Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 3 (973559), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если известна некоторая характеристика в лагранжевомописании, то можно найти ее представление в эйлеровом, и наоборот.Например, если v L (ξ, t) и v E (x, t) — лагранжево и эйлерово представления скорости, то, очевидно,и, наоборот,v L (ξ, t) = v E (γ(ξ, t), t),(2.8)v E (x, t) = v L (γ −1 (x, t), t),(2.9)107где γ −1 — обратное отображение (2.7) и по определениюv L (ξ, t) =∂γ(ξ, t).∂t(2.10)Чтобы найти закон движения сплошной среды (2.3) в случае, когдаизвестно поле скоростей в лагранжевом описании, достаточно найтиинтеграл от скорости (2.10):Ztv L (ξ, s) ds.γ(ξ, t) = ξ +(2.11)0Если же поле скоростей задано в эйлеровом описании, то приходитсярешать задачу Коши для дифференциального уравнения∂γ(ξ, t)= v E (γ(ξ, t), t),∂tγ(ξ, 0) = ξ,(2.12)которое получается с учетом равенств (2.10) и (2.8).
Поскольку в уравнении (2.12) величина ξ фиксирована, то на эту задачу можно смотретькак на задачу Коши для системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений:dxi= v E,i (x1 , x2 , x3 , t),dtxi (0) = ξ i(i = 1, 2, 3).(2.13)ЗАДАЧИ2.1. Вновь рассмотрим задачу 1.2 из гл. 1 о движении оползня поплоскому откосу, заданному функциейx3 = hbt (x1 , x2 ) = −x1 tg θ.(2.14)Напомним, что в упомянутой задаче мы рассмотрели несколько математических моделей движения оползня как твердого тела, моделей, в которых геометрия оползня не учитывалась, а его движение описывалосьдвижением определенной материальной точки.Теперь же примем во внимание форму оползня и возможность егодеформации. Предположим, что в начальный момент времени оползневая масса лежит на откосе и занимает объем Ω0 , представляющий108собой прямую треугольную призму высоты W с основанием в виде прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого параллелен вертикальной оси и равен T (см.
рис. 26), а катет AC параллелен оси абсцисс Ox1 . Лагранжевы координаты частиц, заполняющих этот объем,удовлетворяют следующим соотношениям:x0 − T ctg θ ≤ ξ 1 ≤ x0 ,y0 − W/2 ≤ ξ 2 ≤ y0 + W/2,1(2.15)3−ξ tg θ ≤ ξ ≤ −x0 tg θ + T,где x0 — абсцисса частиц, лежащих на катете BC, y0 ∈ R.Пусть закон движения (2.3) оползневой массы задан отображениемx1 (ξ, t) = x0 +¡¢at2− T ctg θ + T ctg θ + ξ 1 − x0 eβt ,2x2 (ξ, t) = ξ 2 ,µ¶hiat23tg θ + T − T + (ξ 1 − x0 )tg θ eβt +x (ξ, t) = − x0 +2¡¢+ ξ 3 + ξ 1 tg θ e−βt ,x2x3y0TCAx10BθWx0Рис. 26.
Обозначения и начальное положение оползневой массы109(2.16)где β = const ≥ 0, a = const > 0. Вычислить якобиан отображения (2.16) и доказать, что объем оползня не меняется при его движении:ZZZmes Ωt =dx = const.(2.17)Ωt2.2. Используя закон движения оползня (2.16), найти траекториивершин A, B, C основания призмы (см. рис. 26), имеющих одинаковуюординату ξ 2 = y0 − W/2.
