Зенкевич_Упр.манип_01 (962912), страница 9
Текст из файла (страница 9)
з, и ), щкую, что справедливы следующие соотношения; х=ав, у=Ьв, з=св; хв ду +ев двв иО. Очевидно, что однородные координаты определены неоднозначно: если а„Ь, с. д — однородаые координаты некоторой точки, то Ха, ХЬ, Ьс. Хд — однородные координаты той же точки ( й в О) Таким образом, каждой точке декартова пространства можно поставить в соотвевсгвие четверку чисел, являющихся ее однородными координатами. Обратное, вообще говоря, неверно, если не исключить случай в = 0 . Пример 1.5 Найти однородные координаты точек со следующими координатами: 1.
(О, О, 0). 2. (1, 1, 1). 3. (5, О, 0). Р е ш е н и е . Очевидно, по однородные координаты булут иметь вид 1. (О, О. О, в), где и и 0 — произвольный гварачетр. 2. (в, в,в, в), в д 0. 3. (5в, О, О, в), в д 0 . Пример ! 6. Найти декартовы координаты точек, заданных их однородными координатами; 1. (5,6.!0,2). 2. (1, 1, О, 3). 3. (2в, 5в, бн, в). Решение. Декартовы координаты точек имеют сяедуюший вид' 1.
(51'2, 3, 5). 2. ( !(3, 1(3, 0). 49 в — ивв ! О нанныа ~ натан на ааын анна г, =(о,, Ь„со д,), г, =(о,, Ь„с„дг), Ио д, н О, (1.24) г о, о, Ь, Ь, г=г,ггга — + —,— + —,— и —,1~ . (И, дз ' с(, г(т г(, 2. Умножение на скаляр: г, =(о„Ь„со д,), . = Ь.(Л вЂ” "', Х вЂ” ', Ь вЂ” "', 1~, д, ' Н, ' д, ' т.е. г =(Хао йЬО Зс„д,)'. 3. Скалярное произведение: г, =(о„Ьосо Ы,), г, = (о„б„с„дз), до И, -,а О, лот ' А нс1сз ЬЬ Ь=ггз = д,дз (1 25) (!.26) 50 3. (2, 5, 6).
и и 0. Если н = О, то соответствующей точки не существует. Если в представлении, использующем однородные координаты, выбрать и = 1, то координаты (о, Ь, с) соответствуют (о, Ь, с, 1). Можно считать, гю однородные координаты вида (о, Ь, с, О) имеет гочка в дека!зтовом пространстве, бесконечно удаленная в направлении вектора р = (о, Ь, с) .Тогда для однородных ортов получаем следующее соответствие.
(1, О, О, 0) — бесконечно удаленная точка а направлении оси Х; (О, 1, О, 0) —. бесконечно удаленная точка в направлении оси У; (О, О, 1, 0) — бесконечно удаленная точка в направлении оси 2; (О, О, О, 1) начало системы координат. Однородный вектор задается как и обычный, т.е, если однородные координаты точки представлены четверкой (о, Ь, с, д), то соответствующий однородный вектор имеет вил р = (о, Ь, с, д) . Рассмотрим основные операции, осуществляемые над однородными векторами 1. Сложение ! 3 Оамроеомохоораооо хор обршсоо«о 4. Векторное умножение: г, = (ао Ь,, с,, д,) т г, = (а,, Ь» с„д,), г=о, хо, =(а,б, — а,Ь,. а,Ь, — а,д,, а,Ь, — азЬ,. а,Ь,) (1.27) 5.
Длина однородного вектора г = (а, Ь, с, Н) И=- ',„, э(а' Ь ос' (!.28) 13,2. Однородные преобразонанни Од~гараднмми преобразованиями называют преобразования однородного вектора, осуществляющие его поворот, перенос, масштабироаание, перспективное проектирование. Пусть р — однородный вектор. Тогда однородное преобразование осуществляется следующим образом: р'=Тр, (1 29) где Т вЂ” мамрияа однородного хреобраювахия 4х 4 (или однородная матрица) "о бз )Р~ й Р1 гн гп гн)Р, Т= Г т) г„гзз гзз ~! р, Т, Л ЛГ (! .30) Здесь Я вЂ” матрица поворота 3 х 3; р — вектор пе!юнаса; У вЂ” нектар, сеюанный с вектором центрального проектирования; м — коэффициент масштабирования.
Рассмотрим действие каждого из упомянутых выше элементарных преобразований на однородный вектор р = (а, Ь, с, 1), соответствующий вектору г = (а, Ь, с) . 5! Заметим, что однородные координаты можно задать и а и-мерном пространстве. Тогда и-мерному нектару будет соответствовать ло1-мерный однородный вектор, при этом операции (1.24)-(1.28) легко обобщаются на этот случай.
1 Оснсе ие инеиа иеесниесооиноыенин 1. Сдвиг. Пуси однородная матрица имеет вид ОООР, О(О р, ОО(р, ооо (!.3П Тогда в силу соотношения (1.29) получаем а -з рз Ьь Рз Р'=т„(Р)= сер, ! Таким образом, однородное преобразование, задаваемое матрицей (1.31), осуществляет операцию сдвига вектора е . г-ь ге р. (1.32) 2. Поворот. Пусть однородная матрица имеет вид Я О О О О О 1 Т,(Я) = (133) Тогда р'=Ти(Я1= Следовательно, преобразовщзие (1.33) обеспечивает операцию поворота: г-+ Яг. (1. 34) 3. Перспективное проектирование Пусть однородная матрица пмеег вид 1 О О О О 1 О О О О 1 О .Тз Л т, (у)= (1.35) о о р, О!Ор, ОО! р, О О 0 ! О Я О О О О О ! и и гоа+гпЬсгос гззц + "ззЬ ь "ззс сии с гиЬ -з- гис' 1 Г 3 Однородные оорди а ни ре дрозононии Тогда вектор р можно преобразовать следующим образом; Итак, однородное преобразование, определяемое матрицей (1.35), изменяет вектор г следующим образом: г -+ге((1 + г Т).
