Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Простейшие математические моделиэкономических процессовОчень часто одинаковыми или «похожими» уравнениями описываются процессы и явления из самых разныхсфер окружающего мира. Поэтому методы, разработанные для математического моделирования одних явлений, относительно легко, «по аналогии», могут бытьперенесены на широкие классы совсем других процессов.4.1. В среднем по времени реальный доход страны, как правило,растет.
Бывают периоды, когда он падает (периоды рецессий), но в долгосрочном аспекте происходит рост. Экономический рост — актуальнейшая проблема макроэкономики — раздела экономической теории, в котором изучаются проблемы экономики в целом: экономический рост,кризисы, инфляция, безработица и т. д.Рассмотрим динамику отдельной экономики в долгосрочном периоде, считая, что ее состояние в любой момент времени t описываетсясовокупностью следующих величин: D(t) — объем конечного продукта(доход), C(t) — фонд непроизводственного потребления, S(t) — фонднакопления, y(t) — объем трудовых ресурсов (здесь — число работающих), X(t) — объем капитальных ресурсов (все имеющиеся средствапроизводства, используемые в производстве товаров и услуг).Предполагается, что конечный продукт полностью используется напотребление и накопление, т.
е.D = C + S,(4.1)при этом фонд накопления S составляет заданную часть s от конечногопродукта, поэтомуS = sD,C = (1 − s)D,(4.2)где s = const, 0 < s < 1.Будем считать, что износ капитальных ресурсов пропорционален ихобъему, и фонд накопления полностью расходуется на инвестиции, покрывающие износившийся капитал, и инвестиции, идущие на приросткапитала:dXS =δ·X +,(4.3)dtгде δ = const, 0 < δ < 1.74Предполагается, что численность рабочих, капитал и объем конечного продукта связаны между собой с помощью производственной функции f (x):D = yf (x),(4.4)где x = X/y — капиталовооруженность рабочей силы, x ≥ 0, f (0) = 0,f 0 (x) > 0.
Тогда с учетом формул (4.2) и (4.4) уравнение (4.3) запишетсякакdXsyf (x) = δ · X +,dtили1 dX= sf (x) − δx.(4.5)y dtВ силу равенстваX = xy(4.6)получаем, чтоdXdydx=x+y ,dtdtdtпоэтому уравнение (4.5) можно переписать какdxx dy=−+ sf (x) − δx.dty dt(4.7)Кроме того, предположим, что численность рабочих экспоненциально возрастает с относительной скоростью ε = const > 0:dy= εy.dt(4.8)Тогда уравнение (4.7) можно переписать в следующем окончательномвиде:dx= sf (x) − (δ + ε)x.(4.9)dtЗадав начальные данныеx(0) = x0 ,y(0) = y0(4.10)и найдя решение x(t), y(t) = y0 eεt задачи Коши (4.8)—(4.10), по формуле (4.6) определяем объем капитальных ресурсов, по формуле (4.4) —доход, по формулам (4.2) — фонды потребления и накопления.75Рассмотрим наиболее простой случай, когда производственная функция является линейной:f (x) = mx,m = const > 0.(4.11)Тогда уравнение для капиталовооруженности (4.9) принимает вид:dx= (sm − δ − ε) x,(4.12)dtт.
е. оно совпадает с уравнением (1.1) модели Мальтуса. Поэтому приведенная экономическая модель будет обладать теми же недостатками,что и биологическая модель Мальтуса.В теории экономического роста наиболее часто используется другаяпроизводственная функция — функция Кобба—Дугласа [29]:f (x) = mxα ,m = const > 0,0 < α = const < 1.(4.13)Для такой функции уравнение (4.9) запишется как уравнение Бернуллиdx= smxα − (δ + ε)x.dtµТочка равновесияx∗ =smε+δ(4.14)¶1/(1−α)>0(4.15)является устойчивой и x(t) → x∗ при t → ∞. В последнем свойствеможно убедиться и непосредственно, найдя предел при t → ∞ точногорешения задачи (4.14), (4.10):h¡¢ −(δ+ε)(1−α)t i1/(1−α)+ x1−α− x1−αe.x(t) = x1−α∗∗0(4.16)Поскольку численность работающих y(t) со временем возрастает, тоиз формулы (4.4) следует, что в состоянии равновесия капиталовооруженности x = x∗ выпуск конечного продукта растет, фонды потребления и накопления увеличиваются (см.
формулы (4.2)), объем капитальных ресурсов (4.6) также растет, т. е. имеет место рост экономики, хотяпроизводительность труда D/y при x = x∗ не меняется.Из формулы (4.15) видно, что устойчивый уровень капиталовооруженности x∗ прямо пропорционален принятой норме сбережения s и величине коэффициента m в производственной функции, но обратнопропорционален темпу роста работающих и норме амортизационныхотчислений δ. Считая параметры m, α, ε и δ неизменными, выясним,76при какой норме накопления будет поддерживаться максимально возможное среднедушевое потребление c = C/y в состоянии устойчивого равновесия x = x∗ растущей экономики.
Используя формулы (4.2),(4.4), (4.13), получаем, чтоc(s) =C(1 − s)D(1 − s)yf (x∗ )=== (1 − s)mxα∗,yyyпоэтому∂cα−1 ∂x∗= −mxα.∗ + (1 − s)mαx∗∂s∂sУчитывая выражение (4.15), приходим к выводу о том, что ∂c/∂s = 0при s = α. Таким образом, наиболее высокий уровень благосостоянияработающих достигается при норме накопления s = α. Устойчивый уровень капиталовооруженности x∗ , при котором достигается максимальновозможное потребление, называется уровнем, соответствующим Золотому правилу накопления.Ясно, что рассмотренная модель экономического роста не способна объяснить многие наблюдаемые в экономике явления, поэтому онануждается в усовершенствовании подобно тому, как использовавшиеся на первых этапах простейшие математические модели Мальтусаи Ферхюльста—Пирла, описывающие развитие биологических популяций, получили дальнейшее уточнение в более поздних моделях Лотки—Вольтерра, Колмогорова и др.
