Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 3 (973559), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Теперь в уравнениях(3.5)—(3.8) определены все величины, и эти уравнения с описаннымивыше правыми частями составляют рассматриваемую нами математическую модель сплошной среды: для любого движущегося объема ωtв любой момент времени t выполняются следующие интегральные соотношения:ZZZdρ dω = 0,dtZωZt ZZZZZZdρv dω =ρf dω +pn dσ,dtωtωt∂ωt(IM)ZZZZZZZZdρ(x × v) dω =ρ(x × f ) dω +(x × pn ) dσ,dtωtωt∂ωt¶ZZZ µZZZZZZZd1 2ρ|v| + U dω =ρv · f dω +v · pn dσ +qn dσ.dt2ωtωt∂ωt∂ωtЭти уравнения называют (интегральными) законами сохранения соответственно массы, импульса (количества движения), момента импульса (момента количества движения) и энергии.Полученная математическая модель (IM) весьма сложна для исследования (в частности, в силу ее большой общности).

Наша следующаязадача — попытаться упростить модель (возможно, за счет сужения рамок ее применимости). Далее мы покажем, что если величины, характеризующие сплошную среду, достаточно гладкие, то модель (IM) эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, которая допускает исследование более развитыми математическими средствами. Для того, чтобы привести нашу модель к системе дифференциальных уравнений, нам потребуются некоторые новые математические понятия и факты, описанию которых и посвященаспециальная глава следующей части пособия.116Глава 32.1. J = 1.У к а з а н и е. Для доказательства сохранения объема оползня приего движении воспользуйтесь формулой замены переменной в интегралеZZZZZZf (x) dx =f (x(ξ))J(ξ) dξ.(34)ΩtΩ02.2. У к а з а н и е.

В начальный момент времени вершины A, B, Cоснования призмы имеют следующие координаты:1= x0 − T ctg θ,ξA2ξA= y0 − W/2,1ξB= x0 ,23ξB= y0 − W/2, ξB= −x0 tg θ;1ξC2ξC= x0 ,= y0 − W/2,3ξA= −x0 tg θ + T ;3ξC(35)= −x0 tg θ + T.Подставляя лагранжевы координаты (35) в закон движения (2.16), получаем траектории точек A, B и C:at2 1 − T ctg θ x0 +xA2 W;y−xA = γ(ξA , t) =  x2A  = (36)02  µ¶at2x3A− x0 +tg θ + T2¡¢at2 1 βt−Tctgθ1−ex+0xB2 W ; (37)y−xB = γ(ξB , t) =  x2B  = 02  µ¶2¡¢3atβtxB− x0 +tg θ + T 1 − e2xC = γ(ξC , t) =x1C=  x2Cx3C  = ¡¢at2βt− T ctg θ 1 − ex0 +2W.y0 −2µ¶2¡¢at− x0 +tg θ + T 1 − eβt + T e−βt2134(38)Для движущихся точек A и B выполняются равенства x3A = −x1A tg θи x3B = −x1B tg θ.

Это означает, что траектории этих точек лежат напрямой (2.14), т. е. точки A и B движутся по откосу.Из формул (37) и (38) следует, что при движении отрезок [BC] всегдаостается вертикальным (в любой момент времени движущиеся точки Bи C имеют одинаковые абсциссу и ординату). При этом высота оползняуменьшается:¯¯|BC| (t) = ¯x3C − x3B ¯ = T e−βt ≤ T,а его протяженность (вдоль откоса) — увеличивается:T eβtT≥,sin θsin θ|AB| (t) =где T и T /sin θ — соответственно высота и протяженность оползня приt = 0 (см. формулы (35)).Показать, что при t > 0 оползневая масса сохраняет форму прямойтреугольной призмы (см. рис. 30) с вертикальной гранью, проходящейчерез сторону BC треугольника в основании. Сам же треугольник ABCуже не является при t > 0 прямоугольным (∠ACB > 90◦ ). Таким образом, оползень в процессе движения деформируется.x2x3y0A0x1CθBTe- β tРис.

30. Форма оползневой массы при t > 01352.3. У к а з а н и е. Для вычисления компонент скорости в лагранжевом представлении воспользуйтесь определением (2.10). Используяполученные выражения¡¢v L,1 (ξ, t) = at + β T ctg θ + ξ 1 − x0 eβt ,v L,2 (ξ, t) = 0,hiv L,3 (ξ, t) = −at · tg θ − β T + (ξ 1 − x0 )tg θ eβt −¡¢− β ξ 3 + ξ 1 tg θ e−βt ,(39)показать, что при β = 0 все частицы оползня движутся с одной и тойже скоростью (v L не зависит от ξ) параллельно откосу в плоскостях,параллельных плоскости ABC.2.4. У к а з а н и е. Согласно формуле (2.9), для определения скорости в эйлеровом представлении необходимо вначале найти обратноеотображение (2.7) для закона движения (2.16), а затем подставить найденные выражения для ξ i (i = 1, 2, 3) в формулы (39) для компонентскорости в лагранжевом представлении.Показать, что из закона движения (2.16) следуют равенства·µ¶¸at211ξ − x0 = x − x0 +− T ctg θ e−βt − T ctg θ;2½31ξ + ξ tg θ =µ¶hi ¾at21x + x0 +tg θ − T + T + (ξ − x0 )tg θ eβt eβt .23Подставив эти выражения в формулы (39), убедитесь в справедливостиследующего эйлерова представления компонент скорости:·¸at2E,11v (x, t) = at + β x − x0 −+ T ctg θ ,2(40)v E,2 (x, t) = 0,·µ¶¸2atv E,3 (x, t) = −at · tg θ − β x3 + 2x1 − x0 −tg θ + T .22.5.