(136) Соотношение (1.Зб) задает преобразование центрального проектирования с вектором й, имеющим компоненты й, = — !(Т, . 4. Масштабирование. Пусть однородная матрица имеет вид 1 0 0 0 0 ! 0 0 0 О 1 0 (1 37) Т„.,„(т) = 0 0 0 ш Зогда 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 О 0 0 т р' = Т„(т)р —— Следовзтезгьно, матрица Т„„(т) совершает преобразование г -+ г(уп . (!.38) В дальнейшем будем использовать только операции поворота и сдвига, т.е. тс однородные преобразования, которые задаются матрицей следующего вида (1.39) где й — матрица поворога Зх З,р — вектор переноса Зх! Обратная матрица Т' всегда существует, поскольку очевидно, чзо йегТ=йегйыО; 53 1 0 0 0 0 ! О 0 0 0 1 0 l~ уз уз и и Ь Ь с с 1 а1, +Б3з+с);+! 1 Ос е ие и сии ес иес с ения (1.40) П р имер !ТО Найти матрицу однородного преобразования, обеспечивиощего поворот векторов на 30' вокруг оси, задаваемой вектором 11, 1,!)', и последующий сдвиг на вектор (2, 2, 2)'.
Р е шеи и с. Для нахождения матрицы Т в форме (1.31) необходимо найти матрицу поворота Я и вектор переноса р. Из 11.! 8) следует, что л=1с„сз, с,) = ! 1з ',Гз ',с'з ) ' 1 ! ! 3 3 3 1 1 1 1 О 0 Я=соз30' 0 1 0 е!1 — созЗО') 0 0 1 3 3 3 1 1 ! 3 3 3 1 1 Тогда окончательно получаем 3 3 О 1 В заключение решим задачу преобразования систем координат, рассмотренную в и. 1.2. 54 ! е жп30 ,6 ! Гз 1е Гз ! — зГЗ 3 3 )с,ГЗ Т= 1-,ГЗ ,'з Гз 1 0 ,6 ' ! ,Гз 1 — 2 3 1-,ГЗ 3 — — 2 3 1 3 Однородные иаардииамы ре дрпован Пусть заданы абсолютная О,ХУЛ и подвижная ОаОРйт системы координат (рис 1.14) Будем считать, что р однородный вектор в системе ОСЛА.
задающий точку М, а Т вЂ” однородная матрица (1.39): '(обо ! ) При этом вектор р определяет начало (точку О, ) в системе координат О,ХУ7, а матрица й — поворот подвижной системы координат относительно абсолютной. Тогда однородный вектор р', задающий точку М в абсолютной системе координат, имеет вид (!.41), р =Тр, а матрица Т является матриней перехода от системы координат ОаХУ7 к О,ХУХ. Сравнивая аналогичную форму (1.3) для обычных, неоднородных векторов и преобразований, видим, что преимущество заключается в том, что операции вржцеиия и переноса выполняются за одно матричное умножение и линейны по р.
В этом и заключаекл основное удобство формализма однородных преобразований. Рнс. ! 14 О ааа ноев И О ЛГЛ и оаа «и О ОУЛ' а тронное Рассмотрим сложные однородные преобразовании. Пусть ОмХауа7„О Х, УХ„, О„Х„У Та — произвольно расположенные системы координат (рис. 1.15), А — матрица перехода от системы координат О Х,У7, к ОыХ, туо_#_ы Тогда матрица перехода от О„ХоУ„7в к 04ХауаЛа, имеет вид (1 42) Та =А~Аз .А 55 !. Основные «ннеыам» ес не соо юн сн е-- . Рн-г и нл 0 а„., х, у ул ул-у е Р . !45.
К р не ю с о о о он ровного нреобрмоненне В общем случае матрица перехода от 1-й системы координат к м-й (! < щ ) имеет вид 1143) !)ример 18. Координаты точки бе в системе координат ОгИИ' заданы на рис. 1.16. Определить ее коордиваты в системе О,ХТУ уу РР1йй-15! Р .! Гб К р ру Г В Р е ш е н и е . 1!айдем матрицу перехода Т от Ог)УЛГ к ОХИ. Записывав компоненты матрицы Та виде Я= ΠΠ— 1,р= 10, получаем 1 ΠΠΠΠΠ— 1 10 Т= О 1 О 5 О О О 1 56 1 4 О рвдшлнив нолаловнин и ариан Лии звеньев м ннлуллтора Поскольку р = (О.
О, — 10, 1), то имеем ! 0 О 0 0 0 0 0 — 1 10 0 20 0 ! 0 5 — 10 5 0 О 0 1 1 1 р'=рр= Таким образом. координаты точки М в О,ЛУ2 заааются вектором (О, 20, 5), что ясно из рисунка. Сделаем одно существенное замечание. Как было сказано выше, для зщзания взаимного расположения двух систем координат (или двух твердых тел, с которыми связаны эти системы) достаточно указать шесть чисел: три числа характеризуют положение начала системы координат и три — углы, задающие ориентацию. Однако матрица 1'в форме ( 1.40) содержит 3 х 3 -1- 3 = 12 чисел, т е. это представление является избыточным. В данном случае избыточность обусловлена заданием матрицы поворота Я. Если представить Я в виде Я =(л Ь с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
