Зенкевич_Упр.манип_01 (962912), страница 10
Текст из файла (страница 10)
то вследствие ее ортогональности имеют место соотношения ехЬ=с, Ьхс=е, сха=Ь, из которых независимыми является любая пара. Эта пара соотношений эквивалентна шести уравнениям, и таким образом из девяти элементов матрицы Я независимыми являются три элемента (9 — 6=3) нлн их независимые функции. 1.4. Определение положении н орментацнн звеньев манипулятора После рассмотрения ряда вспомогательных моментов, вернемся к задаче построения кинематической модели манипулятора. Определение положения охвата манипулятора и любого его звена— задача, на первый взглнд, простая, однако ее решение потребует некоторых усилий.
Напомним, что, согласно определению (см. б 1.2), любое звено манипулятора является твердым телом, имеющим в свободном движении шесть степеней свободы, и, следовательно, его положение относитель- 1 Гнновзссбс «н мс юс с о с но некоторой абсолюпюй системы координат полностью задается знестью параметрами: (и из '' иб)' (1.44) и =х,и =у,и =и 3 кооРдинаты начала О,И'И' в ОсХсрсХс; и, =а, и, мб, и, =у углы, задающие ориентацию системы координат О,ОРТи относительно ОсХ,УсХ, (например, углы Эйлера), т.е. и = (и, у, -, а, (1, 7) . (1 45) !1редставленне положения звена в в форме (1.45) будет использоваться в дальнейшем. Рб и ы пппупппмрв Р . 1.11. П о с с звона в ороссранссас, заааинсс савва ной с м сиссс сй оорвиназ О,исй' Отметим, что интерпретировать и как вектор в линейном пространстве нельзя, поскольку не выполняются условия аддитивности по 58 Если со звеном, положение которого необкодимо определить, жестко связать систему коорлинат ОбО!71' (рис.
1.17), то поставленная задача о положении звена манипулятора трансформируется в задачу о взаимном расположении системы координат ОзОИГ, жестко связанной со звеном, и некоторой абсолютной системы координат ОсХсрсХс, связанной, например, с неподвижным основанием. Тогда параметры и, в соотношении (1.44) можно интерпретировать следующим образом: ! Е Определеяие пол еяия и орали аиии лее и м я рл ора последним трем компонентам. Для того чтобы их преодолеть, воспшщзусмся аппаратом однородных координат и преобразований. Как бьшо показано в 8 1.2, взаимное положение системы координат звена О,ОУ)Ф' и абсолютной системы координат ОеХ,УоЛо, а следовательно, и положение соответствующего звена можно задать матрнпей однородных преобразовавий Твида: (! 46) гдер — вектор Зх!,задающий начало О,ОУ)У,ай матрица 3х3, залаюшая ориентацию О,О!)У относительно О,Х,У,7,.
Такое представление будем использовать для задания лолеолсеиия звеньев. Несомнеано, оно избьпочно, поскольку матрица Т имеет шестнадпать элементов (4х 4 =16), несмотря на то, что для описания положения звена достаточно шести. Однако. этот недостаток полностью компенсируется следующими преимушествами. 1. Исключается необходимость раздельного рассмотрения операций переноса и вращения, поскольку представление (1.46) совмещает и». 2. В целях аналитического исследования проблем кинематики манипуляторов появляется возможность использовать аппарат теории матриц. Рассмотрим Ф-степенной манипулятор, т.е.
манипулятор, имеющий е)ео! звено. Свяжем с каждым 1-м звеном систему координат О,Х,У,7, (рнс. 1.18), прн этом будем считать, что нулевое звено неподвижно(оно является основанием), и,следовательно, система координат О,Х,!",7, является абсолютной. Тогда однородная матрица У„ имеющая вид (1.47) залает положение н ориентацию системы координат О,Х,У7, относительно абсолютной системы координат О,Х,Уо7о, значит, эта матрица определяет положение и ориентацию л-го звена. 59 1 Ощоо ые ош«о еа соо ноше е .гла С о оогяонш ох гг„,=о ! з ., ч Отметим, что, с одной стороны, положение охвата манипулятора полностью определяется положением всех остальных звеньев, те вектором обобщенных координат л=(9„9„..., йв) .
