Зенкевич_Упр.манип_01 (962912), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При наличии ограничений па обобщенные ююрдинаты это утвержление теряет силу. В этом случае можно выделить направления миниматьной и максимальной манипулятивности. В рассмотренном выцге примере при д, = 2, 1'=1, 2, 3 минимальное значение равно 0,27; если обозначить м — угол вектора в с осью ОХ, то оно постигается в В9 3 Пможес е а нумвораорабсм нрос ра м направлении Р = О. Максимальное значение манипулятивности, составляющее 0,45, достигается в направлении и = 3/4и.
Области рабочего пространства, в которых в рассматриваемом случае возможна ориентация в нмзравлениях Р = 0 и и = 3/4к, показаны парис.2.10,а,б(см. [26. с 1521). Р с. З.уб. Обнос, Р и * не р ленни ар оср мх нн оеюбмсннис «оорл Пример использования зон обслуживания при организации технолопеческого процесса приведен на рис. 2.11 [34, с. 1002 На рисунке показан окрасочный робог РБ-211, установленный па главном конвейере авпзмобильного завода. Длины звеньев этого робота равны 940, 1630 и 600 мм, а ограничения по угловым перемещениям в кииематических парах сосгащиют(от основания ксхвату) 40 ... 130'1 50 ..
140'1 — !80 .. 0'. Рнсх.!!.гон ор л усс меое нсбму моерлс ннморобо ерб-111 90 23 Оба яаялоэиц оял «зараза Кроме того, на рис. 2.11 показаны секторы допустимых зон обслуживания в точках рабочего пространства робота. Предварительный расчет зон обслуживания позволяет разместить автомобиль в рабочем пространстве робота таким образом, чтобы полностью обеспечить покраску его поддона. 2З.
Обратная позиционная задача Обратную исзицианную задачу формулируют следующим обриом. При заданном положении и ориентации охвата я=я или Та = Т„ найти обобщенные координаты ц =1Ч~ Ч» "* Ч)г) . Если обозначить бйгО) я = Г,(ц) или (2.21) Т =У®, то искомые углы ц' будут задаваться соотношением ц =,Т, 1з ) ц' = Т.м1т,).
Таким образом, решение обратной позиционной задачи сводится в общем случае к решению нелинейной тригонометрической системы шести уравнений с Ж неизвестными. Известно, что такого рода системы могут не иметь ии одного решения. Это означает, что заданные положение и ориентация охвата системы не могут быть достигнуты никаким выбором углов )перемещений) в сочленениях; иметь единственное решение; иметь более одного решения.
Это означает, что существует нескояько )изги бесконечно мною) конфигураций манипулятора, обеспечивающих заданное положение охвата. Умение решать обратную позиционную задачу является чрезвычайно нажным для управления манипулятором. Действительно, если программное Лвижение манипулятора задано в виде траектории его 91 Л Положе е а а у ора арабо ро ра е схвата з(г) (или Т (г), что эквивалентно), то для управления сочленениями необходимо обеспечить такие 9(г), чтобы в каждый момент времени выполнялось соотношение (2.20). Однако, к сожачению, не существует общего метода решения этой системы в явном виде, а именно зто и является желательным, поскольку управление манипулятором осуществяяется в режиме оп-1гпе. (Впрочем, и применение численных методов также сопряжено с рядом трудностей, связанных с возможной расходимостью соответствующих итерационных схем.) Рассмотрим трн метода решения обратной позиционной задачи.
метод обратных преобразований, тригонометрический подход, итерационный метод. Выбор метода для решения конкретной задачи определяется спецификой кинематической схемы манипулятора, а также опытом исследователя. 2.3.1. Метод обратных преобразований Как было показано выше, матрица Т,, определяющая положение и ориентацию схвати имеет вид (2.22) Т.е = А~Аз".Ал ~А.е где А, = А,(9,) матрицы перехода от 1-й к (г — 1)-й системе коордн- натманипулятора. Тогда, умножая соотношение (2.22) на А,' (напомним, что матрица А, невырожденная),имеем А, '(ПП)Те = А, ...
