Зенкевич_Упр.манип_01 (962912), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2. Элементы каждой строки матрицы поворота представляют собой компоненты проекции каждого орта системы ОХ) 2 на оси системы ОО)7У. Последнее утверждение становится очевидным, если принять во внимание выражение (1.6). П р и м е р 1.2. Найти матрицу поворота, если система ОУИР получена из системы ОХУХ путем ее вращения: вокруг оси Хна 90' (рис. 1.9, а); нокруг оси Уна 30' (рис.!.9, б); вокруг оси 7 на ! 80' (рис.
1.9, е). 4! 1 Осн е а е ат еес~ е о ноше> р .!.О. Эааненгарн р г ео р>гесса н оря наг о — ОЛ наро',б — ОГ ЗО'. — Ол на!В>г Решение. В соответствии с рис.1.9, а находим координаты проекций ортов и, р, н на оси системы координат РХУ2: проекция и на ОХУХ = (1, О, 0)т; й .=О 0 1 Нетрудно проверить, что бе!Хе . =1. Кроме того, строки й представляют собой проекции ортов к, у, г. на ОИ')У. Аналогично находим матрицы йг ао. н Мс,н.
(см. Рис. 1.9, б, е); йг зо 0 1 1 проекция она ОЛУХ=(0, О, — !); проекция ш на ОЛУХ =!О, 1, 0), и строим матрицу М ,/з 0 2 2 6 0 2 2 — 1 0 0 0 — 1 0 0 0 1 Г Г Преаер з еа е е арсенам Пример 1.3. В системе координат ООР)Р(см. рис. 1.9, а) точка Р имеет координаты (1, 1, 1).
Найти ее координапв в системе ОХУИ Решение Используя матрицу поворота й .,получаем а=0 0 1 1= 1 Таким образом, в системе ОХУХ точка Р имеет координаты (1; 1; — 1). 1.2.2. Элементарные н сложные вращенна Под элементарными вращениями понимают повороты системы коорлинат вокруг собственных осей. Найдем матрипы поворота для элементарных вращений, Выполняя действия, аналогичные проводимым в примере!.1, и вводя обозначения, которыми будем пользоваться н в дальнейшем; (1.8) япре = г„, север = с получаем (1.9) (1.10) (1.11) Задача, которую мы будем решать далее, заключается в том, чтобы, вращая систему координат ОХУХ, совместить се с системой ОУЛР.
Часто бывает так, что одним элементарным вращением этого совмещения двух систем координат добиться не удается (или это неудобно по каким-либо соображениям), и тогда необходимо совершить некоторую 1 Ос ое е н е аюнеешнесооюноююнн последовательность элементарных поворотов. Нас будет интересовать, как выглядит в этом случае матрица поворота. Пусть для совмещения систем координат ОХИ и ООУУУ необходимо выполнить некоторую последовательность конечных поворотов (на рис.1.10 начата систем координат для удобства изображены не совпадавщими, в действительности же они находятся в одной точке): ОХУХ=ОХ,У,Х вЂ” "- +ОХ,У,Х,— '- >ОХ,У,Х,— "- ...
— "-'— '+ ОХ„, Ун,2„, — "— '+ОХ„Унун = ООУУУ. (1.12) я Р . 1.1а. Послелою ев ре к р Ерюуююн с с ет у аоорлннат ОХТА Н НСЮМуаООРЛ а ООУВ1 Яма, ߄— Вр Э Е Евтарина ОВ рина Введем вектор р,, задающий положение точки Р в системе координат ОХ, У 2, . Зная матрицы поворота й, для каждого преобразования р, =до,рм„ (1.13) получаем результирующую матрицу поворота, используя соотношение г = йр, где р = р, — вектор, задающий положение точки в системе координат ООУйт; г = р, — вектор, задающий искомое положение тачки в системе координат ОХУИ Используя выражение (! .13), нетрудно найти Г= Р, = й1йт...деР„= ЯР, где й = й,йт..й„ (1.14) матрица слолсвого вращения.
44 Лз. Преоершсвамм олрл ам Соотношение (1.! 4) решает. задачу. Следует обратить внимание на то, что при изменении последовательности поворотов получают разные выражения для результирующей матрицы поворота в силу иекоммутативности операции перемножения матриц в выражении (1.13) 1.2.3. Типовые вращении. Угяы Эйлера Существуют различные способы совмещения произвольным абраюм расположенных систем координат ОХУ2 и ОСЛУ. В качестве иллюстрации описанных вращений рассмотрим два основных способа: три последовательных элементарных поворота !преобразование Эйлера) и поворот вокруг произвольного вектора.
Преобразования Эйлера (уалы Эйлера). Пусть для совмещения сивым координат ОХУ2 и ОСУ)У необходимо выполнить в соответствии с (1.12) такую последовательностыюворотов (рис. 1.11). 1. Поворот системы координат ОХУ2 вокруг оси 7 на ушя й (получим систему координат ОХ,У2,, 2, = 2). в щ!. з . эаззрз 2. Поворот системы координат ОХ,УХ, вокруг 1; на угол 0 (получим систему координат ОХзузйз, У, = 1;). 3.