С другой стороны, положение охвата, рассмазриваемого как свободное твердое тело, определяется шестью параметрами (см. (1.45)). Отсюда следует: 1) если У < 6, то существуют такие положения схвата, что никаким выбором 4 мы не сможем их обеспечить; 2) если М = 6, то существует конечное число обобщенных векторов 4 (те, различных конфигураций манипулятора), обеспечивающих заданное положение схвата1 3) если У >6 (маиипулятор с избыточным числом звевьев), то может существовать бесконечное число конфигураций манипулятора, обеспечивающих заданное положение охвата. Детально этот вопрос будет изучен в 6 3 2, где речь пойдет о рабочем прос~ранствеманипулятора.
1.5. Специальные системы координат Та простота, с которой мы можем находить положение и ориентацию звеньев манипулятора, т.е вид матрицы 7, (сч. (1. 47)), существенно зависит от выбора системы координат звеньев О Х У 2, . Рассмотрим способ построения системы координат, предложенный Денавнюм.и Хартенбергом в 1955 г. (67], который в настоящее время широко используют при построении кинематической модели манипулятора Построение системы координат Деггаеита — Хартенберга для маиипуяятора с дг степенями подвижности (у +! звено) опишем в виде 60 ! 5 Сиеииаеввме сисмемм оордива алгоритма, состоящего в выполнении следующей последовательности шагов (рис. 1.19). ймеш рис.!.кр.с сем к реиемдше — Хр арм Шаг!.
Построение абсолютной системы координат. Построить правую ортогональную систему координат ОеХсхе7е, направив 7, вдоль оси первого сочленения в направлении охвата Шаг 2 Инициализация и пикл. Деш всех к = 1, 2,, Ж выполнить шаги 3-6. Шаг 3.
Построение 7,. Направить ось 7, вдоль оси !!о!)-го шарнира. При )=.ее' 1т.е. лля схвата) выберем ось 7„в направлении оси 7„, . Шаг 4. Построение начава 1-й системы координат Выбрать начало 1-й системы координат в точке пересечения осей 7,, и 7, или в точке пересечения оси 7, и обшей нормали к осям 7,, и 7, (если оси 7,а и 7, не пересекаются), 6! ! О ен е и еианинее еооотномение Шаг 5.
Построение оси Х,. Направить ось Х, вдоль общей нормали к асям Х,, и Х, (вдоль вектора ! Х,, Х, ), где т,, и т, — орты соответствующей системы координат). Шаг 6. Построение оси у, . Направить ось ); так, чтобы полученная в результате система координат О,Х, 1;2, была правосторонней. П!аг 7. Нахождение параметров.
Для всех 1 = 1, 2, , )н выполнить шаги 8 — 11. Шаг 8 Нахождение ое,. Параметр о', равен расстоянию от начала (! — 1)-и системы координат до точки пересечения осей Х,, и Х„ измеренному в направлении оси Х,н Если е-е сочленение телескопическое, то е), является обобщенной координатой.
1Паг 9. Нахождение и, Параметр а, равен расстоянию от точки пересечения осей Х,н и Х, до начала 1-й системы координат, измеренному в напранлении оси Х,. П!аг 10. Нахождение е), Параметр е), равен углу поворота оси Х,, вокруг оси Л,н до се совпадения с осью Х,. Если 1-е сочленение вращательное, то е), является обобщенной координатой. 1Паг 11. Нахождение а,. Параметр а, равен углу поворота оси Х,л вокруг оси Х, до ее совпадения с осью Х .
Шаг 12. Коггег!. Описанный алгоритм построения систем координат Денавита— Хартенберга имеет рекуррентный характер, т.е. позволяет строить гд, С еч ае н ее ет иы ардан системы координат, передвигаясь от звена к звену, начиная с основания и кончая охватом.
