Зенкевич_Упр.манип_01 (962912), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вводя матрицу (2.2) Т,=А, А, ...А,, шш (2.1) получаем следующее рекуррентное соотношение: (2.3) У; тТ,,А„)т1, 2, ..., У, Тю мЕ. Соотношение (2.3) позволяет не только записать решение прямой задачи о положении охвата в компактной форме, но также найти положение и ориентацию всех звеньев манипуляюра, поскольку матрица Т, определяет положение и ориентацию 1-го звена. Ясно, что для определения положения Вю звена относительно 2-го ( й < ! ) можно использовать следующее соотношение: Т,тАа Аеп...А,.
й „О Кот(2, 4,) = 0 (2.4) 0 0 0 1 68 Внд матриц А,, входящих в (2.3), зависит от способа выбора систем координат звеньев. Определим вид ьтатриц в случае использования представления Денавита — Хартенберга Согласно способу построения систем координат (см. э" 1 4), для совмещения (! — 1)-й системы координат О,,Х, 2;,Уч с 1-й системой координат О,Х,У7, необходимо выполнить следующую последовательность операций.
1. Поворот вокруг оси 2,, на угол 4, (оси Х,, и Х, параллельны). 2. Сдвиг вдоль оси 7,, иа и(, (оси Х,, и Х, совпадают). 3. Сдвиг вдоль оси Х,, на а, (начала координат О,, и О, совпадают). 4. Поворот вокруг оси Х,, на угол а, (системы координат О,Х,У 7, и О,,Х,,У,,Я,, совпадают). Каждую из этих операций можно представить соответствующей однородной матрицей. 3 ! Пр и< е ееиахеех задача Тгапз(х, А,) = О Е О ООО (2.5) Е О О О О О (2.б) Тгапз(х, и,) = О Е,„О О О О О 1 Ког(х, а,) = (2.
7) где матрицы поворота йх,, Е „определяются выражениями (1.9)-(1.11) Тогдаимеем А, = ког(У, д)тщпз(У, А,)тгапз(х, и ) ког(х, а,). Перемножая матрины, стоящие справа, окончательно получаем А,(г(„а„р„а,) = (2.8) О х„х„г(, О О О 1 с„з, Π— а, О О О 1 Таким образом, соотиапгения (2.3) совместно с (2.5) решакл прямую позиционную задачу.
69 Используя равенство (140), обратную к А, матрицу (т.е, матрицу перехода от (1 — 1)-й к 1-й системе координат) представим в виде 3. Полохсе се анилузеяара врабоче, лрагира стае Пример 2.1. Решить прямую хинематическую задачу для манипулятора типа М20П (см. Рис. 1.20). Р е ш е н н е .
Запнггзем матрицы перехода в виде 1 0 0 а, 0 0 — 1 0 0 1 О А 0 0 0 1 А,= Тогда матрицы Т,, 1=1, 2, 3, принимают вид Т, =А,, 0 з, с,и, 0 -с, 1 0 0 0 1 с, з1 0 т, =ТАз = 0 М + с~из — с,Аз ез,а, с, 0 з, 0 Уз=ТА,= 0 1 — с 0 О 0 1 Обозначая Аз =г, А, = г, д, =О, а, = а, окончательно получаем соотношения, описьшакхцие: положение схвата )з, = гз1ПО е исозб, р, = — гсозиьаз!пд, )з =3; ориентацию охвата х, =(созц, япц, О)', у, = (О, О, 1)', з, =(япд, — саар, 0)'.
Например, при д =180' имеем р,= — и, р„=г, р,=з, х, = (-1, О, 0)', у, = (О, О, 1)', з, = (О, 1, О)', что согласуется с геометрическими соображениями. 70 с, — з, 0 0 з, с, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 А,= 0 01 А, 0 0 0 1 5 1 Праман назнннаннан задача Пример 2.2. Решить прямую задачу (см. рис. 1 22). Р е ш е н и е . Найдем матрицы перехода. для манипулятора РПМ33 Имеем 0 †.3, 0 с, 0 с, 0 5, ,А,= — ! 0 0 0 с, сг А, = 0 0 0 0 !) 0 ЗЬЗ ьзззз ! 0 0 0 0 0 1 0 0 5, 0 Сз 0 -с, 0 -1 0 Аь 0 0 1 -з, 0 0 с, 0 0 0 1 0 0 ! 0 0 0 1 0 Для определения матрицы Т, представим ее следующим образом: Т, = А АгА ААА, =АпА„, где А„=А,А3А,, А„=А,А,А,.
