Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 8
Текст из файла (страница 8)
20, б. Видно, что одновременно максимальноезначение обоих показателей x∗ , y∗ не достигается ни в одной точке (k, s).Таким образом, в задаче оптимизации показателей x∗ , y∗ нужны неко-y*x*3122300.5,s110а,0.5s1бРис. 18. Графики зависимости от параметра s: а — капиталовооруженности x∗ ; б — численности работающих y∗ при значении параметра k,равном 0, 2 (1); 0, 5 (2); 0, 8 (3). α = 0, 680y*x*2331210.5,01k,0.50аk1бРис. 19. Графики зависимости от параметра k: а — капиталовооруженности x∗ ; б — численности работающих y∗ при значении параметра s,равном 0, 2 (1); 0, 5 (2); 0, 8 (3). α = 0, 6торые дополнительные критерии или экспертные оценки.
Некоторыеподходы к решению подобного рода задач обсуждаются в следующемпараграфе.sy*3s22Ω4Q231s141k1k2x*kабРис. 20. Области изменения: а — параметров k и s; б — капиталовооруженности x∗ (k, s) и численности работающих y∗ (k, s). α = 0, 6814.3. Среди всех экономических ресурсов, используемых в производстве товаров и услуг, наиболее важным является труд, который, в отличие от обычных товаров, покупается не для удовлетворения потребителя, а для того, чтобы производить конкретную продукцию.
Спрос нарабочую силу в общем виде отражает потребность экономики в определенном количестве работников на каждый данный момент времени. Настороне спроса выступают работодатели, а предложение представленодействующими и потенциальными работниками, чье решение о поступлении на работу зависит от предлагаемой зарплаты.Пусть x(t) — зарплата и y(t) — число занятых работников в моментвремени t. Будем считать, что при отсутствии работников зарплата растет экспоненциально с относительной скоростью α, а при отсутствиизарплаты численность работников экспоненциально убывает с относительной скоростью β, т.
е. величины x(t), y(t) описываются в этих экстремальных случаях уравнениямиdxdy= αx,= −βy.(4.28)dtdtЗдесь α = const > 0, β = const > 0.Далее будем предполагать, что при наличии y работников темп αроста зарплаты уменьшается на величину my, пропорциональную текущей численности работников, где m = const > 0, а при наличиизарплаты x темп β изменения численности работающих возрастает навеличину γx (γ = const > 0), пропорциональную величине зарплаты.При этих предположениях система уравнений (4.28) модифицируетсяв следующую:dxdy= (α − my) x,= (γx − β) y.(4.29)dtdtВидим, что полученная система уравнений полностью идентична системе уравнений Лотки—Вольтерра (2.11).
Основываясь на выполненном в п. 2.2 анализе, можно сделать некоторые выводы относительнодинамики зарплаты и численности работающих. Например, в положительном квадранте существует единственная точка равновесияβαx∗ = ,y∗ = .(4.30)γmЭта точка имеет тип центр, фазовые траектории являются цикламинаподобие изображенных на рис. 7, б и 8. Если в начальный момент времени зарплата и численность работающих не совпадают с равновесными значениями (4.30), то функции x(t), y(t) являются периодическими,82при этом их средние по периоду значения совпадают с равновесными(см. задачу 2.3).
Интересной особенностью является и то, что в некоторые моменты времени зарплата может быть максимальной, а числоработающих меньше максимально возможного и наоборот, зарплата может быть средней, но за нее в этот момент времени работают все потенциально возможные работники.Таким образом, хотя сущность рассмотренных биологических и экономических явлений различна, построенные модели оказались идентичными. Это свидетельствует о важнейшем свойстве математическихмоделей — их универсальности, которая является следствием универсальности принципов описания окружающего мира и широко используется при изучении объектов самой разнообразной природы.ЗАДАЧИ4.1. Считая параметры m, β, k и δ неизменными, выяснить влияниенормы накопления s на характер приближения экономической системы, описываемой в рамках модели (4.21), (4.22), к своему состояниюравновесия (4.23).4.2.
Показать, что при любых допустимых значениях параметров α,β, k, s, m, δ точка покоя (4.27) является либо устойчивым узлом, либоустойчивым фокусом системы уравнений (4.25).4.3. Считая параметры α, β, m, δ состояния равновесия (4.27) фиксированными, исследовать характер зависимости от параметров k и s капитала X, конечного продукта D и среднедушевого потребленияc = (1 − k)C/y∗ .4.4. Если параметры α, β, m, δ считать фиксированными, а точку (k, s) принадлежащей прямоугольнику Q (см. рис. 20, а), то уравнения (4.27) будут описывать отображениеx∗ = x∗ (k, s),y∗ = y∗ (k, s)(4.31)области Q на область Ω переменных x∗ , y∗ , показанную на рис.