Поворот системы координат ОХ,У,Хз вокруг 2, на угол зу (получим систему координат ОХ,Уз2з = ООУ)У, 2, = Хз). 1 Ои вк екннеиа ес ес и ние Тогда результирующую матрицу поворота запишем в виде й„. = Бп) г(йь Е, р) = и,, й„й, „= е г„ се с„ — .г с, ' е с, .г,~! ве (1 15) с, — с, к не с — сек„-с +ск, — в с, ун Рне.
ЬГЗ.У!р Еронмнненнекенн нрнннкгпгуг ООГИ' ну р к окру кекгнрнн ыу~нкл Матрица любого ортогонального преобразования Р= — (гн) (т.е матрица, удовлетворяющая условию (! .5)) поворачивает радиус-вектор каждой точки пространства на угол Ь вокруг векгора и, при этом угол поворота н направляющие косинусы (см. (1.16)) можно найти, используя следующие выражения: 1 1 сов Ь = — (1гй — 1) = — (гн .у ге -'; г — 1), 2 2 Поворот вокруг ироизволниой оси.
Пусть для совмещения СИСтеМ координат ОХУ2 и ОИ'И' необходимо повернуть систему координат ОЛТ7 вокруу вектора и на угол Ь (рис. 1.12). Будем считать, что вектор л единичный и задан проекциями на оси системы координат ОХУ7: и=(с,,с„с,) . (1.1б) / 2 Пркобрагоаака коала аат ггг 'гг "О "и гп 'О с,а,е,= —,с,= 2ипб ' 2жпб 2ипб Наоборот, если заданы Ь и и, то матрица поворота имеет вил (1.17) ('1 О О'( йо „=Коз(Ь, и)=сааб О 1 О о О О 1 !с, сс, сс, ( Π— с, с,) о(1 — созб) с,с, с,' с,с, оз!Об с, Π— с, .
(1.18) со со сг со сг Прим ер 1 4. Найти параметры поворота (т е. угол и вектор поворота), задаваемого матрицей (1.9). Р е шеи ив. В соответствии с выражением (1.17) имеем ! с О 5 6 = — (1 г. сов яг о сО5 г!г — 1) = с О 5 гр 2 с,=!, с,ас,=б, Найденные с„с„с, соответствуют орту г (т.е, единичному вектору, направленному вдоль оси 2). 12.4.
Слоягные преобразования Пусть лля совмещения абсолютной и подвижной систем координат в силу каких-либо причив необходимо совершить последовательность не только поворотов, но и переносов (рис. 1.! 3)г ОХУ2 а О,Х,У,2, — П ~О,Х,'У;2„— й-оО,Х,У,г,— Напомним одну из теорем механики, а именно теорему Шаля, согласноо которой всякое перемещение свободного тиердого тела из одного положения в другое можно осуществить путем его поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс.
В рамках рассматриваемых в данной главе задач это означает, что совмещение двух любых систем координат можно осуществить путем переноса и последующего вращения одной из них вокруг некоторого вектора (см. (1.17) и (!.18)). ( О асаны инеыатни есыес сын енин — и аО,Х,'1 7,' — вО,Х,У,2г — т'-+ ...
— е-"-и — е-а О„Х„', У„,2„', — "--+О„Х„У„2„ы ООРТР. (1.19) Ге-т гт тс Яг р, х=т с-т Гты. алз. Пригврса иис сне с раииат ОХУХ в ОЩ'И' т мссасват ыаа рс (р,!ивраш ии(я,! 1З. Однородные координаты н преобразовании 1.3.1. Однородные координаты и векторы В робототехнике широко используют аппарат однородных преобразований для описания вращений и переносов, т.е. тех движений, ко- 48 В последовательности преобразований (1.! 9) р, — векторы переносов заданы в системе координат О,,Х,,У,,2, а Я, — матрица поворота, определяет переход от системы координат О,Х, У 2, к системс координат О,Х,,У,,2,, (последнее верно, поскольку О,Х,',у,',2', и (> Х,, У,,2,, имеют параллельные оси). В соответствии с (1 3) имеем Р, =Я„гр,.ге Рси (1 20) Тогда, используя соотношение (1 20), нетрудно получить г=рс =Яг(йг К»-г(К-г(К Р +Р )+Р-г) "Рст) в в Рг) вРг = =ЯР„+Р, (1.
21) где Я вЂ” суммарная матрица поворота; р — вектор переноса: )тг)тг (1.22) р= Р, + К,р + К,Я,Р, + .. а-Я,Я .. Яс,р„. (1.23) 13 Одн р дние сардина ни реабр анин торые допускаются сочленениями манипулятора [60]. Однако, прежде чем перейти непосредственно к однородным преобразованиям, обсудим ряд известных подхолов для решения этой задачи Пусть некоторая гочка М в декартовом щюстрансгве имеет координаты (а, Ъ, с).Тогда соответствующий ей вектор р можно представить в виде р =(а, Ь, с) Однородными ноардивватами этой точки с декартовыми координатами (а, Ь, с) называют четверку чисел (х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
