Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 3 (973559)
Текст из файла
Глава 3АКСИОМЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ§ 1. Аксиоматика сплошной средыПриступим теперь к процессу построения важного класса математических моделей — моделей механики сплошной среды (или, как их ещеиногда называют, моделей сплошной деформируемой среды). Описываемым физическим объектом являются тела (массы), заполняющие некоторый объем физического пространства и способные деформироваться.При этом рассматривается такой класс движений этих тел, в которомможно отвлечься от их молекулярной и атомной структуры и предполагать, что они заполняют пространство непрерывным (сплошным)образом.
Другими словами, мы будем описывать макро-, а не микромир.Построение модели сплошной среды сводится к нахождению (выделению) числовых параметров, ее описывающих, и нахождению соотношений (уравнений) между этими параметрами. В основе механикисплошной среды лежит ряд экспериментальных фактов, которые мысформулируем в виде аксиом. Именно эти аксиомы позволят нам ввестичисловые параметры, описывающие сплошную среду, и вывести количественные соотношения, которые и будут являться одной из ее математических моделей.1.1.
Аксиома пространства–времени. Аффинное пространство — это множество (точек) X, на котором определено понятие векто→ с началом x ∈ X и концом в y ∈ X, т. е. задано отображениеров −xy→ из X × X в линейное пространство E (называемое присоеди(x, y) 7→ −xyненным), обладающее следующими свойствами:→ есть— для любой фиксированной точки x ∈ X отображение y 7→ −xyбиекция (взаимно однозначное отображение) X на E;→+−→+−→ = 0 для любых x, y, z ∈ X.—−xyyzzxТаким образом, в аффинном пространстве нулем (началом отсчета)может быть объявлена любая точка. Если присоединенное пространствоевклидово, т. е.
в нем задано скалярное произведение, то пространство Xназывается евклидовым аффинным. Размерность X, по определению,есть размерность E.102Используя введенные понятия, сформулируем аксиому пространствавремени:Пространство — трехмерное евклидово аффинное пространство, время — одномерное евклидово аффинное пространство. Время абсолютно.Сцена, на которой разыгрывается наше действие, есть трехмерноеевклидово пространство R3 , аффинная структура в котором задается3отображением (x, y) 7→ y −√ x. Скалярное произведение в R индуцирует в нем норму: kxk = x · x.
Норма же и скалярное произведениев R3 позволяют определить длину вектора и скалярное произведение→ = ky − xk, −→·−→ = (y − x) · (v − u).векторов: |−xy|xyuvПоясним утверждение «время абсолютно». Окружающий мир в пространственно-временном смысле представляется точками пространстваR4 = R3 × R, называемыми мировыми точками, или событиями. Время есть линейное отображение t : R4 → R мира на «ось времени». Промежуток времени между событиями A, B ∈ R4 есть число t(B−A).
Еслиэто число равно нулю, то события A и B называются одновременными.Линейность отображения t гарантирует изоморфизм пространства одновременных событий (ядра отображения t) пространству R3 . Наличиеэтого изоморфизма позволяет говорить об абсолютно одновременныхсобытиях (в отличие от различных релятивистских теорий).1.2. Аксиома материального континуума. Реальная физическая среда имеет атомарно-молекулярное строение [26].
Мы же будемрассматривать ее как среду, заполняющую некоторый объем сплошнымобразом. Сформулируем эту идеализацию в виде аксиомы материального континуума:Сплошная среда в каждый момент времени есть материальный континуум.Эта аксиома предполагает, что определены понятия массы и внутренней энергии каждого объема сплошной среды. Объемом в R3 называется любая область (связное множество) с кусочно-гладкой границей.Предполагается, что определена масса любого объема ω, т. е. заданафункция множества M : ω 7→ M (ω) и эта функция есть мера, т. е.103неотрицательная счетно-аддитивная функция:Ã∞ !∞X[ωi =M (ωi ), если ωi ∩ ωj = ∅ при всех i 6= j.Mi=1i=1Более того, предполагается, что функция M непрерывна в следующем смысле: M (ω) → 0 при mes ω → 0, где mes ω — мера Лебегамножества ω (строгое определение меры Лебега вводится в курсе математического анализа; не сильно искажая суть этого понятия, можносчитать, что mes ω — объем области ω в смысле, описываемом в школьной геометрии).
В курсе функционального анализа будет доказано, чтов этом случае существует неотрицательная функция ρ : R3 → R такая,что для любого объема Ω выполняется равенствоZZZM (Ω) =ρ(x) dω.(1.1)ΩЗдесь ω — элементарный объем. Эта функция называется плотностью(удельной массой) сплошной среды. Можно показать, чтоM [Bε (x)],4 3ε→0πε3ρ(x) = limгде Bε (x) — шар в R3 радиуса ε с центром в точке x (а 4πε3 /3, разумеется, объем этого шара). Последнее полностью согласуется с определениемплотности в школьной физике.Подчеркнем, что переход от массы к плотности в математическомсмысле означает переход от весьма сложного математического объекта — функций множества (т.
е. функций, заданных на множестве подмножеств пространства R3 ) к существенно более простым математическим объектам — функциям точки. Последние изучены гораздо лучше.К ним можно применять развитый аппарат математического анализа.Точно так же аксиома материального континуума предполагает наличие у каждого объема внутренней энергии, т. е. существование непрерывной меры Ei .