У к а з а н и е. Воспользовавшись формулой (2.11), убедитесьв том, что закон движения описывается формулами (2.16).1362.6. У к а з а н и е. Закон движения находится путем решения задачи Коши (2.13), которая для заданных компонент скорости (2.19) записывается как следующая задача для системы линейных обыкновенныхдифференциальных уравнений·¸at2dx1= at + β x1 − x0 −+ T ctg θ ,dt2dx2= 0,dt(41)·µ¶¸dx3at231= −at · tg θ − β x + 2x − x0 −tg θ + T ,dt2x1 (0) = ξ 1 ,x2 (0) = ξ 2 ,x3 (0) = ξ 3 .Используя метод вариации постоянной [20, 21], показать, что из первого уравнения получается следующее выражение:µ¶¸Zt ·2asx1 (ξ, t) = ξ 1 ++ T ctg θ e−βs ds eβt .

(42)as + β −x0 −20Применяя формулы интегрирования по частямZtse−βs ds = −0Zt2 −βss e0·¸1e−βt − 1te−βt +,ββ·µ¶¸1 2 −βt 2e−βt − 1−βtds = −t e+te+,βββубедитесь в том, что уравнение (42) преобразуется в первое уравнениезакона движения (2.16).Проделав аналогичные выкладки для третьего уравнения системы (41), окончательно убедитесь в том, что полю скоростей (2.19)соответствует закон движения (2.16).137ПерсоналииСамарскийАлександрАндреевич (1919–2008) — советский ученыйс мировым именем, академик, ГеройСоциалистического труда, лауреат Ленинской и Государственных премийСССР, ветеран Великой Отечественнойвойны.

А. А. Самарским были заложеныосновы нового научного направления —математического моделирования, разработана методология вычислительногоэксперимента, создана фундаментальнаяобщая теория разностных схем. Научнаяшкола академика А. А. Самарскогоизвестна в мире своими выдающимисяработами в области математического моделирования задач термоядерного синтеза, физики плазмы, магнитной и радиационной газодинамики, атомной энергетики, аэродинамики.Яненко Николай Николаевич (1921–1984) — выдающийся советский математик и механик, академик, ГеройСоциалистического труда, трижды лауреат Государственной премии СССР,ветеран Великой Отечественной войны.Мировое признание получил созданныйим «метод дробных шагов». Н. Н.

Яненко основал новую научную дисциплину —математическую технологию, разработалпринципы модульного анализа математических моделей, вычислительных алгоритмов и программ, принципы распараллеливания алгоритмов и конструирования пакетов прикладныхпрограмм. Им были сформированы творческие коллективы, способныерешать сложнейшие задачи и заслуженно называемые теперь школойакадемика Яненко. В 1964 г. Н. Н. Яненко основал в НГУ кафедру«Вычислительные методы механики сплошной среды», которая в 1997 г.стала называться кафедрой «Математическое моделирование».138Шокин Юрий Иванович (1943) — известный специалист в области прикладной математики и информатики, академик. Ю. И. Шокин обосновал и развилновое научное направление в вычислительной математике — метод дифференциального приближения для анализа,классификации и построения разностныхсхем с заданными свойствами. Первымв стране им начаты исследования по интервальной математике.

Научная школаакадемика Ю. И. Шокина известна работами по численному моделированию волнцунами и цунамирайонированию Дальневосточного побережья РФ, порасчету машиностроительных конструкций, использованию математического моделирования для анализа причин и последствий аварийныхситуаций, по созданию «Сети передачи данных СО РАН». Возглавляемый Ю.

И. Шокиным Институт вычислительных технологий СО РАНявляется базовым для кафедры «Математическое моделирование» механико-математического факультета НГУ.Ахмеров Рустям Рафаэлович (1951–2009) — известный специалист по нелинейным дифференциальным уравнениямв частных производных и нелинейномуфункциональномуанализу.Работалв Воронежском государственном университете, Институте теоретическойи прикладной механики СО АН СССР,Институте вычислительных технологийСО РАН.

Первым из преподавателейкафедры «Математическое моделирование» начал читать для студентовмеханико-математического факультетаНГУ лекции по обязательному курсу«Математическое моделирование», в которых удивительным образом сочеталисьматематическая строгость и легкость восприятия, лаконичность и широта охвата предмета.139Бернулли Якоб (Bernoulli, Jakob;1654–1705) — швейцарский математик, профессор математики Базельского университета. Якоб Бернулливнес огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождениевариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли.Он исследовал также циклоиду, цепную линию, логарифмическую спираль. Якобу Бернулли принадлежатзначительные достижения в теориирядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теориичисел, где его именем названы «числа Бернулли». Якоб Бернулли издалтакже работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.Вольтерра Вито (Volterra, Vito;1860–1940) — итальянский математик,профессорПизанского,Туринского, Римского университетов.

Работы Вольтерра посвященыдифференциальнымуравнениямв частных производных, теорииупругости, интегральным и интегродифференциальнымуравнениям,функциональному анализу и теориимножеств. В частности, Вольтеррапостроил примеры непрерывныхфункций,производныекоторыхсуществуют, но не удовлетворяюткритерию интегрируемости ни на каком интервале.140Колмогоров Андрей Николаевич (1903–1987) — величайшийсоветский математик ХХ столетия,академик. А. Н. Колмогоров является создателем современной теориивероятностей, автором фундаментальных трудов и ряда мировыхоткрытий в теории функций, дифференциальных уравнений, гамильтоновых систем, в математическойлогике, топологии, функциональноманализе, информатике, теории турбулентности.

Характеристики

Список файлов лекций