Нарисовать эскиз формы оползня при t > 0.2.3. Для заданного закона движения оползня (2.16) определить скорость его частиц в лагранжевом представлении (2.10). Доказать, чтопри β = 0 оползень движется по откосу как абсолютно твердое тело.2.4. Для заданного закона движения (2.16) найти обратное отображение (2.7) и определить скорость частиц оползневой массы в эйлеровом представлении (2.9).2.5. Известно поле скоростей v L (ξ, t) частиц оползня в лагранжевомописании:¡¢v L,1 (ξ, t) = at + β T ctg θ + ξ 1 − x0 eβt ,v L,2 (ξ, t) = 0,hiv L,3 (ξ, t) = −at · tg θ − β T + (ξ 1 − x0 )tg θ eβt −¡¢− β ξ 3 + ξ 1 tg θ e−βt .(2.18)Найти закон движения оползня.2.6. Известно поле скоростей v E (x, t) частиц оползня в эйлеровомописании:·¸at2E,11v (x, t) = at + β x − x0 −+ T ctg θ ,2(2.19)v E,2 (x, t) = 0,·µ¶¸2atv E,3 (x, t) = −at · tg θ − β x3 + 2x1 − x0 −tg θ + T .2Найти закон движения оползня.110§ 3.
Силовые и энергетическиехарактеристики сплошной средыФундаментальную роль при описании сплошной среды, нарядус введенными ранее массой и внутренней энергией, играют также следующие количественные характеристики произвольного объема ω сплошной среды:импульс (количество движения)ZZZZZZK(ω) =ρ(x)v(x)dω =ρv dω,(3.1)ωωмомент импульса (момент количества движения)ZZZZZZH(ω) =ρ(x) (x × v(x)) dω =ρ (x × v) dωω(3.2)ω(здесь x × v — векторное произведение x на v в R3 ),кинетическая энергияZZZ12Ek (ω) =ρ(x) |v(x)| dω2(3.3)ωи полная энергияE(ω) = Ek (ω) + Ei (ω).(3.4)Введенные характеристики являются прямыми обобщениями насплошную среду известных из теоретической механики [4] понятийимпульса системы n материальных точекK=nXmi vii=1(vi — скорость i-й точки массы mi ),момента импульсаnXH=mi (xi × vi )i=1(xi — радиус-вектор i-й точки),111кинетическойEk =nX1i=12mi |vi |2и полной энергии как суммы кинетической и потенциальной (внутренней).Если зафиксировать объем сплошной среды ω0 ⊂ Ω0 и рассматривать характеристики (3.1)—(3.4) на движущемся объеме ωt = γt (ω0 ), тоони будут функциями только времени t.
Поведение этих характеристикпостулируется аксиомами баланса:Для любого движущегося объема ωt масса объема неизменна:dM (ωt ) = 0,dt(3.5)скорость изменения импульса равна главному вектору приложенныхк объему сил:dK(ωt ) = F (ωt ),(3.6)dtскорость изменения момента импульса равна главному моменту сил:dH(ωt ) = G(ωt ),dt(3.7)скорость изменения полной энергии равна вносимой мощности:dE(ωt ) = N (ωt ).dt(3.8)Эти аксиомы иногда называют принципом отвердевания, посколькууравнения (3.5)—(3.8) аналогичны уравнениям движения твердого тела.Смысл правых частей равенств (3.5)—(3.8) объясняется в следующихразделах курса.112§ 4. Замыкающие соотношенияи интегральные законы сохранения4.1. Замыкающие соотношения для сил. Будем рассматриватьдва класса сил, действующих на сплошную среду — внешние массовыеи внутренние поверхностные силы.Первая из этих сил Fe (ω) пропорциональна массе объема (типичнымпредставителем таких сил является сила тяжести).
Если потребовать,чтобы внешняя сила была непрерывной мерой, то у нее будет существовать объемная плотность fe :ZZZfe (x) dω.Fe (ω) =ωКак и выше, удобно пользоваться массовойf (x) = fe (x)/ρ(x). ТогдаZZZZZZFe (ω) =ρ(x)f (x) dω =ρf dω,ωплотностьюωа момент внешней силы определяется равенствомZZZGe (ω) =ρ(x × f ) dω.ωЭксперименты показывают, что кроме сил, действующих на объем(массу), имеются силы, действующие на поверхность ∂ω (например, силы давления, внутреннего трения и т. п.). Разумеется, понятие поверхностных сил условно, поскольку в рамках ньютоновской механики силымогут действовать только на массу.
