Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если нам удастся выяснить свойства решения ξ(τ ), η(τ ) при некотором одном значении параметра p, тоосновываясь на заданном преобразовании растяжения (2.12), мы сможем предсказать поведение решения x(t), y(t) системы (2.11) сразу длявсех допустимых значений параметров k и m и любых α и β, удовлетворяющих равенству β/α = p. Таким образом, переход к безразмернымвеличинам действительно целесообразен при изучении качественногоповедения решений.Другой прием связан с исследованием равновесных состояний. Система уравнений (2.13) имеет одно положение равновесия с положительными значениями ξ и η — стационарное, не зависящее от времени τрешениеξ(τ ) ≡ ξ∗ = 1, η(τ ) ≡ η∗ = 1.(2.14)Таким образом, если в начальный момент времени τ = 0 искомые переменные ξ, η принимают значения ξ∗ , η∗ , то и во все последующие моменты времени будут выполняться равенства (2.14).
Это означает, чтоособая точка (ξ∗ , η∗ ) отвечает равновесной численности жертв и хищников: прирост жертв за счет рождаемости полностью уравновешивается деятельностью хищников, а прирост хищников — их естественнойсмертностью.48Выписать формулы для нестационарных решений не удается. Однако можно проанализировать поведение решений в фазовой плоскости.Напомним, что решение задачи Коши для уравнений (2.13) с начальными даннымиη(0) = η0(2.15)ξ(0) = ξ0 ,можно интерпретировать геометрически как кривую в трехмерном пространстве Oξητ , проходящую через точку (ξ0 , η0 , 0) и составленную източек (ξ(τ ), η(τ ), τ ) («график решения»). При другой геометрическойинтерпретации рассматривается кривая на плоскости Oξη, составленная из точек с координатами (ξ(τ ), η(τ )), при этом время τ являетсяпараметром.
Эта кривая является проекцией графика решения на плоскость Oξη и называется фазовой траекторией, а плоскость Oξη называется фазовой плоскостью.Чтобы понять временну́ю динамику функций ξ(τ ), η(τ ), исследуем поведение решения нелинейной системы (2.13) в плоскости переменных ξ, η, т. е. исследуем поведение фазовых траекторий. Для этого второе уравнение поделим на первоеdηp η (ξ − 1)=dξξ (1 − η)(2.16)и преобразуем полученное уравнение к виду1−ηξ−1dη = pdξ.ηξИнтегрируя последнее уравнение с учетом положительности значений ξи η, получаем соотношениеln η − η = p (ξ − ln ξ) + C,или¡¢ln η − ln eη = p ln eξ − ln ξ + C,в котором постоянная C из правой части определяется по начальнымзначениям (2.15). Таким образом, уравнение (2.16), или, что то же самое, система (2.13) имеет первый интеграл видаΨ(ξ, η) = C1 > 0,гдеµΨ(ξ, η) =49ξeξ¶pη.eη(2.17)(2.18)Для каждого фиксированного значенияµ¶pξ0η0C1 =eξ0eη 0интегралу (2.17) соответствует вполне определенная фазовая траектория системы (2.13), которая совпадает с линией уровня C1 функции Ψи проходит через точку (ξ0 , η0 ).
На рис. 7, а изображен график функцииζ = Ψ(ξ, η)(2.19)с несколькими линиями уровня. Соответствующие им фазовые траектории изображены на рис. 7, б. Поскольку в области ξ > 0, η > 0 функция Ψ принимает максимальное значение лишь в одной точке(Ψmax = 1/ep+1 в точке покоя ξ∗ = 1, η∗ = 1), то линии уровня функции Ψ являются замкнутыми кривыми. Следовательно, и фазовые траектории будут замкнутыми кривыми, охватывающими точку покоя. Отсюда следует вывод о том, что функции ξ(τ ), η(τ ) будут периодическимифункциями от переменной τ , поскольку фазовая траектория, проходящая через точку (ξ0 , η0 ), вновь пройдет через эту же точку через некоторое время. Отметим также, что для разных начальных данных (2.15)периоды колебаний численностей будут разными [1].Определим теперь направление движения точки (ξ, η) по фазовойтраектории при возрастании времени.
Пусть η < 1. Тогда из первого5ηζ43η2431210 02134ξ0а01234ξ 5бРис. 7. Решение системы уравнений (2.13): а — график функции (2.19);б — фазовые траектории. p = 0, 550уравнения системы (2.13) следует, что dξ/dτ > 0, т. е. функция ξ(τ )возрастает со временем при движении по нижней части фазовой траектории (на рис. 7, б — это часть траектории, состоящая из точек, у которых вторая координата η < 1). Из того же уравнения получаем, чтопри η > 1 функция ξ(τ ) будет убывать (dξ/dτ < 0). Аналогично определяется знак производной dη/dτ . Тем самым получаем, что с течениемвремени точка (ξ, η) движется по фазовой траектории в направлениипротив часовой стрелки (на рис. 7, б направление движения по фазовым траекториям изображено стрелками).Биологическое содержание задачи подтверждает выявленное свойство решений математической модели.
В самом деле, возьмем некоторые начальные данные (2.15), соответствующую им фазовую траекторию и начнем рассмотрение с момента времени, когда численностьхищников наименьшая. На траектории (см. рис. 7, б) этому моментувремени будет соответствовать самая низшая ее точка с координатамиξ = 1, η = ηmin < 1.
В этот момент для развития жертв создались самыеблагоприятные условия (хищников очень мало), поэтому численностьжертв растет, но вместе с этим начинается и рост численности хищников (в математической модели этот процесс описывается движением понижней части фазовой траектории вправо). В некоторый момент времени хищников становится столько (η = 1), что они выедают ровно весьприрост жертв, т. е. в этот момент времени численность жертв достигает своего максимума ξmax , и далее она начинает уменьшаться (начинается движение по верхней части траектории влево), а численностьхищников продолжает расти.
