Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Качественный вид кривой (!9) для некоторых п,ш показан на рис. 4. При и =- 0 это монотонно убывающая кривая. При и > 0 она имеет максимум, величина и положение которого определяются формулами и Мньн юп (20) б!о ч- пО" Рис. 4. и/т;бистепеиное распределе- ние при разных степенях Чем больше п,т, тем вылив и острее пик вблизи максимума. При гкш -- х распределение превращается в б-функцию. Это означает ситуацию. когда все граждане имеют одинаковый заработок ~ ь„. Поэтому бистепенное распределение (19) позволяет исследовать разные экономические ситуации, включая предельные случаи.
Величину С,„н, следует называть наиболее вероятной зарплатой — ее получает наибольшее количество человек. Значения п,т могут в принципе быть нецелыми. Для простоты ограничимся целыми и. Тогда все выкладки удается довести до конца в явном виде. Будем нормировать функцию распределения не на единицу, а на полное число человек Л': )тг = ~ Дс) г!с = а " „ь г(- = а А„н„(2!а) ,',! „,6)'- 6- ™ о о где й.!.т-.
! = ((т — 1)С'„н, !) = — — — —: — '; (2!б) н ! и!(т — 2)! (а н- ~п —. !)! быстрое, как у экспоненты, и похоже на обратное степенное. Поэтому естественно аппроксимировать функцию распределения (такие аппрок- симации экономисты называют моделями) отношением простейших многочленов: 264 Гл Л'. Стабильная пенсионная система Таблица 11. Величины 124А„ п)т !05 12 30 60 168 252 504 60 280 20 !40 840 630 105 30 280 1260 2310 504 5544 1260 168 252 12012 56 840 2310 5544 72 3960 1320 360 10296 24024 495 6435 90 1980 18018 45045 1О 11О 660 2860 10010 30030 80080 Средняя зарплата (ср равна полному заработку населения, деленному на его численность.
Для распределения (19) это дает я. 1 г . 42 5В„„, сер = —,. ~ сДс)с)с = —.ЬВп,„= А„„ о (22а) где ( — 1) я 4п(п+ 1)Мт — 3)! ь=о й ' т — 2 пт' п(гп+ и — 1)! п -е ! А„„,; (22б) п4 — 1 величина 124В„,п также оказывается целой (она извлекается из табл. 11), а замечание о переходе к Г-функцни аналогично.
Подставляя (21б) и (226) в (22а) и (20), получим т (24 4- 1) ~,, т (и -р 1) (23) > 1, "(пг 2) С». 222(т, — 2) Когда г4,т. —, зс и распределение (19) переходит в д-функцию, выполняется С,, †-- 5; это очевидно: если все зарплаты одинаковы. то наиболее вероятная равна средней. В обшем же случае из (22б) следует такое соотношение для наиболее вероятной и средней зарплат: Р 1 42 448 481 44; 4244 2(п+ 1) х ,'и л граничная линия этого неравенства показана на рис. 5. таким образом, !22А„т есть целое число (по-видимому, для нецелых п,т, надо заменить все факториалы Г-функциями, но доказать это не удалось). Значения 1,1А„а, приведены в табл.
1!. Отсюда а = ЖГ4А„т. (2)в) 265 р 3 Унровлвние Пвнсионнаьк фондом Заметим также, что для сходимости интегралов в (21а) и (22а) необходимо и ) — 1 и ш ) 3. Но в экономике разумно усилить ограничение и требовать и > О, чтобы функция распределения не обращалась в бесконечность. Даже значение и = 0 показывает наличие большого числа очень низкооплачиваемых работников (см. Рис. 4), то есть соответствует нищему обществу со сверхбогатой верхушкой и ее окружением.
2 о Рис 5 Выше кривой От > (вы„. ниже — наоборот Параметры для аппроксимации гистограммы рис. 3 и табл. 1О бистепенным распределением (19) подбирались вручную. Наилучшие результаты получились при следуюпгих значениях параметров, точно передающих нормировку: и = гп=б, 5=со,, = 70, сч. =-123, а=2310Х. (25) Кривая аппроксимирующего распределения приведена на рис. 3. Видно, что она очень хорошо описывает гистограмму.
Расчет гистограммы по этой кривой приведен в последнем столбце табл. 1О. Он превосходно согласуется с данными Госкомстата: отклонение не превышает статистических погрешностей во всех строчках таблицы за исключением последней строки О ) 300. Там рассчитанное значение выше экспериментального. Но этого следовало ожидать: это «хвост» расцределения, описывающий высокооплачиваемых работников; а люди стараются скрывать высокие доходы. Напомним, что параметры а, 5 — масштабные. Форма гистограммы определяется относительными высотами ее столбцов, то есть 15 числами. Таким образом, очень точно описаны 15 экспериментальных точек с помощью всего 2 параметров и и щ.