Записывая матрицу Т, в виде Уь 53* Р, Уь ьу Ру Уь* яьз Р: 0 0 1 и выполняя необходимые вычисления, получаем Хь =Сз(Сзз(СьсзСь — 5353) 5235353] — 53(53С\Сь Ь Сьзь) Хь = 53(Сгз(СьСЗСь -5353) — 52353Сь) +Сз(зьс Сь +С .Г ), х„=-зп(с,с,с, — 5,5,) — сиз,з,, Уь„= сз( — сгз(сьсззь ь 5 сь) + 5225353) — 53(-зьсзсь + сьсь), 3 ь =53( — Сгз(СьСзьь .3. 52Сь).3 зпзззь) Ь. Сз( — 52СзСь .з.еьсь), Уь„522 (сь сз зь ь' 5 3 с 3 ) ч С 23 33 зь 7! Сз 0 53 0 — с, 0 1 0 (' 0 с, 0 53 , А,= 0 ' 0 0 агс, 0 а,ь, О А 0 1 2 П е <епиеми пу т риврибипе пр етри етве х,„т с, (спс,е, .з.
епс,) — г,е,е„ Г„тз(спс„г, В гпс,) + с ее,, гв, = — х,эс,с, -э-сг,с,, Р т сг(е(з(сгэсегз +.г„с,) т ггэЫе в азсгз + огсз) -ез(уе'еез + е(г) Р, т ез(е)е(сове ге В епс,) а згэе(г + а,сп + а,сг ) т сг(згезгез + е(е) тз(з(сгзсэ вгйзс зз)+сгге(е +а с, -аггг. а Ь = ах +Ьу е-сг в е(гв.
с г() (х у . и) Тогда, используя соотношение (2.3) и обозначая матрицу положения г-го звена в абсолютной системс координат следующим образом: поаучаем векторы, определяющие положение и ориентацию всех звеньев. Основание; х, =(1, О, 0)", у, =(О, 1, 0)*, г, = (О, О, 1)', Р, = (О, О, 0)'. Первое звеноз х, = с,х, + е,у„у, = — г„г, т -г,х, + с у„р, = О. Второе звено: Уз = ггхз ~сгуз Кз =гг: +е(газ + Рг тагхг +е(ггг в Р,. х, тс,х, Ег,р,, Рг =а,сгхг е агзгу, Третье звено: Хэ = Сзкг М Езуз ° Уз = Гг ° аз = Гзаг Сэуз Рз = аз Х + Рз Четвертое звено: х, =сгхз в ге уз Уг = — гз, Гг = — егхз .з.
с,У„Ре = Рз е- е(газ. 72 Пример 2.3 Составить для манипулятора Р()МА (см. рис. 1.22 ) рекуррентный алгоритм, позволяющий решить прямую позипионную зада 0. Ре ш е и и е . Запишем соотношение 7 3 Геоме ран рабонева про равенна манону второ Пятое звено: х, =с,х, +в,У„У, =С„Г, =з,х, — с,У„Р, = Рь. Шестое звено'. .ГЬ м СЬХЬ+ЗЬУ„УЬ =-ЗЬХЬ ВСЬУЬ, ГЬ =Ге Р. =(Ьге -~ Р, Приведенное рещение прямой позиционной зааачи удобно в вычислительном плане, и именно его будем использовать в дальнейшем. 2.2. Геометрии рабочего пространства манипулятора Решение прямой позиционной задачи (см. б 2.!) позволяет определить положение и ориентацию в пространстве схвата манипулятора, удерживаемого им инструмента или транспортируемого объекта при условии, что известны значения обобщенных координат манипулятора бо ь = 1, ..., )У.
Зги значения могут изменяться в определенных пределах, которые обусловлены конструкцией механизма, или их спепиально назначают из соображений безопасности работы манипулятора; (2.10) Совокупность условий (2.10) определяет область Ь'„ изменения обобщенных координат. Поскольку каждому сочетанию обобщенных координат соответствует некоторое положение охвата (объскта манипулирования), области Я„изменения обобщенных координат соответствует некоторая область Я, в пространстве рабочей сцены.
