Диссертация (971988), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Я. Виленкина доказательство теоремы, обратной теореме Виета основано на следующей теореме: «Если выполняется тождествоax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) , то квадратное уравнение119ax 2  bx  c  0 при х1  х2имеет два корня х1 и х 2 , а при х1  х2 - лишь один корень х1 . Таким образом,учащиеся готовы к реализации второго способа доказательства (табл. 27).Таблица 27Реализация плана доказательства теоремы, обратной теореме Виета(способ 2)Дано: х1 + х2 =-b, х1  х2 =c.Доказать, что х2 =c, то х1 и х2 - корни приведенного квадратного уравнения х2+bx+c=0.ДоказательствоТак как УСЛОВИЕ,то ВЫВОДОбоснование1) Так как b=-( х1 + х2), и с=х1  х2 , то х2-( х1 + х2)x+ х1  х2=0По свойству равенств22) Так как х -( х1 + х2)x+ х1  х2= (х-х1)(х-х2), то х1 и х2 - корни По теореме о разлоприведенного квадратного уравненияженииквадратноготрехчлена на множители.Применение общего логического приема аналогии рассмотрим напримере фрагмента урока открытия новой теоремы по аналогии с предыдущей теоремой.Теорема 2 об извлечении квадратного корня из дроби является вторымсвойством квадратных корней, которое во многих учебниках [13, 17] предлагается учащимся доказать по аналогии с доказательством теоремы об извлечении квадратного корня из произведения.

Учащиеся смогут это сделать, если они полностью усвоили состав действия поиска доказательства теоремы иреализации плана доказательства на примере теоремы 1 о квадратном корнеиз произведения двух чисел. Подводящим упражнением может стать вычисление значения выражения. По уже доказанному свойству корней= 0,5·9=4,5. Если же выполнить сначала умножение, то мыполучим выражение. Учащиеся смогут самостоятельно предположитьсвойство, которое затем будут доказывать.В курсе алгебры так мало теорем со строгим доказательством, что полезно еще раз обсудить с учениками всю схему поиска доказательства теоремы и предварительную идею доказательства.120ЗаключениеaabbУсловиеa  0, b  0аa 0 (5)b 0 (1)a 0 (6)b( а )2=a(3)(((a 2 a)  (7)bbab( a )2)2 =( b)2a(+)bа (+)b (+)b  0 (2)( b )2=b(4)свойство степени (10)свойствостепени(9)(8)Рис. 13.

Схема поиска доказательства теоремы об извлечении квадратногокорня из произведения (первый способ)По желанию учащийся у доски может в формате «громкой речи» провести рассуждения, фиксируя их в соответствующей схеме поиска (рис. 11).В прямоугольниках этой схемы записаны результаты выведения следствий из условия и промежуточные выводы; стрелки показывают последовательность этих выводов, последняя из них ведёт к заключению; пунктирныеовалы и пунктирные стрелки показывают вывод из заключения теоремы;цифры в скобках в каждом прямоугольнике появляются по ходу составлениясхемы, их расстановка уточняется и заканчивается на этапе составления плана.В случае возникновения у учащихся затруднений в рассуждениях привыполнении действия, учитель оказывает им помощь, используя, например,следующие наводящие вопросы.1) Внимательно изучите, какие значения могут принимать a? b?2) Какие значения могут принимать квадратные корни из этих чисел??3) Как получить равенство, аналогичное равенствам (3), (4) дляa?b4) Какие из полученных равенств можно использовать, чтобы сконструировать равенство, содержащее выражения, входящие в искомое тождество?1215) Какие свойства степеней можно применить к сконструированному равенству?После анализа текста, выведения следствий и составления плана следует третий этап обучения доказательствам утверждений – реализация плана.Развёрнутая запись доказательства, соответствующая схеме поиска, приведена в таблице (табл.

28).Таблица 28Реализация плана доказательства теоремыоб извлечении квадратного корня из произведения(первый способ)Дано: a  0, b  0 Доказать: ab  a  bДоказательство:по смыслу понятия квадратно1) т.к. a  0 , то существует а  0 ,го корня2) т.к.b  0 , то существует b  0 ;по определению квадратного3) т.к. a  0 и а  0 , то ( а )2 = a, (*)корня4) т.к. b  0 и b  0, то ( b )2 = b; (**)по свойству числовых нера5) т.к. a  0 и b  0, то a/b  0 ;венствпо смыслу понятия квадратно6) т.к.

a/b  0 , то существует a / b  0 ;го корня2по определению квадратного7) т.к. a/b  0 и a / b  0 , то ( a / b ) = a/b;корня(***)22по свойству равенств8) т.к. ( a / b ) = a/b (***), a= ( а ) (*),b= ( b )2 (**),то ( a / b )2 = ( а )2/( b )2 (****).9) Преобразуем равенство (****):по свойству произведения сте22пеней с одинаковым показате( a/b ) = ( а / b ) ;лемпо свойству степеней: у равныхa / b = а / b - ч.т.д.10)степеней с равными показателями и положительными основаниями, основания равныВ данном доказательстве важно обратить внимание учащихся на строгое неравенство для значений b. Желательно добиться осознанной формулировки условия данной теоремы. Если пренебречь строгостью рассуждений ипринять факт данности выражений ab ,а , b , то выводы (1), (2), (6)можно опустить.