Такое совпадение не может быть случайным. Значит, найден действительно удачный способ описания распределения по доходам, по крайней мере для среднеоплачиваемых работников с доходами ~, < 2,5(св. Из рис. 3 видно, что можно ожидать хорошего описания даже вдвое больших зарплат, хотя далекий «хвоста распределения остается загадкой. Но области ( < (3 —: 5)с„достаточно для основных экономических расчетов: дальнейший «хвост» охватывает очень малую часть населения. Гл !!г Стибильнин пенсионнил системе 266 Использованные данные Госкомстата относились к 1994 г.
Очевидно, величина б (денежный масштаб) будет заметно изменяться со временем хотя бы из-за инфляции. Однако вряд ли изменение сильно коснется качественной формы кривой. Поэтому далее примем гипотезу, что п = ш =- 6 и в другие годы. Величина и согласно (21в) при этом зависит только от Х, которое почти ие изменяется со временем.
Поэтому будут выполняться соотношения 7 и = ш =- 6 милн = — 5 ~се = чпых и = 23!ОХ; (26) 4 Х(с) = ~ 7'(с) г!» (27) Бнстепенпое распределение (19) на хвосте имеет обратную степенную асимптотику Я) С ~. Подстановка ее в (27) дает ЖЯ с это тоже обратный степенной закон. В последних трех столбцах таб- лицы числа Г(0) действительно зависят от с по степенному закону, но степень гп ф 6: по 1! и П! столбцам с учетом статистической погреш- ности она дает наклон ш -- 1 — — 2,12 т 0,03 (по 1П и !Ч наклон будет заметно изменяться от года к году будет только 5. легко определяемое по средней зарплате (даяные о которой регулярно публикуются).
Олигохвост. Легальный доход бюджетных служащих, включая чиновников среднего ранга (с учетом не только оклада, но возможных надбавок и дотаций на лечение, зачастую составляющих второй оклад) обычно не превышают 5 средних зарплат. До 10 средних зарплат дотягивают доходы лишь высших чиновников. Однако у крупных дельцов и их окружения доходы могут в десятки и сотни раз превышать среднюю зарплату. Эта группа лиц образует далекий «хвость распределения 7(С). Назовем его лолигохвост> (от слова олигарх) и попробуем на!лги его. В 2000 и средняя «пеисиониая» зарплата составляла 16257 рубугод = = 1355 руб/мес.
Средняя начисленная (то есть истинная легальная) зарплата не публиковалась, но по словам председателя ПФ была в 1,5-2 раза вьшге, то есть составляла 2000-2700 руб!мес. Кроме того, налоговая инспекция сообщила прессе данные о числе человек с особо высокими доходами; они приведены в табл. 12. Число легально работающих не публиковалось, но ИНН уже получили 75 млн чел.
Поэтому оцениваем его в 80-85 млн чел. Сводка всех данных представлена в табл. 12. Цифры первого столбца табл. !2 неточны — они оценочные. Но остальные три столбца вполне надежны — это данные налоговой инспекции. Ояи относятся к доходам в десятки и более раз выше средних, то есть к олигохвосту.
Число человек с доходом больше !,' определяется интегралом от функции распределения З 3 Уараолнниг Пенсионньсмс фондом 267 — 2,5, но определять наклон по одному человеку крайне ненадежно). Таким образом, фактический наклон указывает на значение ш = 3. 2 Данные за 2000 г. Таблица Для диапазона средних зарплат зависимость (19) с гп = 6 весьма хороша.
Можно предложить два следующих расширения 6/6-бистепенного распределения на сверхвысокие заработки: (с)Ь)" (1 + (сз !Ь)ь .7(е) = -' 5 (1+с75) (1+ (с-1Ь)1а (28 а) (28б) п=т=б, /с=3, с«1, первое из них назовем жестким, второе -- мягким, по характеру влияния дополнительного члена гс/Ь. При достаточно больших ( оба варианта имеют асимптотику а ГгЬзз ь 7(з) = — ( — ) при; )> —. ь(, ) с (28) Добавочные множители в (28а)-(28б) слабо влияют на нормировку и другие соотношения, связанные со средними величинами.
Поэтому можно принять а = .з'„н,/Авв = 2310 7н',нн, и 1,ся = 75/4 согласно (2!в) и (22а). Учитывая зти соотношения и подставляя (28) в (22), получим: а Х(с) )г 7; з) 1155 Мс, 1 4мт) (29) Наибольшую неопределенность вносит сюда выбор (и, 11о «пенсионной» зарплате и значениям сн'Я из 1! и 11! столбцов получается с = 0,16. Если же взять оценку начисленной зарплаты, то получим г = 0,108. Обсудим зто.
Значение с = 0,16 поднимает хвост функции распределения гораздо сильней, чем значение г = 0,11. То же можно сказать о мягком варианте (28б) по сравнению с жестким вариантом (28а). Но гистограмма на рис. 3 хорошо описывается 6/6-бистепенным распределением и не требует подъема хвоста. Это заставляет отдать предпочтение жесткому варианту (28а) с параметром с = 0,11. 268 Гл Лс Стибильнил пенсионная система Таким образом, олигохвост удается удовлетворительно описать распределением (28а), содержащим два дополнительных параметра: безразмерный коэффициент с и показатель степени. Для 2000 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
