Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. , fn∗ , определяемая в результате экспертного опроса. Например, параметры x будущей конструкциидолжны быть такими, чтобы функции fi (x) принимали максимальныезначения и удовлетворяли дополнительным условиямfi (x) ≥ fi∗ ,i = 1, . . . , n.(5.41)В этих случаях единую целевую функцию удобно представить в видеF (x) = minifi (x)→ maxfi∗(5.42)и искать вектор x, который обеспечивает максимальное значение F (x).Согласно формуле (5.42) при данном значении вектора x величина F (x)дает значение наихудшего из показателей fi (x). Значит, поиск максимального значения целевой функции F означает выбор такой системыконструктивных параметров x, которая максимизирует отношение i-гореально достигнутого значения критерия к его контрольному значению.При условиях (5.38), (5.39) задача (5.42) также сводится к задачелинейного программирования.
В самом деле, если ввести новую переменнуюfi (x)V = min ∗ifiи к ограничениям (5.39) добавить дополнительныеlXdsi xs ≥ V fi∗ ,s=198i = 1, . . . n,(5.43)то получается следующая задача линейного программирования: определить максимум по x скаляра V , удовлетворяющего ограничениям (5.39),(5.43).В заключение рассмотрим одноцелевую задачу, которая получается из многоцелевой (5.35) с помощью некоторой метрики ρ в n-мерномпространстве целевых функций, например, евклидовой метрики. Предположим, что в каждой i-й однокритериальной задаче (5.35) найденвектор xi , доставляющий максимальное значение i-му критерию:fi (xi ) = fbi ,i = 1, . . . n.(5.44)Совокупность скалярныхвеличинfbi определяет в пространстве крите³´bbbbриев точку f = f1 , f2 , .
. . , fn , которую назовем точкой «абсолютногоb является недостимаксимума». Если векторы xi различны, то точка fжимой в пространстве критериев, т. е. не принадлежит множеству доb∈стижимости (см. рис. 23, б и 24, б, где f/ Ω). Скалярная величинаà n!´2 1/2X³bρ(x) =fi (x) − fi(5.45)i=1определяет в пространстве критериев евклидово расстояние от точки f ,соответствующей данному вектору x, до точки «абсолютного максимуb . Введение метрики в пространстве целевых критериев позволяетма» fв качестве нового скалярного критерия F (x) принять функцию ρ(x),определенную соотношением (5.45).
Ее минимизация дает полезную информацию о возможности достижения «абсолютного максимума».Пример 5.5. Рассмотрим применение метода скаляризации к задаче из примера 5.3. На множестве Парето (5.31) целевые функции (5.30)принимают следующий вид:½¯810 − 2x1 , 10 6 x1 6 30,¯f1 ¯=→ max,(5.46)780 − x1 , 30 6 x1 6 70x∈PQ½¯650 + 3x1 , 10 6 x1 6 30,¯f2 ¯=→ max .(5.47)710 + x1 , 30 6 x1 6 70x∈PQСледовательно, линейная свертка (5.36), (5.37) определяется формулой(¯650 + 160C + (3 − 5C)x1 , 10 6 x1 6 30,¯F¯=→ max (5.48)x∈PQ710 + 70C + (1 − 2C)x1 ,30 6 x1 6 7099и выбор оптимального решения будет зависеть от заданного экспертамизначения весового параметра C, 0 < C < 1.
Отметим, что в некоторыхслучаях решение не является единственным (см. задачу 5.3).При задании контрольных показателей f1∗ , f2∗ получаем единую целевую функцию вида (5.42):½¾¯f1 (x) f2 (x)¯F¯= min,→ maxf1∗f2∗x∈PQили¾½810 − 2x1 650 + 3x1,,¯minf1∗f2∗¯F¯=½¾x∈PQ min 780 − x1 , 710 + x1 ,f1∗f2∗10 6 x1 6 30,→ max . (5.49)30 6 x1 6 70В этой однокритериальной задаче решений, удовлетворяющих условиям (5.41), может и не быть (завышенные контрольные показатели) (см.задачу 5.4).Критерий, основанный на минимизации евклидова расстояния (5.45)b = (790, 780) (см.до недостижимой точки «абсолютного максимума» fрис.