По аналогии с представлением (1.1) можно ввести понятие удельной объемной энергии ei :ZZZEi (Ω) =ei (x) dω.Ω104Обычно удобнее пользоваться удельной внутренней энергией U (x) ≡ei (x)/ρ(x) (т. е. энергией, отнесенной к единице массы) так, чтоZZZZZZEi (Ω) =ρ(x)U (x) dω =ρU dω.(1.2)ΩΩ§ 2. Движение сплошной среды2.1. Аксиома движения. Прежде, чем сформулировать следующую аксиому, введем некоторые понятия и обозначения.
Пусть Ωs задает конфигурацию сплошной среды в момент времени s (т. е. множество точек в R3 , которые среда заполняет в момент времени s). Тотфакт, что в процессе эволюции сплошная среда состоит из одних и техже материальных частиц математически описывается введением семейства взаимно-однозначных отображений (см.
рис. 25):γs,t : Ωs → Ωt .Каждое такое отображение определяет движение сплошной среды.Отображения γs,t показывают перемещения частиц за промежуток времени от s до t.Из физического опыта ясно, что за нулевое время частицы не должны сдвинуться: γs,s = I (здесь I — тождественное отображение в Ωs )и, кроме того, суммарный результат сдвига за время от s до t, а затемот t до p (см.
рис. 25), есть результат сдвига за время (p − s) — от s до p:γt,p ◦ γs,t = γs,p .Ωsξsγs,tξtΩtγt,pγs,pРис. 25. Движение сплошной среды105ΩpξpВ дальнейшем в качестве начального момента изучаемых движений мыбудем рассматривать «нулевой» момент s = 0, что позволяет перейтиот обозначений γ0,t (ξ) к γt (ξ), где ξ ∈ Ω0 .Теперь мы можем сформулировать аксиому движения:Отображения γt определены для любого t ∈ R и являются гомеоморфизмами Ω0 на Ωt , а отображение t 7→ γt есть изоморфизм аддитивной группы вещественных чисел в мультипликативную группу отображений в R3 .
При каждом ξ ∈ Ω0 отображение t 7→ γt (ξ) непрерывнои кусочно-непрерывно дифференцируемо.Тот факт, что {γt } — мультипликативная группа означает, что:γ0 = I;(2.1)γp ◦ γt = γt+p .(2.2)Сформулированная аксиома позволяет говорить о движении материальной точки (или частицы) ξ сплошной среды; в частности, кривая {γt (ξ) : t ∈ R} называется траекторией точки ξ ∈ Ω0 . Далее мыбудем обозначать отображение γt (ξ) через γ(ξ, t) и называть отображениеx = γ(ξ, t)(2.3)законом движения сплошной среды. Если в формуле (2.3) точка ξ фиксирована, а время t меняется, то закон движения задает траекторию выделенной частицы. Если, наоборот, t фиксировано, а точки ξ занимаютнекоторый объем ω0 , то закон движения задает состояние движущегосяобъема ωt в момент времени t:ωt = {x ∈ R3 : x = γ(ξ, t), ξ ∈ ω0 ⊂ Ω0 }.(2.4)Кусочная гладкость траекторий, гарантируемая аксиомой движения, позволяет говорить о скорости частицы ξ в момент времени t:v(ξ, t) =∂γ(ξ, t).∂tОтметим еще некоторые следствия, вытекающие из аксиомы движения.
Формула (2.1) постулирует, что для закона движения должновыполняться равенство:ξ = γ(ξ, 0).(2.5)106Кроме того, отображениерожденным:¯¯¯¯¯¯¯J = ¯¯¯¯¯¯¯(2.3) является взаимно-однозначным и невы¯∂x1∂x1 ¯¯∂x1∂ξ 1∂ξ 2∂ξ 3 ¯¯¯∂x2∂x2∂x2 ¯¯6= 0,(2.6)∂ξ 1∂ξ 2∂ξ 3 ¯¯¯∂x3∂x3∂x3 ¯¯∂ξ 1∂ξ 2∂ξ 3 ¯где J — якобиан отображения (2.3), x = (x1 , x2 , x3 ), ξ = (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ),xi = γ i (ξ, t) (i = 1, 2, 3). С помощью обратного отображенияξ = γ −1 (x, t)(2.7)можно определить объем ω0 , который занимала среда при t = 0, еслиизвестно, что в момент времени t > 0 она занимает объем ωt .2.2. Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды.
Какмы уже договорились, описать сплошную среду — это задать ее количественные характеристики. Это можно сделать, по крайней мере, двумяспособами:— привязывать характеристику к частице в данный момент времени;— привязывать характеристику к точке пространства, в которойв данный момент находится частица.Эти два способа называются, соответственно, лагранжевым и эйлеровым описаниями сплошной среды. Таким образом, в лагранжевомподходе все характеристики задаются в переменных (ξ, t) ∈ Ω0 × R,а в эйлеровом — в переменных (x, t) ∈ {Ωt × {t} : t ∈ R}. Соответственно, координаты (ξ, t) называются лагранжевыми координатами (илипеременными), а (x, t) — эйлеровыми. Каждое из этих описаний имеетсвои преимущества и недостатки.Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды, разумеется, эквивалентны.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