Несовершенство экономической модели (4.14) привело к созданию целой иерархии моделей экономическогороста [29], на которых базируется управление современной экономикой.4.2. Рассмотрим теперь динамику экономики в застойный период,в состоянии, близком к макроэкономическому равновесию. Равновесиеозначает, что в экономике сложились количественные пропорции, обеспечивающие устойчивое сочетание товарных и денежных потоков, стабильность цен, равенство спроса и предложения для всех ресурсов.Разумеется, что такого абсолютного равновесия никогда не бывает, поэтому макроэкономическое равновесие нужно рассматривать как некоторый абстрактный модельный идеал, полезный при исследованияпроблемы поведения экономической системы в окрестности точки равновесия. Для изучения этой проблемы воспользуемся более сложной,чем в п.
4.1, математической моделью.Будем считать, что износ капитала пропорционален не только егообъему, но и числу работающих, т. е. вместо уравнения (4.3) будем ис77пользовать следующее:S = δ · Xy +dX.dt(4.17)Тогда аналог уравнения (4.7) запишется какdx1 dy= −x+ sf (x) − δxy.dty dt(4.18)В состоянии застоя для численности рабочих уже не будет экспоненциального роста, она либо постоянна, либо меняется в некоторыхпределах в бо́льшую или меньшую сторону. Будем считать, что в отсутствие фонда потребления (C = 0) рабочие уходят с производстваи их численность экспоненциально убывает с относительной скоростьюβ = const > 0:dy= −βy.dtЕсли же величина C положительна, то k-я часть этого фонда (k = const,0 < k < 1) расходуется на воспроизводство рабочей силы и поддержаниечисленности работающих.
Таким образом, можно предположить, чточисленность работающих подчиняется уравнениюdy= kC − βydtилиdy= k(1 − s)D − βy,dtкоторое с учетом равенства (4.4) принимает видidy h= k(1 − s)f (x) − β y.dtТогда уравнение (4.18) запишется какhidx= −x k(1 − s)f (x) − β + sf (x) − δxy.dt(4.19)(4.20)Сначала рассмотрим линейную производственную функцию (4.11).В этом случае систему уравнений (4.19), (4.20) можно записать в следующей форме:dx= a(x)x − V (x)y,dt(4.21)dy= K(x)y,dt78гдеK(x) = k(1 − s)mx − β,a(x) = sm − K(x),V (x) = δx. (4.22)Видим, что полученная система полностью совпала с системой уравнений модели Колмогорова (3.18), при этом условия (3.20)—(3.22) очевидно выполняются. Основываясь на результатах исследования моделиКолмогорова (см.
п. 3.3), можно сделать некоторые выводы о поведениирассматриваемой экономической системы.В положительном квадранте система (4.21) имеет единственную точку покоя, при этом ее координаты вычисляются по формулам (3.23)и (3.24):smβ, y∗ =.(4.23)x∗ =k(1 − s)mδВыражения для коэффициентов характеристического уравнения (3.28)σ = −β,µ = sβm(4.24)свидетельствуют о том, что его корни имеют отрицательные вещественные части при любых допустимых значениях параметров, поэтому точка покоя будет устойчивым узлом, вырожденным устойчивым узломили устойчивым фокусом, а фазовые траектории будут подобны траекториям, изображенным соответственно на рис.
12, а, 14, а или 16, а.Следовательно, экономическая система будет при t → ∞ всегда приближаться к своему равновесному состоянию, причем либо без колебаний(как на рис. 11, а или 13, а), либо с затухающими колебаниями (см.рис. 15, а).Теперь возьмем более близкую к реальности производственную функцию Кобба—Дугласа (4.13). Тогда система уравнений (4.19), (4.20) примет такой вид:dx= −xK(x) + smxα − V (x)y,dt(4.25)dy= K(x)y,dtгдеK(x) = k(1 − s)mxα − β,V (x) = δx.(4.26)Точка покоя этой системы имеет координатыµ¶1/αβsm α−1x∗ =, y∗ =x.k(1 − s)mδ ∗79(4.27)Нетрудно показать, что и для производственной функции (4.13) точка покоя всегда устойчива и является либо узлом, либо фокусом (см.задачу 4.2).Рассмотрим теперь влияние параметров k и s на показатели x∗ и y∗ ,считая остальные параметры заданными и неизменными. Из рис.
18видно, что если параметр k зафиксировать, то при возрастании параметра s капиталовооруженность рабочей силы будет возрастать, а численность работающих будет сначала увеличиваться, а затем, начинаяс некоторого значения s, уменьшаться. Если зафиксировать параметр s,то при возрастании параметра k капиталовооруженность падает, а численность работающих растет (см. рис. 19), т. е. показатели x∗ и y∗ являются противоречивыми: увеличение первого из них ведет к уменьшениювторого и наоборот.Предположим, что мы хотим добиться высокого уровня капиталовооруженности и занятости одновременно. Зададимся вопросом, нельзяли подобрать параметры k и s так, чтобы для них и капиталовооруженность x∗ и численность работающих y∗ принимали максимальныезначения? Пусть точки (k, s) принадлежат прямоугольнику, изображенному на рис. 20, а. Тогда точки (x∗ , y∗ ) заполняют область, изображенную серым цветом на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