23, б), записывается в нашем случае следующим образом:q¯¯22F¯= (f1 (x) − 790) + (f2 (x) − 780) → minx∈PQили¯¯F¯ q (20 − 2x1 )2 + (3x1 − 130)2 ,=qx∈PQ (10 + x1 )2 + (x1 − 70)2 ,10 6 x1 6 30,→ min . (5.50)30 6 x1 6 70Этот критерий устанавливает в рассматриваемой задаче единственноеоптимальное решение (см. задачу 5.5).В этом параграфе мы коснулись лишь одного алгоритма решениязадач с большими объемами перерабатываемой информации и указалинекоторые трудности, возникающие при конструировании алгоритмовв любой предметной области.
Детальное исследование проблем построения эффективных алгоритмов будет выполнено позднее в соответствующих университетских курсах. Очевидно, что этот этап моделирования100является не менее важным и требует не меньших усилий и знаний, чемэтап построения математических моделей, поскольку используемые алгоритмы решения сложных задач еще далеки от совершенства. Научныеизыскания по ним продолжаются в настоящее время с неослабевающейинтенсивностью.ЗАДАЧИ5.1. Найти ранг матрицы системы уравнений (5.15), с помощью теоремы Кронекера—Капелли показать совместность этой системы и найтиее решение методом Гаусса.5.2. Показать, что в примере 5.4 наибольшая численность работающих получается при выборе решения (k2 , α) (точка e на рис.
24, а),где α — параметр производственной функции Кобба—Дугласа (4.13),при этом предполагается, что s1 < α < s2 .5.3. Найти оптимальное решение двухцелевой задачи (5.46), (5.47)при переходе к единому критерию (5.48) для следующих значений параметра C:а) C = 0, 4;г) C = 0, 6;б) C = 0, 5;д) C = 0, 7.в) C = 0, 55;5.4. Найти оптимальное решение двухцелевой задачи (5.46), (5.47)при переходе к единому критерию (5.49) для следующих значений контрольных показателей f1∗ , f2∗ :а) f1∗ = 740, f2∗ = 740;б) f1∗ = 745, f2∗ = 745;в) f1∗ = 750, f2∗ = 750.5.5. Найти оптимальное решение двухцелевой задачи (5.46), (5.47)при переходе к единому критерию (5.50).101Глава 21.1. У к а з а н и е. Показать, что приg=ε24γрешение задачи (1.7) задается формулойx(t) =1+ x∗ ,1γt +x0 − x∗x∗ =ε,2γпоэтому численность популяции будет монотонно уменьшаться, приближаясь к уровню x = x∗ .Еслиε2,g<4γто решение описывается формулойx1 (x0 − x2 ) − x2 (x0 − x1 )eγ(x2 −x1 )tx(t) =x0 − x2 − (x0 − x1 )eγ(x2 −x1 )tгде,pε2 − 4γgε + ε2 − 4γgx1 =, x2 =.2γ2γСледовательно, популяция также сохранится, причем она будет стабилизироваться на более высоком уровне x = x2 > x∗ , чем в первом случае.И наконец, рассмотреть случайε−pg>ε24γи показать, что теперь задача имеет решение·µ¶¸1ptx(t) =ε + p tg −+C,2γ2гдеp=µp4γg − ε2 ,C = arctg1262x0 γ − εp¶.Видно, что в этом случае вся популяция будет уничтожена к некоторому моменту времени.
Найти этот момент времени.1.2. У к а з а н и е. Показать, что при g = δx решение задачи (1.7)задается формулойx0при δ = ε, 1 + γx0 tx(t) =x0 x∗ e(ε−δ)tпри δ 6= ε,x∗ + x0 (e(ε−δ)t − 1)где x∗ = (ε − δ)/γ. Следовательно, при δ ≥ ε численность популяциис ростом времени стремится к нулю, а при δ < ε стабилизируется наболее низком уровне x∗ , чем при отсутствии вылова.2.1. У к а з а н и е. Качественный анализ решений системы уравнений (2.27) проводится аналогично анализу, выполненному в п.
2.1 длярешений системы (2.2). Вначале показываем, что функции ξ(τ ), η(τ )положительны и ограничены. Затем, используя первый интеграл системы (2.27)ξ p −(p−1)τe= C,ηполучаем, что η(τ ) → 0 при τ → ∞. После этого доказываем, что ξ(τ )неограниченно приближается снизу к единице при τ → ∞.2.2. У к а з а н и е.