Наконец, хищников становится так много(η = ηmax > 1), а жертв так мало (ξ = 1), что вместе с уменьшениемколичества жертв начинает уменьшаться и численность хищников. Такое продолжается вплоть до момента времени, когда численность жертвдостигает своего минимума ξmin и малое количество хищников (η = 1)позволяет жертвам начать увеличение свой численности (начинаетсядвижение по нижней части фазовой траектории вправо).Таким образом, рассматриваемая модель описывает сколь угоднодолгое сосуществование обеих популяций с периодическим колебаниемих численностей.
Амплитуды этих колебанийa1 = ξmax − ξmin ,a2 = ηmax − ηmin(2.20)зависят как от начальных численностей популяций, так и от определяющих параметров модели (см. задачу 2.2). В некоторых случаях амплитуда a1 колебаний численности жертв может быть больше амплитуды a25155ηη443322110012340ξ 501а234ξ 5бРис. 8. Фазовые траектории решений системы уравнений (2.13):а — p = 1; б — p = 2колебаний численности хищников, в других — наоборот (ср. рис. 7, б и 8).При этом всегда колебания численностей совершаются не в фазе: экстремальному значению функции ξ(τ ) соответствует среднее по периодузначение функции η(τ ) и наоборот, а средние по периоду значения этихфункций совпадают с равновесными значениями (2.14) (см. задачу 2.3).Заметим, что мы выполнили качественный анализ решений системы уравнений (2.13) относительно безразмерных величин.
Используяформулы преобразования (2.12), можно восстановить картину взаимодействия популяций в исходных переменных. Например, истинная(в размерных величинах) амплитуда колебаний численности жертв будет вычисляться по формулеxmax − xmin =βa1 ,kmв которой используется безразмерная амплитуда a1 , определенная формулой (2.20).2.3. Рассмотренная модель Лотки—Вольтерра (2.11) допускает многочисленные обобщения. Например, можно учесть внутривидовую конкуренцию жертв за общую пищу, подобно тому как это делалосьв п. 2.1.
Тогда математическая модель будет выглядеть следующим образом:52dx= (α − my − γx) x,dtx(0) = x0 , y(0) = y0 ,dy= (kmx − β) y,dt(2.21)гдеγβ.(2.22)kmВ квадранте x > 0, y > 0 эта система имеет единственную точку покояγ = const > 0,x∗ =β,kmα>y∗ =αkm − γβ.km2(2.23)Если учесть, что конкурентная борьба может быть и между хищниками, то модель (2.21) модифицируется в следующую:dx= (α − my − γ1 x) x,dtx(0) = x0 , y(0) = y0 ,dy= (kmx − β − γ2 y) y,dtгдеγ1 = const > 0,γ2 = const > 0,α>γ1 β.km(2.24)(2.25)Эта система также имеет одну точку покояx∗ =αγ2 + mβ,γ1 γ2 + km2y∗ =αkm − γ1 βγ1 γ2 + km2(2.26)в положительном квадранте x > 0, y > 0.
Отметим, что фазовые траектории решений этих двух моделей уже могут и не быть замкнутымикривыми.Более точные математические описания двухвидовых взаимодействий учитывают сложные картины взаимодействия как по времени, таки в пространстве: неравномерность распределения численности популяций на занимаемых территориях, временно́е запаздывание между рождением особей и их зрелостью, внешние воздействия и т. п. Для поискарешений таких сложных задач приходится использовать численные методы, но, как показали разобранные выше примеры, предварительныйкачественный анализ свойств решений надо выполнить обязательно, поскольку он может дать ценную информацию о характерных особенностях решений. Эту информацию можно использовать, например, притестировании численных алгоритмов.53ЗАДАЧИ2.1.
Показать, что уравнения (2.2), (2.4), зависящие от шести параметров εi , γi , mi (i = 1, 2), можно записать в виде системы уравнени鵶¢dη ¡dξη=ε 1−ξ−ξ,= 1−pξ−η η(2.27)dτpdτс двумя параметрамиε1γ2ε= , p=ε ,(2.28)ε2γ1если ввести безразмерные величиныxyξ=, η = , τ = ε2 t,(2.29)x∗y∗гдеε1ε2x∗ =, y∗ =.γ1 m 1γ2 m2Для значений параметровε = 1,p>1(2.30)выполнить качественный анализ решений задачи Коши для уравнений (2.27) с начальными данными0 < ξ(0) = ξ0 < 1,η(0) = η0 > 0.(2.31)2.2.
Используя первый интеграл (2.17) системы уравнений (2.13),определить амплитуды колебаний (2.20) решений ξ(τ ) и η(τ ) и характер зависимости величин a1 , a2 от значений параметра p и начальныхданных (2.15).2.3. Доказать, что для решений системы уравнений (2.13) средниепо периоду значения численностей ξ(τ ) и η(τ ) не зависят от начальныхданных (2.15) и равны равновесным значениям ξ∗ = 1, η∗ = 1.2.4. Записать систему уравнений (2.21), зависящую от пяти параметров, в новых переменныхxyξ=, η = , τ = αt(2.32)x∗y∗с использованием лишь двух новых безразмерных параметровp=β> 0,α0<q=γβ< 1.kmαВеличины x∗ , y∗ определены в формуле (2.23).54§ 3. Обобщенные модели взаимодействияпопуляцийПредположим, что построенная математическая модель оказалась нелинейной и столь сложной, что выполнить удовлетворительный качественный анализ еерешений не удается. В таком случае попытайтесь исследовать линейный аналог Вашей модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