20, б.Доказать невырожденность этого отображения. Объяснить, почему приотображении (4.31) обход границы области Q против часовой стрелкисоответствует обходу границы области Ω по часовой (на рис. 20 соответствующие направления обходов указаны стрелками).83§ 5. Математическое моделированиев задачах поддержкипринятия решенийДля многих сложных проблем математические моделиформулируются сразу в дискретной форме, например,в виде систем алгебраических уравнений и неравенствдля большого числа неизвестных величин. При разработке эффективных алгоритмов численного решения таких задач возникает множество специфичных вопросов,требующих глубокого изучения с привлечением знанийиз широкого спектра математических дисциплин.5.1. Практическая потребность общества в научных основах принятия решений возникла уже давно.
В последние годы в связи со значительным усложнением функций управления во всех областях человеческой деятельности задачи о принятии оптимальных решений сталиособенно актуальными. В этих сложных задачах имеется как правилонесколько противоречивых целей и критериев, поэтому выбор наиболеерационального решения из множества допустимых альтернатив решений становится весьма сложной проблемой [14]1 . Основные методы теории принятия решений излагаются в курсе «Исследование операций»(см., напр., [8]), а здесь на нескольких примерах будут рассмотреныматематические модели некоторых простейших ситуаций и обозначеныподходы к решению возникающих задач.Пример 5.1.
Перевозчики должны доставить продукцию (товар)со складов I и II с запасами a1 = 70, a2 = 50 потребителям A и Bс потребностями b1 = 80 и b2 = 60. За единицу перевезенной продукции со склада I потребителю A перевозчики получают вознаграждение,равное 6, с того же склада, но потребителю B — 8 и т. д. как указанона схеме (см. рис. 21, а).
Необходимо определить оптимальный (с точкизрения перевозчиков) план перевозок (x1 , x2 , x3 , x4 ), при котором транспортная компания получит наибольшее вознаграждение за свою работу,1Вкниге известных американских авторов R. Keeney и H. Raiffa развиваетсяметодология принятия решений, основывающаяся на использовании функций полезности. Рассматривается большое количество приложений описываемых методовк задачам принятия решений, связанных с выбором мест расположения аэропортаи электростанции, деловой деятельностью, медицинской диагностикой и т. п.84x2AI70II6x18x4e5080dc305Qx3506Bx21060a10b30а5070x1бРис.
21. Задача определения оптимального плана перевозок: а — схемаперевозок грузов; б — область допустимых значений переменных x1 , x2т. е. такой план, при котором целевая функцияf = 6x1 + 6x2 + 8x3 + 5x4(5.1)будет принимать наибольшее значение с учетом ограниченийx1 + x4 ≤ 80,x2 + x3 ≤ 60,(5.2)x1 + x3 ≤ 70,x2 + x4 ≤ 50,(5.3)xi ≥ 0,i = 1, 2, 3, 4.(5.4)В приведенных формулах через x1 обозначено количество едиництовара, перевезенного со склада I потребителю A, x2 — со склада IIпотребителю B и т. д., как изображено на рис. 21, а. Эти переменныедолжны принимать неотрицательные значения, что отражено в неравенствах (5.4).
Неравенства (5.2) означают, что в пункты назначениябудет доставлено продукции не больше их потребностей, а неравенства (5.3) — количество вывозимой с каждого склада продукции не превышает ее запаса.Видим, что полученная задача существенно отличается от рассмотренных ранее: здесь нет дифференциальных уравнений и начальныхусловий, но появились ограничения на искомые величины в виде системлинейных неравенств. Поэтому алгоритмы решения здесь будут совершенно иными, нежели алгоритмы решения начально-краевых задач для85дифференциальных уравнений. Поставленная задача рассматриваетсяв рамках линейного программирования — математической дисциплины, изучающей методы нахождения наибольшего (или наименьшего)значения линейной функции нескольких переменных, которые удовлетворяют конечному числу линейных уравнений и неравенств. Ясно, чтометод прямого перебора всех возможных вариантов здесь неприемлем:уж слишком много может быть таких вариантов в реальных ситуациях,когда число поставщиков и потребителей измеряется сотнями.Для нашего примера мы можем довести решение до конца, не прибегая к использованию общих методов.
В самом деле, очевидно, что функция (5.1) может принимать максимальное значение только при условииполного вывоза запасов, поэтому неравенства (5.3) можно сразу заменить на равенстваx1 + x3 = 70,x2 + x4 = 50,из которых следует, чтоx3 = 70 − x1 ,x4 = 50 − x2 .(5.5)Поэтому задача (5.1)—(5.4) может быть переписана какf (x1 , x2 ) = 810 − 2x1 + x2 ,0 ≤ x1 ≤ 70,0 ≤ x2 ≤ 50,10 ≤ x1 − x2 ≤ 30.(5.6)(5.7)Область допустимых значений переменных x1 , x2 , т. е. всех решений системы неравенств (5.7), показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