Аа, Аа. (2.23) В силу того, что матрица Т. известна, нам удалось разрешить соотношение (2.23) относительно 9, . Ясли структура (2.23) такова, что удаетса найти йм то этот пРоцесс повтоРЯем дла 9„9„..., Па. Ясно, что, умножая (2.22) справа на А,,', аггатогично можно найти Па. Этот метал был использован в работе [22) при решении обратной позиционной задачи для манипулятора РОМА. П р и м е р 22В Пусть механизм представляет собой трехстепен ной карданный поднес, ориентация которого задана тремя углами Эйлера (см. и. 1.24): 92 ЗЗ.
Обре ноя ноеня аннан з Оа а с„— з„О с, 0 з, с„— а„О Т,ой,й„лйп,= з с 0 0 1 0 з с, 0.(2.24) 0 0 1 — з, 0 се 0 0 1 Требуется решить обратную задачу для этого механизма, т е. найти углы ф, О, ф по заданной матрице Т, = (х у з) . Р е ш е н и е .
Умножая слева выражение (2 24) на матрицу йз', = — з, се 0 получаем йт еуе де ейз нлн, после перемножения матриц ! х, у: з ° тес сез се (2.25) Приравнивая в (2.25) элементы второй строки и третьего столбца обеих матриц, находим — т„з„ь зес„=О, откуда ф = агап 2(з„ з,). (2.26) 1!апомним, что функцию агап 2(а, Ь) определяют следующим образом: а агсзй —, Ь>0, Ь агап 2(а, Ь) = агсзй — -ел, Ь>0, а>0, (2. 27) Ь а агсзй--л, Ь< 0, а <О; Ь вЂ” л > агап 2(а, Ь) < л, т.е. О = а1ап 2(а, Ь) учитывает принадлежность аргументов одному из четырех квадрантов.
93 3 Полоасеннеманннуннторовр бе ее р транстве Приравнивая элементы второй строки и первого и третьего стол цов и выражении (2.25), получаем з т-х,л ох с„. с„т--у,з, Оу,с, откуда следует, что су = ашп2( — х,з, ь х„с,, — у,а, + у,с„). (2.28) Далее, приравнивая элементы первой строки и третьего столбца,а также третьей строки и третьего столбца, находим 3„ = з,с„ о 2,2,. С,те„ следовательно.
0 = азап 2(з,с, 3-2 з„, 2,). (2.29) Таким образом, соотношения (2.26), (2.20), (2.29) решают обратную позиционную задачу. 2.3.2. Тригонометрический подход к решению обратной позиционной задачи Проиллюстрируем этот метал на примере решения обратной позиционной задачи для манипулятора РОМА. При решении обратной задачи будем учитывать характерную особенность кинематической схемы манипулятора, состоящей в том, чго оси вращения трех последних сочленений Л,, З, и С, пересекаются в одной точке (а начале координат совпадающих систем 03ХЗУ37„ О,Х, У, 2,) В этом случае, как нетрудно видеть, можно сразу найти координаты точки пересечения осей: р = р, т р, -АЗ.
т(р„р,. ре)' (2.30) Тогда, определив матрицу 33 =А,А,А,А, и приравняв се последний столбец вектору (2.30), получим )3, тС3(О2С2.3.О С23 3 Аеззе) с(зз3* (2.31) ру =3,(а,с, в-а,с„ьбез„)е-с(,с„ )3 = О2з2 О 523 3 Аес23. 2 2 Обрнтнанназинионнан зада а Эш соотношения представляют собой систему трех тригонометрических уравнений с тремя неизвестными 9,, д„рг. Таким образом, с помощью выражения (2.30) можно разбить систему шести уравнений с шестью неизвестными 9„9„..., г), на две подсистемы.
