Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 6
Текст из файла (страница 6)
13. Интегральные кривые (3.37): а — λ < 0; б — λ > 066yyy*y*xx*x*аxбРис. 14. Фазовые траектории, соответствующие решениям (3.37) линейной системы уравнений (3.26) в случае кратного собственного значения (3.36): а — λ < 0; б — λ > 0им соответствуют линейно независимые собственные векторыÃ!V (x∗ )r 1 = r,r2 = r ≡,λ(3.40)при этомAr = λ r,Ar = λ rи общее решение системы (3.26) имеет вид [20]¡¢¡¢x(t) = x∗ + C1 Re eλt r + C2 Im eλt r .(3.41)ПосколькуÃλte=eσt/2pcos|d| t+ i sin2p|d| t2!,(3.42)√то из формулы (3.41) следует, что при −2 µ < σ < 0 точка покоя x∗√будет асимптотически устойчивым решением, при 0 < σ < 2 µ —неустойчивым, а при σ = 0 — устойчивым, но не асимптотически.На рис. 15 показаны графики компонент решения (3.41) для некоторой фиксированной начальной точки x0 в случае Re λ 6= 0.
Видно, чтофункции x(t), y(t) являются колеблющимися функциями, при этом амплитуда колебаний уменьшается, если Re λ < 0, и увеличивается, есливещественная часть комплексного корня λ положительна.67y(t)y*x*y(t)y*x*x(t)t0x(t)t0абРис. 15. Интегральные кривые (3.41): а — Re λ < 0; б — Re λ > 0На рис. 16 изображены фазовые траектории в случае Re λ 6= 0. Ониимеют вид спиралей, закрученных против часовой стрелки, при этомтраектории приближаются к точке покоя или удаляется от нее в зависимости от знака действительной части числа λ. Соответственно, точкапокоя называется устойчивым фокусом, если Re λ < 0, и неустойчивым фокусом, если Re λ > 0.Наконец, если Re λ = 0 (т.
е. σ = 0), то с учетом формул (3.40),(3.42) получаем следующие выражения для компонент решения (3.41):V (x∗ )sin pt,p(3.43)py(t) = y∗ + (y0 − y∗ ) cos pt + (x0 − x∗ )sin pt,V (x∗ )pгде p = |d|/2, x0 = (x0 , y0 ) — начальная точка интегральной кривой.x(t) = x∗ + (x0 − x∗ ) cos pt − (y0 − y∗ )yyy*y*x*xx*аxбРис. 16. Фазовые траектории, соответствующие решениям (3.41) линейной системы уравнений (3.26) в случае комплексных собственныхзначений (3.39): а — Re λ < 0; б — Re λ > 068Таким образом, компоненты решения (3.43) являются периодическимифункциями, соответствующие им фазовые траектории — эллипсами,описываемыми уравнениями22(x − x∗ )(y − y∗ )+= 1,CV (x∗ )/p Cp/V (x∗ )где2C=2(x0 − x∗ )(y0 − y∗ )+,V (x∗ )/pp/V (x∗ )а точка покоя — центром.
Такой тип точки покоя нам уже встречалсяпри исследовании линеаризованных уравнений Лотки—Вольтерра (см.п. 3.2).Суммируя результаты исследований всех возможных случаев (3.30),(3.35), (3.38), можно сказать, что точка покоя x∗ асимптотически устойчива при σ < 0, неустойчива при σ > 0, устойчива, но не асимптотически при σ = 0. Для рассматриваемой задачи этот результат можнопереформулировать и так: если Re λi < 0 (i = 1, 2), то имеем асимптотически устойчивую точку покоя, если Re λi > 0 — неустойчивую, приRe λi = 0 устойчивую, но не асимптотически.Итак, мы выполнили полное исследование поведения решения модели первого приближения (3.26) в окрестности рассмотренной точки покоя x∗ . Можно ли утверждать, что решение нелинейной модели (3.18)ведет себя аналогично решению линейной модели? Оказывается, чтов некоторых случаях такое утверждение будет верным.
Оно основывается на теоремах Ляпунова, формулировку одной из которых мы здесьприведем.Теорема 3.1. Если корни характеристического уравнения системыпервого приближения (3.26) имеют отрицательные вещественные части, то точка покоя x∗ нелинейной системы (3.9) асимптотическиустойчива. Если хоть один корень имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.Таким образом, основываясь на этой теореме, можно утверждать,что при любых значениях параметра (3.27), кроме σ = 0, поведениерешения нелинейной модели Колмогорова (3.18) в окрестности точкипокоя будет такое же, как в линейной модели (3.26): оба решения будутодновременно либо асимптотически устойчивыми, либо неустойчивыми,точка покоя будет либо узлом, либо фокусом для обеих моделей.69Что же касается случая σ = 0, то приведенная теорема не дает ответа на вопрос о соответствии свойств решений линейной и нелинейноймоделей в окрестности точки покоя.3.4. Мы установили, что изучение свойств решений линейной моделиможет дать в некоторых случаях ясное представление о качественномповедении решения нелинейной модели.
Для модели Колмогорова (3.18)остались невыясненными лишь свойства решения при значении параметра σ = 0, т. е. когда корни характеристического уравнения (3.28)линейной системы (3.26) являются чисто мнимыми числами. Нельзя лисказать, что и для нелинейных уравнений точка покоя будет, как и в линейной модели, центром, а фазовые траектории — циклами? Вспомним,что для нелинейной модели Лотки—Вольтерра (3.9), (3.11) мы получилисоответствие по типу точки покоя и форме фазовых траекторий с системой линейных уравнений (3.13), причем корни характеристическогоуравнения последней системы были чисто мнимыми числами (3.14). Нооказывается, что в общем случае при наличии чисто мнимых корнейхарактеристического уравнения такого соответствия уже может и небыть.