Четыре числа е(,а,е),а полностью зацают расположение каждого звена относительно предыдущего, при этом либо параметр е((для телескопического соединения). либо параметр й (для вращательного сочленения) является обобщенной координатой. Здесь нет противоречия с утверждением, что положение твердого тела задается шестью числами, поскольку в последнем случае речь идет о свободном движении твердого тела, у нас же звено снабжено связями, оставляющими ему лишь одну степень свободы. В качестве примеров рассмотрим построение систем координат Денавита — Хартенберга для известных промышленных манипуляторов Система координат трехстепенного манипулятора М20П, работающего в цилиндрической системе координат, и его кинематические параметры приведены на рис. ! .
20. р .!.За.манннул елрмтоп 63 Г Оснооннс и сн сс с со омон Система координат пятистепенного манипулятора 1ИБ-11 и его кинематические параметры приведены на рис. ! 2!. ты. г,т!. Мь ньтньтов!Кгяи г Система координат шестистепенного манипулятора Р1?МЛ-600 и его кинематические параметры представлены на рис. ! .22 Система координат шестистепенного манипулятора КЛгМР-2000 и его кинематические параметры даны на рис. !,23. Контрольные вопросы изваяния !. Сколько звеньев имеет Ф-звенный манипулятор? Нарисуйте кннематн. ческую схему трехзвенного манипулятора, работаю~нею в декартовой системе координат. 2.
К какому классу принадлежат «инематнческие пары, образуемые звенья. мн манипулятора? Как Вьг думаете, ь какому кзассу можно отнести кннематическне пары, образуемые суставами руки челояекк и является лн рука маиилуяятором в Смысле приведенного определения? Кон ролщы вопросы к задания вне.ежам и лз ~ ргпмк.аоо 3. Почему все существующие манипуляторы устроены так, что их звенья образуют кинематнческие пары пятого клааса? Какой двигатель можно использовать, чтобы управлять!-м звеном, образующим с (г' — ! )-м кинематическую пару четвертого классаз 4. Что понимают под положением звена маинпулятораз является ли соответствующая шестерка чисел вектором, если нег, то почему? К В чем состоят преимущества и недостатки использования олнороднык преобразований прн построении кинематическай модели манипулятора? з — нзв 1 Осясеч еамепатше е с т е а в с.
з.зт. ьмаяктляюр клмг-тоао б. Как построить системы координат звеньев манипулятора в соответствии с методом Денавнта — Хартенберга? Является ли зтог метод построения однозначнымт 7 Объясните, почему положение Г-го звена относитеж но Π— 1)-го, составляюптего с г-м звеном кинематическую пару пятого класса и задаваемого матрипей А„однозначно определяется четверкой чисел г?, а, а, ц, одно из которых является обобпгенной координатой? бб 2. ПОЛОЖЕНИЕ МАНИПУЛЯТОРА В РАБОЧЕМ ПРОСТРАНСТВЕ Глава 2 посвящена решению основных задач, связанных с определением соотношений между координатами охвата манипулятора, заданными в различной форме: с одной стороны, положение схвата однозначно определяется обобщенными координатами многозвенною механизма, а с другой — шестью числами, задающими положение и ориентацию связанной с ним системы координат.
Решены прямая н обратная задачи по положению, а также введено понятие рабочего пространства и изучены его свойства. 2.1. Праман позпппоппан задача Прямую позиционную задачу формулируют следующим образом [60; 6)ф по заданному вектору обобщенных координат 4 = (ц„ц„, ц ) найти положение и ориентацию охвата з = у (д) . Положение и ориентацию схвата мы будем искать в форме матрицы однородною преобраювания (146): Пусть А,, 1=1, 2, ., Я вЂ” матрицы, ведающие переход от системы координат з-го звена к системе координат (з — 1)-го звена. Тогда, очевидно, матрица (2.1) Тн=д,дз "'и 67 2 доно натан у ятораарабо роотран а является решением поставленной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
