Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

е. решение с ростом времениудаляется от точки покоя. Согласно теореме 3.1, эта точка покоя будети неустойчивым решением нелинейной системы (3.9), (3.11).Если из уравнений (30) исключить время, то получим первый интеграл линейной системыΨ(x, y) = C = const.ZY1yX0-1а-10x 1бРис. 29. Точка покоя типа «седло»: а — график поверхности (31);б — фазовые траектории, соответствующие решениям (30) при p = 1130Например, при p = 1 получаем, чтоΨ(x, y) = xy.(31)Поскольку поверхность z = Ψ(x, y) (см. рис. 29, а) является седлообразной, то рассматриваемая точка покоя называется седлом. Линии уровня этой поверхности, являющиеся при x0 6= 0, y0 6= 0 гиперболами (см.рис.

29, б), совпадают с фазовыми траекториями, соответствующимирешениям (30).3.2. У к а з а н и е. Показать, что система уравнений (3.18) крометочки покоя (3.23), (3.24) имеет еще две: x∗ = (0, 0) и x∗ = (x∗ , 0), где³´x∗ = a−1 (0) > 0,a(x∗ ) = 0 .В окрестности точки покоя x∗ = (0, 0) первое приближение системы (3.18) имеет вид уравнения (3.48) с матрицей ЯкобиÃ!a(0)0A=.0K(0)Убедитесь в том, что собственные значения этой матрицы имеют противоположные знаки и точка покоя есть седло как для системы линейныхуравнений (3.48), так и для нелинейных (3.18).Матрица Якоби первого приближения в точке покоя x∗ = (x∗ , 0)запишется какà 0!a (x∗ )x∗−V (x∗ )A=.0K(x∗ )Ее собственные значенияλ1 = a0 (x∗ )x∗ < 0,λ2 = K(x∗ )могут быть одного знака или иметь противоположные знаки.

ЕслиK(x∗ ) < 0, то точка покоя является для нелинейной системы (3.18)асимптотически устойчивым узлом, при K(x∗ ) > 0 — седлом, приK(x∗ ) = 0 линейное приближение не дает ответа на вопрос о типе этойточки покоя.3.3. У к а з а н и е. Показать, что система уравнений (3.50) имееттри точки покоя: x∗ = (0, 0), x∗ = (1/q, 0) и x∗ = (1, 1).131Покажите, что первые две точки имеют тип седло, а третья являетсяасимптотически устойчивым узлом при условииp≤q2,4(1 − q)а при нарушении этого условия — устойчивым фокусом.З а м е ч а н и е.

Система уравнений (3.50) является частным случаем модели Колмогорова (3.18), если в последней взять следующиекоэффициенты:a(x) = 1 − qx,V (x) = (1 − q)x,K(x) = p(x − 1).При этом, очевидно, требования (3.20)—(3.22) удовлетворяются.3.4. У к а з а н и е. Показать, что система уравнений (3.52) имеет триточки покоя x∗ = (0, 0), x∗ = (1, 0) и x∗ = (0, 1). Показать, что точкапокоя x∗ = (0, 0) является неустойчивым узлом, точка x∗ = (1, 0) —асимптотически устойчивым узлом при p > 1 и имеет тип седло, если0 < p < 1, точка x∗ = (0, 1) — наоборот: при 0 < p < 1 — асимптотически устойчивый узел, при p > 1 — седло.4.1.

У к а з а н и е. Показать, что согласно выражениям (4.24)дискриминант d характеристического уравнения (3.28) первого приближения системы (4.21) вычисляется по формулеd = β (β − 4sm) .Используя эту формулу, показать, что при β ≥ 4m точка покоя (4.23)будет устойчивым узлом при любой норме накопления 0 < s < 1, а приβ < 4m точка покоя будет устойчивым узлом для s ≤ β/(4m) и устойчивым фокусом при s > β/(4m).

Таким образом, при условии β < 4mпринятие достаточно большой нормы накопления приводит к колебательному характеру установления стационарного состояния экономики.4.2. У к а з а н и е. Показать, что в окрестности точки покоя (4.27)матрица A первого приближения (3.26) системы уравнений (4.25) имеетвидσ−δx∗A=,ks(1 − s)m2 α 2α−2x∗0δ132где σ = −αβ + sm(α − 1)xα−1, и характеристическое уравнение записы∗вается какλ2 − σλ + αβδy∗ = 0.Далее показать, что Re λi < 0 (i = 1, 2). Тогда из теоремы 3.1 будет следовать, что при t → ∞ решение нелинейной системы уравнений (4.25) неограниченно приближается к точке покоя.4.3. У к а з а н и е. Показать, что исследуемые показатели вычисляются по формулам:µ¶2−1/ᵶβssm2β1X=; D=; c=β−1 .δ k(1 − s)δk(1 − s)mk4.4. У к а з а н и е. Показать, что для отображения (4.31) справедливы равенства:∂x∗β(k, s) =x1−α ,(32)∂sαkm(1 − s)2 ∗∂y∗mms∂x∗+(k, s) = xα−1(α − 1)xα−2(k, s),(33)∗∂sδ ∗δ∂sβ∂y∗ms∂x∗∂x∗(k, s) = − 2x1−α ,(k, s) =(α−1)xα−2(k, s).∗∂kαk m(1 − s) ∗∂kδ∂kДалее доказать, что якобиан отображения (4.31) отрицателен.5.1.

У к а з а н и е. Показать, что ранг матрицы системы уравнений (5.15) равен четырем и совпадает с рангом расширенной матрицыэтой системы. Показать, что при использовании метода Гаусса получается решение (5.21).5.2. У к а з а н и е. Используя формулы (32), (33), (5.32), показать,что·¸∂y∗βs(α − 1)(k, s) =1+.∂sδk(1 − s)x∗α(1 − s)5.3. а) x1 = 70, x2 = 40; в) x1 = 30, x2 = 0; д) x1 = 10, x2 = 0;б), г) — бесконечное множество решений.5.4. а), б) — x1 = 35, x2 = 5; в) — не существует решения, удовлетворяющего условиям (5.41).5.5.

x1 = 30, x2 = 0.133.

Характеристики

Список файлов лекций