдущими, получим: АС АВ АС ВС вЂ” — или ВС ВВ АВ ВП ' т. е.
отрезки АХ) и ВХ) пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать. 1 52 Э класс 107. Углы, вписанные в окружность а Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 246 закрашен один из плоских углов со сторонами а и Ь, Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными. Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360' — а, где а — градусная мера дополнительного плоского угла (рис.
246). Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть Рис 246 окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 247). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 248 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС.
Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу. Теорема Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. Рис.
248 Рис. 247 Рис. 246 153 пологие фигур а) Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 249, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.
Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра ВР (рис. 249, б, в). В случае, представленном на рисунке 249, б, ~АВС = ~СВР + ~АВР = 1 1 1 2 = — а-СОР + 2 а'.АОР = — ~АОС. В случае, представленном на рисунке 249, в, ~АВС = ~СВР— УАВР = 1 1 1 = — ~-СОР— 2 с'-АОР = 2 ~АОС.
2 в) Теорема доказана полностью. Из теоремы 11.5 следует, что вписанные утлы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по од- ну сторону от прямой АВ, равны (рис. 250). В ча- стности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые. 1 08. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности Рис. 240 Если хорды АВ и СР окружности пересекаются в точке Я, то АЯ ВЯ = СЯ РЯ. Докажем сначала, что треугольники АБР и СЯВ подобны (рис. 251). Вписанные углы РСВ и РАВ равны по следствию из теоремы 11.5. Углы АЯР и ВЯС равны как вертикальные.
Из равенства указанных углов следует, что треугольники АЯР и СЯВ подобны. Рис. 250 154 Э класс Из подобия треугольников следует пропорция ЮВ АЯ ВВ СВ ' Отсюда АВ ВВ=СЯ ВЯ, что и требовалось доказать. Рис. 251 Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, В соответственно, то АР ВР = СР ВР. Пусть точки А и С вЂ” ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники РАЗ и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и В равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция РЛ ж> РС РВ Отсюда РА РВ = РС РВ, что и требовалось доказать. Рис.
252 1 55 Подосиг Фогрр Контрольные вопросы 1. Что такое преобразование подобия? 2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэФфициент гомоте- 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. б. Какие фигуры называются подобными? 6.
Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников? 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугол гольников по двум сторонам и углу между ними. 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.
10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть сред- нее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 11. Докажите,что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
12. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежа- Задачи Пункт 100 При гомотетии точка Х переходит в точку Х, а точка У вЂ” в точку У'. Как найти центр гомотетии, если точки Х, Х', У, У' не лежат на одной прямой? При гомотетии точка Х переходит в точку Х'. Постройте центр гомотетии, если коэффициент гомотетии равен 2.
Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему тре- угольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и ко- эффициент гомотетии равным 2. На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе 1: 1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину.). 3 Пункт 102 5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику? 6. У подобных треугольников АВС и А,В,С, ~А=30', АЗ=1 м, ВС = 2 м, В~С~ = 3 м. Чему равны угол А~ и сторона А,В,? Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окруж- ность. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, каса- ющуюся сторон угла и проходящую через точку А.
Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вер- шины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах. Пункт 103 Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треу- 10. 156 э класс щую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. 13.
Что такое плоский угол? 14. Что такое центральный угол? 15. Какой угол называется вписанным в окружность? 16. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла. 17. Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих. гольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону. 12. У треугольников АВС и А,В,С, ~А = ~А,, ~В = ~В„АВ = = 5 м, ВС,= 7 м, А,В, = 10 м, А С, = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников. 13.
Решите задачу 12 при условии, что АВ = 16 см, ВС = 20 см, А,В, = 12 см, АС вЂ” А,С, = 6 см. 14. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущен ная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. 15. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересе- кает его сторону АС в точке А„а сторону ВС в точке В,. Докажите„что ЬАВС ЛА,В,С. 16.
В треугольник с основанием а и высотой Ь вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а дру- гие две — на боковых сторонах (рис. 253). Вычислите сторону квадрата. его сторону АС в отношении т: и, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС? 18.
В треугольнике АВС проведен отрезок РЕ, параллельный сто- роне АС (конец Р отрезка лежит на стороне АВ, а Š— на сто- роне ВС). Найдите АР, если АВ = 16 см, АС = 20 см и РЕ = 15 см. 19. В задаче 18 найдите отношение АР: В1), если известно, что АС: РЕ = 55: 28. 20. Найдите длину отрезка РЕ в задаче 18, если: 1) АС = 20 см, АВ = 17 см и ВР = =11,9см;2) АС=18дм,АВ=15дм и АР = 10 дм. 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
