Зенкевич_Упр.манип_01 (962912), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

(2.51) 97 з . нвв Поставляя в (2.51) соответствующие значения для у, (см, пример 2.3), полу чаем з„=( — гс, — сс,,г,)х,„+(сс, — гсыз,)т„— г,змх, (252) 3 Пое«мы емаиишле ороиробо е лросмра емее се =( э)се — с)сээее)уе, + (с се — е)сээее)ре„— и еээре. (2 53) и, следоватеяьно. де =ашл2(е„се), (2.54) где .и, и с, определяются соотношениями (2.52), (2.53) Нахождение 9, завершает решение обратной задачи по положению для маиипуяятора Р()МА. Таким образом, для каждого (кинематически допустимого) положения схвата существует восемь решений обратной позиционной задачи, Различающихсн Углами 4,, дэ и йе.

КРоме того, СУществУют конфигурации, лри которых число решений бесконечно. Приведенный пример решения обратной позиционной задачи подтверждает высказанное выше положение, решение обратных задач является кинематически зависимым (в отличие от прямой задачи) и цмбует тщательных (хотя и иесложньж, не выхоляших за пределы школьного курса математики) вычислений. 2.3.3. Численные методы решении обратной задачи Способы решения обратной задачи по положению в замкнутой форме, описанные в предыдущих главах, применимы не для всех кинематических схем манипуляторов. Вместе с тем, существует много численных методов, позволяющих решить обратную задачу.

Согласно этим методам, весьма развитым в вычислительной математике и носящим итерационный характер, обратную задачу рассматривают как задачу поиска корня уравнения (2.55) где э — заданное положение охвата. Рассмотрим простейший из этих методов, а именно леетод Ньюмана (метод кзсательных). В основе метода лежит простая геометрическач идея, состоящая в том, что если для решения скалярного уравнения ер(х) =0 (2.

56) выбрать некоторое начальное приближение х, и построить следующее приближение х, как точку пересечения касательной к графику функции у =ер(х) в точке х„с осью Х, то полученное значение х, «ближе» к корню х', чем х, (рис. 2. (2). 98 23 Обрашнояно анан а яадана РНС.ЗЛ2.!'ЕО. Е Р Я Ш2НРССЯИИЯНЕСОЯЯНЯЮсане ЯЯЯ РЕШСН УР Ос ) = С Продолжая этот процесс и получая таким образом х,, х„..., можно рассчитывать нв то, что последовательность( х, ) сойдется к х . Реазизапия этого подхода приводит к сясдуюшей итерационной схеме ср, (х) ср'(х, ) (2. 57) Существует теорема о достаточных условиях сходимости итерационного процесса (2.57), ее формулируют следующим образом.

Пусть х' является решением уравнения (2 56). Обозначим через й, е-окрестность точки х': П, =(х с~х — х' <а). Пусть при некоторых а > О, а, > О выполняются условия ~ср (х)~ < а2 х о Йю МИ~ ) ср(ня) 52 (И2)(И2 — Ия)~ < ИЭИ2 И2~, 222' Ие н (2 Пусть с= а а,, Ь= пил(и, с '). Тогда при этих условиях и х„н(2, процесс (2.57) сходится к х' с оценкой погрепености хн — х ~ <с ~(с~хе — х ,') Заметим, что если ср(х) имеет ограниченную вторую производную, то последнее условие вьшолиено. 3 Поло ге ем пу гпораврабо вопрос ра ае Применяя метод Ньютона для решения уравнения (2.55), получаем следующую схему: Фпг =г), '1УсНг),)) '~з' — /(г),)), г'=О, 1, 2, .... (258) где г)с — - заданное начальное значение вектора обобщенных координат.

Входящую в выражение 12.58) матрицу а(г))= Р'1а) называют мамрицей Якоби, которая играет важную роль при разработке методов управления манипуляторами. При использовании метода Ньютона требуется вычислять обратную матрицу Якоби на каждом шаге итерации. Использование метода Ньютона приводит к весьма прсстььм соотношениям (2.58), однако в процессе его применении может возникнуть ряд трудностей, графическая иллюстрация которых приведена на рис. 2.13, а-о, Безусловно, хорошим рецептом, гарантирующим сходимость, является выбор начального приближения, удонлетворяющего условиям сформулированной выше теоремы.

Однако, как быяо сказано Рнс. 1.13, Илл с рен е ресхолимосги итсрснноннога проиессвг — не сумествуег 1Г' Г'гс,,1, б — 1,1 ресхолнын: е — тсиихливвние Кс мрсльлме соврали и заделка раисе, обратные задачи связаны с управлением манипулятором, и в условиях режима оп-!!пе воспользоваться этой рекомендацией крайне затруднительно. Вместе с тем,можно так организовать процедуру решения обратной задачи, что начальное приближение Ос будет близко к г!'.

Этого можно добиться, например, выбрав конечную последовательность (к'), г'= О, 1, 2, ..., Е так, чтобы з' =г (От), л' = я' и расстояние !!я" -«'!! между соседними элементами последовательности з'л и з' было небольшим. Тогда, решая для каждого з, обратную задачу и используя в качестве начального приближения полученное на предыдущем шаге приближение О' ' (кроме первого шага, где О' = Ос), можно обезопасить себя от возникновения сингулярности. Этим подходом мы воспользуемся ниже, когда будем обсуждать вопросы, связанные с управлением. Контрольные вопросы взацааия 1.

Как фармулирусщл прямая задача о лаложенииу Что понимают под положением звена7 2 Какова последовательность движений, необходимых для совмещения сыпем координат двух соседних звеньев, сели Они построены е соответствии с алгоритмом Денаеига — Хартенберга. 3 Получите выражение для матрицы перехода от (г — 1)-й к г-й систем» координат.

4. Сравним вычислительную сложность решения прямой задачи о наложении в замкнутой и рекуррентной формах (см. примеры 2.2, 2.3). 5. Дайте определение рабочего пространства манипулятора и приеедиге примеры конфигурации рабочего пространства для известных Вам кииематических схем манипуляторов. 6. Систематизируйте показатели качеспм манипуллтород связанные с понятием рабочего пространства. В соатвсютвии с этими показателями провелще сравнительный анализ манипулятОрОв, рассмотренных в предыдущем задании.

7. Дайте определение понятий ккоэффициент сервисаэ и «сервиса манипулятора. Проведите анализ тгих показателей лля манииулятора КМ-01 и для руки человека. Д Как формулируется обратная задача а положении? 101 .

Характеристики

Список файлов книги