Приведем соответствующий пример.Автономная система уравнений¡¢dx= −py − x x2 + y 2 ,dt¡¢dy= px − y x2 + y 2dt(3.44)с параметром p = const > 0 имеет единственную неподвижную точкуx∗ = (0, 0) и может быть проинтегрирована аналитически для любыхначальных данныхx(0) = x0 = (x0 , y0 ).(3.45)В самом деле, введем полярные координатыx = r cos ϕ,y = r sin ϕ(3.46)и перейдем в системе (3.44) к новым зависимым переменным r = r(t)и ϕ = ϕ(t):drdϕcos ϕ −r sin ϕ = −pr sin ϕ − r3 cos ϕ,dtdtdrdϕsin ϕ +r cos ϕ = pr cos ϕ − r3 sin ϕ.dtdt70Разрешив эту систему относительно производных, получим простыеуравненияdrdϕ= −r3 ,= p,dtdtкоторые имеют решениеs1r(t) =,ϕ(t) = pt + ϕ0 ,(3.47)2t + 1/r02где числа r0 и ϕ0 однозначно определяются заданными начальнымиданными (3.45):x0 = r0 cos ϕ0 ,y0 = r0 sin ϕ0 .Подставляя найденные функции (3.47) в формулы (3.46), приходим к следующему виду решения нелинейной задачи (3.44), (3.45):ss11x(t) =cos (pt + ϕ0 ) ,y(t) =sin (pt + ϕ0 ) .22t + 1/r02t + 1/r02На рис.
17, а изображены фазовые траектории этих решений при значении параметра p = 1. Видим, что для нелинейной системы уравнений (3.44) точка покоя является устойчивым фокусом, при этом фазовые траектории стремятся к точке покоя медленнее, чем траекториирешений вида (3.41) с экспоненциальными множителями.11yy0-10-10-1x 1а-10x 1бРис. 17. Фазовые траектории: а — соответствующие решениям нелинейной системы уравнений (3.44); б — линейного приближения (3.48)71Теперь в окрестности точки покоя рассмотрим первое приближениесистемы (3.44):dx= Ax,(3.48)dtгдеÃ!0−pA=.p0Матрица A имеет чисто мнимые комплексно сопряженные собственныезначенияλ1 = −ip,λ2 = ip,поэтому, согласно формуле (3.41), для компонент решения задачи (3.48),(3.45) получаем выражения вида (3.43):x(t) = x0 cos pt − y0 sin pt,y(t) = y0 cos pt + x0 sin pt.(3.49)Отсюда следует, что фазовые траектории, соответствующие решениям (3.49) линейной системы, являются концентрическими окружностями (см. рис.
17, б)x2 + y 2 = x20 + y02с центром в точке покоя и не имеют ничего общего с фазовыми траекториями исходной нелинейной задачи. Таким образом, в данном случаенелинейная модель и ее линейный аналог не являются качественно эквивалентными, и по свойствам решения линейного приближения оказалось невозможным правильно предсказать поведение решения исходнойнелинейной задачи. Отметим, что это можно сделать, используя приближения более высокого порядка [2].На простых примерах мы убедились, что линейные аналоги исходных нелинейных математических моделей могут дать полезную, хотяи не всегда полную, информацию об изучаемых реальных явлениях.Иногда (это зависит от цели исследования) применение лишь линейных моделей может привести к положительному результату, но надовсегда помнить, что они имеют ограниченную область применимости,границы которой определяются путем сравнения с результатами, полученными по более полным моделям.
При всех недостатках линейныемодели обязательно должны быть включены в иерархическую цепочкуматематических моделей, предназначенных для исследования реальныхобъектов.72ЗАДАЧИ3.1. В п. 3.2 мы установили, что точка покоя x∗ = (1, 1) является устойчивым решением типа центр системы уравнений Лотки—Вольтерра (3.9), (3.11) с положительным параметром p > 0. Используяпервое приближение этой системы, исследовать на устойчивость другиеточки покоя.3.2. В п. 3.3 мы установили, что при σ 6= 0 точка покоя x∗ , координаты x∗ , y∗ которой определены в формулах (3.23), (3.24), являетсяузлом или фокусом, устойчивым или неустойчивым решением моделиКолмогорова (3.18).
Используя линейное приближение этой модели, исследовать на устойчивость другие точки покоя.3.3. Запишем систему уравнений (2.21) в безразмерных переменных (2.32) и переобозначим новые переменные ξ, η и τ вновь как x,y и t. В результате получим автономную систему (см. ответ задачи 2.4)dx= (1 − qx)x − (1 − q)xy,dtdy= p(x − 1)y,dt(3.50)гдеp = const > 0,0 < q = const < 1.(3.51)Используя первое приближение этой системы, исследовать на устойчивость все точки покоя и нарисовать эскизы фазовых траекторий.3.4. Перепишем систему (2.27) в привычных обозначенияхµ¶¢dxydy ¡=ε 1−x−x,= 1 − p x − y y.(3.52)dtpdtЗдесь ε и p — параметры, удовлетворяющие условиямε = const > 0,p = const > 0,p 6= 1.(3.53)Используя первое приближение, исследовать на устойчивость всеточки покоя нелинейной системы уравнений (3.52) и нарисовать эскизыфазовых траекторий.73§ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