Здесь имеется в виду, что рассматриваемые силы приложены к частицам среды, расположенным в слояхпренебрежимой толщины. Для того, чтобы определить эти силы, рассмотрим сечение σ области Ω на области Ω1 и Ω2 плоскостью Σ. Пустьn — нормаль к Σ, направленная, скажем, в сторону Ω2 (см. рис. 27).Формулируемая ниже аксиома внутренних поверхностных сил вводит вектор силы Fs (σ), действующей на часть объема Ω1 со стороны части объема Ω2 через плоскую область σ.
Если предполагать, что Fs (σ) —непрерывная плоская мера, то имеет место интегральное представлениеZZFs (σ) =pn (x) dσ.(4.1)σ113nFsΩ2ΣσΩ1Рис. 27. Внутренняя поверхностная сила Fs (σ)Величина pn (x) называется вектором напряжений внутренних поверхностных сил. Она позволяет говорить о векторе внутренних поверхностных сил, действующих на данный объем через площадку поверхности в точке x с нормалью n.Аксиома внутренних поверхностных сил гласит:Внутренняя поверхностная сила Fs (σ) определена для любого сечения σ области Ω и является непрерывной плоской мерой.Эта аксиома гарантирует существование вектора pn (x) напряженийповерхностных сил, с помощью которого главный вектор внутреннихповерхностных сил, действующих на объем ω через его поверхность,определяется формулойZZZZFi (ω) =pn(x) (x) dσ =pn dσ,∂ω∂ωгде n(x) — орт нормали к поверхности ∂ω объема ω в точке x.Наличие вектора pn позволяет также определить момент внутренних поверхностных сил, действующих на ω через ∂ω:ZZZZ¡¢Gi (ω) =x × pn(x) (x) dσ =(x × pn ) dσ.∂ω∂ωСледующая аксиома (аксиома сил и моментов) постулирует тот факт,что существование других сил и моментов, кроме рассмотренных выше,114в данной модели не предполагается:Правые части уравнений баланса импульса (3.6) и момента импульса (3.7) определяются, соответственно, выражениямиZZZZZF (ω) = Fe (ω) + Fi (ω) =ρf dω +pn dσиωZZZG(ω) = Ge (ω) + Gi (ω) =∂ωZZρ (x × f ) dω +ω(x × pn ) dσ.∂ω4.2.
Замыкающие энергетические соотношения. По аналогиис классической механикой можно ввести понятия мощностей, развиваемых внешними массовыми и внутренними поверхностными силамиZZZZZNe (ω) =ρv · f dω,Ni (ω) =v · pn dσ.ω∂ωКроме того, постулируется существование тепловых потоков. Онивводятся аксиомами полностью аналогично, с математической точкизрения, внутренним поверхностным силам.
Аксиома потока тепла гласит, чтоПоток тепла Q(σ) определен для любого сечения σ области Ω и является непрерывной плоской мерой.Если выполнена эта аксиома, то определена поверхностная плотность qn потока тепла:ZZQ(σ) =qn dσ,σа она, в свою очередь, позволяет говорить о потоке тепла в объем ω изобласти Ω\ω через границу ∂ω:ZZZZQ(ω) =qn(x) (x) dσ =qn dσ.∂ω∂ωПоследняя аксиома (аксиома передачи энергии) завершает описаниемеханизмов передачи энергии в данной модели:115Правая часть уравнения баланса энергии (3.8) определяется выражениемZZZZZZZN (ω) = Ne (ω) + Ni (ω) + Q(ω) =ρv · f dω +v · pn dσ +qn dσ.ω∂ω∂ω4.3. Интегральные законы сохранения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