В этом случае упростится схема поиска, а соответствующаязапись доказательства будет содержать семь пунктов. Отметим, что именнотак сделано во многих учебниках «Алгебра 8», например, в [14, 23].122Для доказательства рассматриваемой теоремы можно использоватьдругой способ (рис. 14).ЗаключениеУсловиеaba  0, b  0a 0 (4)baba 0 (3)abb(+)b (+)а)2 =( a)2( b)20(9)b((6),(7) (aа  0 (1)b  0 (2)a 0 (5)ba(+)bab)2 = abab=abaa= (8)bbРис.

14. Схема поиска доказательства теоремы об извлечении квадратногокорня из произведения (второй способ)2.2.3. Уроки коррекции знаний и итоговой рефлексии направлены наформирование метапредметного умения самооценки и проводятся на результативно-оценочном этапе УПД в форме зачетов, смотров знаний, конференций и других (рис. 7). Учащимся необходимо научить проводить рефлексиюпоставленных целей, осознавать способы их достижения, правильность илиошибочность выполненных действий во время самостоятельных (проверочных) работ. Успешное проведение уроков коррекции начинается с подготовки диагностических работ (самостоятельных, проверочных, контрольных).Диагностическая работа должна содержать спецификацию: перечень проверяемых умений для того, чтобы ученик смог к ней подготовиться на выбранном уровне, оценить свою подготовку.

Поэтому лист достижений, в который вносится предполагаемый результат, содержит перечень проверяемых123умений по теме. Например, по теме «Линейная функция» предусмотреныпроведение трех самостоятельных и одной контрольной работы и выделеныспециальные и общие логические умения (табл. 29)Таблица 29Таблица проверяемых элементов содержания и умений по теме«Линейная функция»№1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.Проверяемые элементы содержания и уменийРаспознавать линейную функцию, используя прием подведения под понятие.Строить график линейного уравнения, используя приём саморегуляции.Строить график функции прямой пропорциональности, используя приём саморегуляции.Строить график линейной функции, используя приём саморегуляцииОписывать свойства линейной функции с опорой на информационную схему:- возрастает или убывает;- точки пересечения с осью Ох;- точка пересечения с осью Оу.Устанавливать соответствие между формулой и графиком по рисунку (базовыйуровень).Составлять уравнение прямой по двум точкам (повышенный уровень).Решать линейное уравнение с параметром (углубленный уровень).Найти наибольшее (наименьшее) значение линейной функции на отрезке.Установить взаимное расположение прямых по угловым коэффициентам.Построить график линейного уравнения с модулем (высокий уровень).Построить график кусочно-заданной функции (повышенный уровень).Перед написанием самостоятельной работы учащимся предъявляетсяперечень проверяемых умений и выставляют планируемые результаты пошкале: 1 – могу сделать задание базового уровня; 2 – могу сделать заданиеповышенного уровня; 4 – могу сделать задание высокого уровня.

Диагностическая работа составляется таким образом, чтобы сумма всех баллов за работы была равна 10. Выполненную работу проверяет учитель или ученик с помощью готовых ответов и результаты заносит в ту же таблицу. Для наглядности данные результаты представлены в виде диаграммы. Таким образом,перед уроком коррекции учащийся видит результат подготовки к предыдущей самостоятельной работе, и на уроке он ставит перед собой две задачи:найти причины ошибок и составить план действий по устранению такихошибок.

Для этого учитель предлагает следующие средства и формы: 1) повторение составленных во время изучения темы средств обучения: алгорит124мов, предписаний, приёмов саморегуляции, информационных схем; 2) обратиться за помощью к одноклассникам, учителю; 3) выбрать из учебника аналогичные задания и выполнить их, используя сформированные умения самоконтроля (повышенный уровень сложности). Нередко учащиеся занижаютпланируемые результаты в силу неуверенности в своих силах. Если эти учащиеся показали хорошие результаты, прогнозируя низкие результаты, то науроке коррекции они пробуют решить задания более высокого уровня, используя помощь учителя и приёмы самоконтроля.

Вторая часть урока посвящена открытию новых знаний по теме. В домашнее задание учащиеся добавляют себе задание для закрепления освоенных умений. Формирование учебной самооценки и способности к коррекции собственных знаний способствует 1 ) развитию у обучающихся опыта самоконтроля через анализ полученных результатов (ценностно-мотивационный компонент РО), 2) приобретению опыта самоорганизации (ценностно-мотивационный компонент РО);2) формированию предметных результатов адекватных способностям ребенка (операционально-рефлексивный компонент РО).Урок итоговой рефлексии –завершающий урок по теме посвящен«встраиванию» полученных знаний и умений по теме в общую систему знаний. Урок имеет большое мировоззренческое значение, его первая часть посвящена анализу «наращения» знаний и умений, а вторая часть уроканаправлена на прогнозирование дальнейшего изучения курса.

На таком урокецелесообразно прибегать к историческому экскурсу развития математики какнауки и методов её изучения. Структура урока итоговой рефлексии: 1) анализсоставленных информационных схем по теме, приёмов саморегуляции по теме; 2) выделение и анализ регулятивных умений, сформированных при изучении темы, 3) анализ собственных достижений и неудач при изучении темы;4) прогнозирование дальнейшего развития изучения тем данной методической линии; 5) изучение развития данной темы в исторической ретроспективе, биографий великих ученых. На уроке используется предметный навигатор и карта изучения темы для рефлексии учебной деятельности в рамках те125мы.

Характеристики

Список файлов диссертации