в которой может находиться охват. Зту область называют рлбочиьь лрострллсно вом молипуняшори (а также рабочей зоной, зоной достижимости). 2.2.1. Конфигурации рабочего пространства н его объем Свяжем со охватом манипулятора некоторую характерную точку, например точку, симметрично расположенную между губками схвата. Введем в рабочем пространстве робота неподвижную систему координат ОХУ2.
Зту систему удобно связать со стойкой (основанием) манипулятора, расположив оси Х и У в горизонтальной плоскости, а ось 2 направив вдоль оси первой кинематической пары, которая, как правило, вертикальна (рис. 2.1, а, б, в). 73 2 Положен а ануллмораврабо пирос ра ве Рнс. 2Л. Конфи трем р б с а простримтвн — лс«рвана сиатемв в арли««и 6 -иил лр и «в с с с в аореииеио — сф р сс ос стсме а рлинвт Обозначим через г радиус-вектор характерной точки в системе координат ОХув.. Положение этой точки зависит от текущего значения относительньгх углов поворота в шарнирах и относительных перемещений в поступательных кинематических парах, т.е. от обобщенных координат д„(=1, ..., Ю. Решая прямую книематическую задачу для манипуляционного механизмц получаем зависимость г=в(Ч~ Чт " Чв) (2.11) определяющую положение охвата или рабочего инструмента как функцию обобщенных координат манипулятора.
74 22 Геане р нрибоаегонро рон аотоннеу. тора Значения е), могут изменятьсл в пределах заданных ограничений, определяющих область Ь; обобшенных координат (2.10). Каждой точке д е Ь„можно поставить в соответствие характерную точку в пространстве рабочей сцены. Другими словами, каждому вектору обобшенных координат б из области Я„соответствует некоторое положение манипулятора и его схвата. При этом области допустимых значений обобщенных координат Ь'„будет соответствовать область Ь; допустимых значений декартовых кооординат охвата в пространстве рабочей сцены, которая характеризует рабочее пространство манипулятора. Граница рабочего пространства Ь, опредегшется кинематической схемой манипулятора, аак, для манипулятора, работаюшего в декартовой системе координат (рис.
2.1, и), это парагиелепипед, грани которого параллельны осям координат. Для манипулятора, работающего в цилиилрической системе координат (рис. 2.1, б) рабочее пространство представляет собой часть цилиндрического обьема. Для манипулятора, сконструированною в сферической системе координат (рис 2.1,н),— часть сферы. Более сложную конфигурацию имеет рабочее пространствомаиипулятора антропоморфного типа.
Ва всех рассмотренных случаях рабочее пространство обладает определенной симметрией, следовательно, оно характеризуется одним из его сечений, т.е плоской рабочей зоной. На рис. 2.1, и эта симметрия обусловлена наличием поступательной кинематической пары, смешаюшей построенную зону вдоль оси 07, иа рис. 2.1, б, е — наличием вращательной кинематической пары, которая эту зону поворачивает относительно вертикальной оси 02.
Отображение допустимой области обобщенных координат в пространство рабочей сцены однозначно, ио ие взаимиоадиозначио, так как одному и тому же положению характерной точки С могут соответствовать, вообще говоря, различные положения манипулятора )рис. 2 2). д С Если кинематическая схема манипулятора не имеет избыточности )см, Введение), т.е. число обобщенных координат совпадает с числом вне. 2.2.
Два 1н степеней свободы охвата, то сушествует конел н н женив ана на у исе множество коифигурапий кииематической еорабевнвбж тнот 75 Г Лааананнинтанинуннтараараба е нраатранстнн схемы манипулятора, соответствующее одному и тому же положению охвата. Это утверждение следует из того, что при неподвижном охвате число степеней подвижности механизма равно нулю, т.е. он представляет собой ферму. Для маиипуляционных механизмов, обладающих избыточными степенями подвижности, движение звеньев может осуществляться при неподвижном охвате, что позволяет преодолевать внегпние препятствия или проводить работы во внутренних обьемах (рис.
2.3). Такое свойство называют С таненргннагшью манипулятора. Характерн- ,Ф стикой маневренности может служить резун<за.ыз и зт унизан- ность между числам степеней подвижности н ан» с н азин- манипулятора и числом степеней свободы охвата. Эта характеристика позволяет определить то число степеней подвижности механизма, которое остается после наложения внешних связей на движение схвата. В общем случае построение границы рабочей зоны связано с решением прямой кинематической задачи. Однако часто границу рабочей зоны 5, проще определить непосредственно из геометрических соотношений, следующих из описания кинематической схемы манипулятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