Исследуем амплитуду колебаний численностижертв. В начальных данных (2.15) возьмем значение ξ0 = 1 и произвольное положительное значение η0 < 1. Согласно формуле (2.17), фазовая траектория, отвечающая этим начальным данным, будет определяться уравнениемµ ¶pξη1 η0= p η0 .eξeηe eАмплитуда колебаний a1 функции ξ(τ ) определяется формулой (2.20)и будет равна разности значений функции ξ(τ ) в самой правой и самойлевой точках траектории (см. гл.
2, рис. 7, б), ордината η которых равнаединице. Таким образом, величины ξmax и ξmin — корни уравненияµ ¶pξ11 η0= p η0 ,eξee e127илиf (ξ) = h(η0 , p),гдеf (ξ) =ξ,eξ³h=(28)´1/pη0eη0 +p−1.График функции f изображен на рис. 28.0.4,f,0.3h0.2,0.1,00ξ min123ξ max45ξРис. 28. График функции f (ξ)Далее доказать следующие утверждения:— для любых p > 0 и 0 < η0 < 1 выполняется неравенство h(η0 , p) <1/e, поэтому уравнение (28) всегда имеет два решения ξmin , ξmax , приэтом 0 < ξmin < 1 < ξmax ;— для каждого фиксированного p > 0 выполняется неравенство∂h/∂η0 > 0, поэтому с ростом начальной координаты η0 величина hрастет, а амплитуда колебаний a1 = ξmax − ξmin уменьшается (см.
гл. 2,рисунки 7, б и 8);— для каждого фиксированного η0 (0 < η0 < 1) выполняется неравенство ∂h/∂p > 0, поэтому с ростом параметра p величина h растет,а амплитуда колебаний a1 уменьшается (ср. рисунки 7, б и 8 из гл. 2).Аналогичным образом проведите анализ амплитуд колебаний численности хищников.1282.3.
Р е ш е н и е. Пусть T — период решения системы уравнений (2.13) с некоторыми начальными данными (2.15). Записав уравнения (2.13) в виде1 dη= p (ξ − 1)η dτ1 dξ= 1 − η,ξ dτи проинтегрировав последние уравнения по отрезку [0, T ], получаемравенстваZTln ξ(T ) − ln ξ0 =ZT(1 − η(τ )) dτ = T −00ZTln η(T ) − ln η0 = pη(τ )dτ,ZT(ξ(τ ) − 1) dτ = p0ξ(τ )dτ − pT.0В силу периодичности решения получаем, что ξ(T ) = ξ0 и η(T ) = η0 .ПоэтомуZTZT11η(τ )dτ =ξ(τ )dτ = 1 = ξ∗ = η∗ ,TT00т. е. действительно, для любых решений, независимо от начальных данных осредненные по периоду значения численностей популяций равнызначениям численностей в состоянии равновесия.£¤dξ= 1 − qξ − (1 − q)η ξ,dτ(29)¡¢dη= p ξ − 1 η.dτ3.1.
Р е ш е н и е. Система уравнений (3.9), (3.11) имеет две точки покоя: x∗ = (1, 1) и x∗ = (0, 0). Первая точка была исследованана устойчивость в п. 3.2. Поэтому остается рассмотреть только вторуюточку.Линеаризуя уравнения (3.9) в окрестности точки покоя x∗ = (0, 0),получаем систему линейных уравнений вида (3.48) с матрицей Якоби¯¯1−y−x10¯∂f¯.A=(x∗ ) = =¯∂x¯pyp(x − 1)0 −px=x2.4.∗129Собственные значения этой матрицы вещественны и различныλ1 = −p < 0,λ2 = 1 > 0,им соответствуют линейно независимые собственные векторыà !Ã!01r1 =, r2 =,10общее решение линейной задачи описывается формулой (3.32), из которой следуют следующие выражения для компонент решения, удовлетворяющего начальным данным (3.45):x(t) = x0 et ,y(t) = y0 e−pt ,(30)при этом биологическое содержание имеют решения, соответствующиенеотрицательным значениям x0 ≥ 0, y0 ≥ 0.Поскольку одно из собственных значений положительно, то точкапокоя x∗ = (0, 0) будет неустойчивым решением линейной системы:если x0 > 0, то x(t) → ∞ при t → ∞, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
