Хакимзянов Чубаров Воронина печатные лекции часть 2 (973558), страница 5
Текст из файла (страница 5)
рис. 10). И хотя они не совпадают с фазовыми траекториями нелинейной задачи (ср. рис. 7, б и рис. 10, а,а также рис. 8, б и рис. 10, б), эти траектории гомеоморфны, т. е. однипереходят в другие при подходящем взаимно-однозначном непрерывном отображении. Поэтому можно считать, что и по форме фазовыхтраекторий сравниваемые системы эквивалентны.6022yy10101x020а1x2бРис. 10. Фазовые траектории решений линейной системы уравнений:а — p = 0, 5; б — p = 2И наконец, для обеих рассматриваемых систем точка покоя имеетодин и тот же тип — является центром, а фазовые траектории в обоихслучаях являются циклами.Таким образом, если бы мы ничего не знали об устойчивости точки покоя и ее типе для нелинейной системы (3.9), (3.11), тем не менее,мы дали бы правильный ответ, исследуя устойчивость точки x∗ длялинейных уравнений (3.13), поскольку оказалось, что эти системы качественно эквивалентны: при некотором взаимно-однозначном отображении «фазовый портрет» первой системы переходит в «фазовый портрет» второй и наоборот.3.3.
В настоящее время существует большое число моделей типа«хищник–жертва» более общих [22], чем математическая модель Лотки—Вольтерра (2.11). Одной из них является модель Колмогорова1dx= a(x)x − V (x)y,dtdy= K(x)y,dt(3.18)1 Колмогоров Андрей Николаевич (1903–1987) — величайший русский математик ХХ столетия, создатель современной теории вероятностей, автор классическихрезультатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теориигамильтоновых систем. Созданные им школы в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе и теории гамильтоновых систем определили развитиеэтих направлений математики в ХХ столетии.61которую можно записать в виде автономной системы (3.9), если ввестивектор-функци赶µ¶xa(x)x − V (x)yx=,f=.(3.19)yK(x)yВ рассматриваемой модели коэффициент a(x) связан с приростомжертв, K(x) — хищников, V (x) — трофическая функция.
Напомним,что в модели Лотки—Вольтерра (2.11) трофическая функция и функция K(x) зависели от x линейно. Теперь же вид функций a(x), V (x)и K(x) не конкретизируется, однако при выводе уравнений для придания решениям биологического смысла делаются некоторые качественные предположения о характере зависимости этих функций от переменной x:— функции a(x), V (x), K(x) определены при всех x ≥ 0 и непрерывно дифференцируемы;— в отсутствие хищников коэффициент a(x) естественного приростажертв монотонно убывает с возрастанием их численности, переходя отположительных значений к отрицательным:a0 (x) < 0,a(0) > 0 > a(∞);(3.20)это условие отражает наличие в популяции жертв внутривидовой борьбы за ограниченные ресурсы (пищевой и другие);— с ростом численности жертв коэффициент естественного приростахищников монотонно возрастает, переходя от отрицательных значений(при недостатке пищи) к положительным:K 0 (x) > 0,K(0) < 0 < K(∞);(3.21)— число жертв, потребляемых одним хищником за единицу времени,положительно, а в отсутствии жертв это число равно нулю:V (x) > 0 при x > 0,V (0) = 0.(3.22)Система уравнений (3.18) имеет несколько точек покоя.
Все они находятся путем решения уравнения (3.10). Исследуем на устойчивостьодну из точек покоя, а именно точку x∗ = (x∗ , y∗ ), первая координата x∗ которой является корнем уравнения K(x) = 0 (в силу предположения (3.21) корень существует, причем единственный), т. е.³´x∗ = K −1 (0) > 0,K(x∗ ) = 0 ,(3.23)62а вторая задается формулойy∗ =a(x∗ )x∗.V (x∗ )(3.24)Из формул (3.23), (3.24) следует, что точка x∗ будет лежать в положительном квадранте (x > 0, y > 0) только еслиa(x∗ ) > 0.(3.25)Это условие будем считать выполненным.В силу общности системы (3.18) трудно сказать что-либо определенное относительно устойчивости положения равновесия, поэтому в предположении малости отклонений (3.12) заменим нелинейную систему(3.9), (3.19) линейнойdx∂f= f (x∗ ) +(x∗ ) (x − x∗ ) ,dt∂xкоторая в силу равенства f (x∗ ) = 0 примет вид уравнения (3.13)dx= A (x − x∗ )dtс матрицей Якоби∂f1(x∗ )∂f ∂xA=(x∗ ) ≡ ∂x ∂f2(x∗ )∂xгде∂f1(x∗ )σ∂y =∂f2K 0 (x∗ )y∗(x∗ )∂yσ = a0 (x∗ )x∗ + a(x∗ ) − V 0 (x∗ )y∗ .(3.26)−V (x∗ ),0(3.27)Линейная модель (3.26) получена с использованием формулы Тейлора для представлении вектор-функции f (x) в окрестности точки x∗ ,при этом в разложении оставлены слагаемые (3.12) лишь первого порядка малости.