Решим систему уравнений (2.31). Умножая первое уравнение системы на — з,, второе уравнение на с, и суммируя их, получаем — р,з, ар„с, =г)г. (2.32) Поскольку Р„' + Р„' > ьггг, уравнение (2.32) всегда имеет решение. Для решения (2.32) воспользуемся известными тригонометрическнми соотношениями а ,а 21й— 1 — гб ып а =, сока =- 2 2 (2.33) ,а ,а ! -ь Гй' — 1+ гб'- 2 2 Подставляя (2 33) в (2.32) и решая полученное квадратное уравнение, получаем 9, -Р.д~р.'ьр,'ь(,' гд — '= 2 р, +г(г откуда, отбрасывая не влияющее на результат слагаемое 2ял, находим — Р, Я~Р.
д Рг - (г д, = 2 агсгй , — к < 9, < к . (2.34) Р, -г-бг Запишем систему уравнений (2.21) следующим образом: ас, + асг, + аз к„= Рс, + Р,к„ (2.35) гггкг Ьн(гегг згг = Р.- Далее, умножая первое уравнение на ам а второе на — г(г и суммируя нх,получаем агг(гсг + а,а,з, ьс(г' +а,' =(Р„с, + Ргзг)г)г — Рга„ т.е.
(2.3б) агкг Ег(гсг = А, где 95 2 В лаже сжал пуытпр арабо еп прес рппсмве А = — «Р с, + Р т,)Ал — Р Вэ -В, -«,) — (г 32) известное (после определения 4, ) число. Структуры уравнений (2.36), (2.32) аналогичны. Теперь, используя подстановку (2.33), получаем а, Я т(а,' е Нл' — А' )з =2шсгб '- ', — к<9<к (2.38) Ает)л Чтобы найти угол 1,, определим .т„и см.Для этого решим систему уравнений (2.35) как линейную.
Имеем гlлттэ + а,с„= р,с, + ргт, — а,с„ (2.39) — а,т, ел(,с„= р +а,з, откуда Вл — а,С ты = Алз + а,' ВлС<азВ стз — 2 Вт (2 40) (2.41) где В= р,с, + р„т, — а,сз; С=р +атее Тогда из соотношений (2.40), (2 41) следует, что 9, =атеп2(тзо с„) — 4„— п<бл <л. (2.42) (2 43) 96 Итак, искомые углы д,, 9„4, определяются выражениями (2.34), (2.38), (2.43).
Приведенное решение обратной задачи состоит в последовательном нахождении этих углов. Следует отметить, что решение обратной зацачи для 4,, 9„ 9, неоднозначно: выбирая независимо знаки в соотношениях (224) и (2.38) получаем четыре тройки углов ( 1,', 9,', )з), (9,', 9,, 9,), (4,, бз', бз), (9,, 9,, дз), обеспечиеаюшие одно и то же положение схвати. Продолжим решение обратной задачи и найдем углы 9,, 9,, Вы Из решения прямой задачи имеем для проекции вектора т следующую систему уравнений: 73. Обрамиая раз и иии я задача гв, =Св(евзсвгв + гнев) зРвзв гвз гв( звсвгз + гввсв) в свгвг гвзсвгв в сгзсв (2.44) Умножая первое уравнение (2.44) на — г,, второе на с, и суммируя ик, получаем гвгв„+ Свгв„+ гвгв. (2,45) Далее, умножая первое уравнение (2.44) на с,сзм второе иа з,см, вретье на — згы имеем (2.4б) с,с г„+з,с г — з г,=сг Поскольку .в, может иметь различный знак, то, используя соопюшения (2.45) и (2.46), получаем для 9, два решения: 9, = агап 2(И (-з,г,„+с г,,), й (с сыг„+ з св г„— г„г„)), (2 47) где И' = я).
Система уравнений (2.44) позволяет найти з„с,. Нетрудно ви- леть, что г, =(се„с, -гз,)г,„+(за„с, +с,г,)г„— с„гыг,, (248) с, =с,зыг„+я,гг,гв„+сз,г„. (2.49) Тогда 9, =агал2(г„с,), (2.50) где г, и с, определяются соотношениями (2.48), (2.49). Те же результаты можно повучить, если заметить, что г, = г„х, л с, = — гву„где векторы х, и у,, являются компонентами матрицы уо т.е. матрицы положения четвертого звена. Чтобы найти угол 4,, запишем слелующие соотношения; з,=х,у,, св =Увдв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