Поэтому модель (3.26) называется моделью первого порядкааппроксимации или первого приближения по отношению к нелинейноймодели (3.9). При изучении тонких свойств решений нелинейных уравнений иногда оказывается целесообразным использование приближенийвторого и более высокого порядков аппроксимации.63Исследуем устойчивость указанной точки покоя для системы линейных уравнений (3.26), выписав в конечном виде решение, соответствующее начальным данным (3.4).
Вид решения существенно зависит отсобственных значений λ1,2 матрицы A, которые являются корнями характеристического уравненияλ2 − σλ + µ = 0,(3.28)где µ = V (x∗ )K 0 (x∗ )y∗ . Отметим, что в силу условий (3.21), (3.22), (3.25)будет справедливо неравенствоµ > 0.(3.29)Обозначим через d = σ 2 − 4µ дискриминант квадратного уравнения (3.28) и рассмотрим случай, когда он положителен, т. е. пусть√√(3.30)σ < −2 µ или σ > 2 µ.В этом случае корни уравнения (3.28)√√σ− dσ+ dλ1 =, λ2 =22(3.31)будут вещественными и различными, поэтому общее решение системы (3.26) задается формулой [20]x(t) = x∗ + C1 eλ1 t r 1 + C2 eλ2 t r 2 ,(3.32)где r i (i = 1, 2) — правые собственные векторы матрицы A, соответствующие собственным значениям λi , напримерÃ!Ã!V (x∗ )V (x∗ )r1 =, r2 =.(3.33)λ2λ1Поскольку собственные векторы r 1 и r 2 линейно независимы, то постоянные C1 , C2 однозначно определяются через начальные данные (3.4)посредством решения системы линейных алгебраических уравненийC1 r 1 + C2 r 2 = x0 − x∗ .(3.34)Из условия (3.29) следует, что собственные значения λ1 и λ2 одногознака, а в силу равенства λ1 + λ2 = σ — их знак совпадает со знаком64y(t)y(t)y*x*y*x*x(t)t0x(t)t0абРис.
11. Интегральные кривые (3.32): а — λ1 < 0, λ2 < 0; б — λ1 > 0,λ2 > 0√числа σ. Учитывая неравенства (3.30), получаем, что при σ < −2 µоба собственных значения отрицательны, поэтомуlim kx(t) − x∗ k = 0,t→∞т. е. точка покоя будет в этом случае асимптотически устойчивой. Если√же σ > 2 µ, то приходим к выводу о том, что решение (3.32) неограниченно удаляется от точки покоя при t → ∞, вследствие чего точка x∗является неустойчивой.На рис.
11 показаны графики решения (3.32) для некоторой начальной точки x0 , а на рис. 12 изображены фазовые траектории для различных начальных точек x0 . Видно, что в случае отрицательных собственных значений λi (i = 1, 2) все траектории собираются при t → ∞ в точкепокоя x∗ и она называется в этом случае устойчивым узлом. Для поyyy*y*x*xx*аxбРис. 12. Фазовые траектории, соответствующие решениям (3.32) линейной системы уравнений (3.26) в случае различных действительныхсобственных значений (3.31): а — λ1 < 0, λ2 < 0; б — λ1 > 0, λ2 > 065ложительных собственных значений — наоборот: точки x(t) движутсяпо фазовым траекториям, удаляясь от положения равновесия, поэтомуоно называется неустойчивым узлом.Пусть теперь d = 0, т. е.√σ = ± 2 µ.(3.35)Тогда характеристическое уравнение имеет кратный кореньσλ = 6= 02и решение задачи (3.26), (3.4) запишется как [20]³´x(t) = x∗ + I + t (A − λI) eλt (x0 − x∗ ) ,(3.36)(3.37)где I — единичная матрица.
Из этой формулы видно, что при√σ = −2 µ рассматриваемая точка покоя асимптотически устойчива,√а при σ = 2 µ — неустойчива. Графики компонент решения (3.37) показаны на рис. 13, а фазовые траектории — на рис. 14. В случае кратногокорня фазовые траектории также, как и для простого корня, приближаются или удаляются от точки покоя в зависимости от того, λ < 0или λ > 0. Соответственно, точка покоя называется устойчивым илинеустойчивым вырожденным узлом.Наконец, рассмотрим последний случай d < 0, который имеет местопри выполнении условий√√−2 µ < σ < 2 µ.(3.38)В этом случае корни характеристического уравнения являются комплексно сопряженными числамиpσ + i |d|λ1 = λ,λ2 = λ ≡,(3.39)2y(t)y(t)y*x*x(t)t0x(t)y*x*t0абРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
