Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Заметим, что явные выражения (36) могут, при известных условиях, использоваться для качественного анализа динамики соответствующих процессов (в частности, видно, что при болыпих О она определяется лишь одним параметром б, представляющим собой комбинацию всех параметров задачи). П1) Как и в случае П, величина й2 неограниченно растет. Однако (находя444аяся в диапазоне ч42р < 5 < оо) скорость перехода на единую позицию не уменьшается, а неограни 4енно растет со временем (при этом ажиотажная часть потенциала уменьшается до нуля).
Асимптотика функции Я(Я) дается неявной формулой ,вьте О=-Ь е, +... (37) анализ которой показывает, что переход всего электората на позицию 4Хь происходит, как и в предыдущем случае, за бесконечное время (асимптотика процесса также определяется лишь одним параметром 6). Заметим, что при значениях К близких к величине чр2 р, эволюция электората «нерстои шва» в том смысле, что малые изменения величины Я могут привести к переходу с режима П на режим 1П (и наооорот). (Н) 1(ак и в случаях П, Ш, величина (2 неограниченно растет при г . оо, Скорость 5, как и в случае П1, также неограниченно растет при — эс (для интегральных кривых !Н справедлива асимптотика (37)). Даннь4й режим отличается от режима 1П тел4, что он может осу44(естве4яться при начальных значениях (г~ < О, т.е. при начальном преобладании противников позиции «Х» нид ее сторонниками.
Однако, достаточно большое значение начальной скорости перехо- р 8. Ма»пемаглическая формулировка бозоеои модели и описываемою 87 да бю > 0 обусловливает итоговую победу позиции «Х» (при этом скорость изменяется немонотонно, достигая минимума в некоторый момент времени).
Итак, режимы П вЂ” 1Ч, различаясь в деталях, отвечают необратимой эволюции всего электората в пользу одной' позиции. Для осуществления такой эволюции начальные значения величин ь»~, 5~ должны лежать в области плоскости б», 5', расположенной выше сепаратрисы г! (см. рис. 2). Другими словами, должна б»ять достаточно большой либо величина (2~ > О, либо (при ьуе < 0) велишна 5о. Причелп начальная скорость перехода всегда положительна (конкретные численные значения величин, характеризующих динамику эволюции легко находятся из модели, если известны конкретные входные данные). Ч) Интегральные кривые Ч (лежак!ие между сспаратрисами Л и В при ь„о < 0) описывают проиесс стабилизации числа сторонников и противников позиции «Х». Величина Я растет и достигает некоторого конечного отрицателгпюго значения О =- Я», приближаясь к нему либо из области 5' < хг2 р, либо из области 5' > хУ2 р, т.
е, стабилизация происходит при достижении порога восприятия 5' =- хс2 р. Данная эволюиия устойчива, в том смысле, что любое изменение величин ь',)о, 5' (в описываемом диапазоне) не изменяет характера процесса стабилизация в конце концов осуществляется, но при друтих значениях величины С:„»» (ср. со случаем П1). В окрестности линии 5 =- ъ'2 р для кривых Ъ' справедливы асимптотики » — 7 «««»ь(«« — ол ° .. (38) ьг ==- Я» + ъ'2 р(» — «») + ..., 6~ == 4р ((«»,; ч- о) из которых следует, что стаоилизация достигается в некоторый конечный момент времени ! †.
Ге (рассчитываемый, как и другие характеристики процесса, из модели по известным входным данным). Как ясно следует из анализа кривых Ъ', стабилизаиия достигается, если в начальныи момент противники позииии «Х» преобладают над сторонниками, а начальная скорость перехода на позицию «Х» не слишком велики, но и не слишком мала (при этом в стабильном состоянии Я~» < О, т.
е. число сторонников позиции «Х» меныпе числа противников). Анализ кривых типа »г!, Ъ'П, Ч1П, !Х и свойства описываемых ими режимов (включая формулы (36) — (38)) аналогичны в силу симметрии модели и, соответственно, симметрии фазовой плоскости ь',), 5', анализу случаев П, П1, 1Ч, х«соответственно. Разница лишь в том, что электорат полностью переходит на позицию «У» случаи Ч1, ЧП, Ъ'1П (ср. с П, П1, 1)г), а стабилизация (случай !Х) реализуется с преобладанием числа сторонников позиции «Х» 88 Вл. П. Модели выбори и их применение к анилизу кочфликгпов г ~ '2 -з в I дм Г ак~е)зг г1- АзРР 5'м ех! ~ - — ',у!— Ут' ' ( 2ГР/ Колебания шсленности Я могут иметь любую амплитуду (с учетом, разумеется, (34)).
Из вида кривых ! ясно следует, что циклическая эволюция электората осуьцествляется в условиях, когда начальнгче значения скорости Я~ и ~ислвнности бьто нв слиигком велики (в отличие от рассмотренных в и. 2 режимов неограниченного роста и стабилизации числа сторонников и противников позиции еХь или чуь). Конкретные численные характеристики колебаний нетрудно найти из модели по известным входным данным. В окрестности осооой точки (О, 0), т.е.
при малых амплитудах (бз (( 1, д (( 1) процесс описывается классическим линейным уравнением колебаний "~= -ю, д! йз = с периодом ч! 2 Гхид 7'г = 2к )(— ул ар (39) определяемым комбинацией параметров модели. В случае колебаний (нелинейных) произвольной амплитуды их период зависит также и от амплитуды (гчтм) и выражается формулой 7 =-7 2 ~" +1 Г (40) получаемой двукратной квадратурой из уравнений (29) (с учетом существования интеграла (28)). Значения эллиптического интеграла Е, изменяются в пределах 1 < Е, < 1,57 (т.е.
слабо), его конкретные численные значения находятся по известному аргументу. 3 а м е ч а н и е 5. При а > а, поведение фазовых траекторий уравнения (31) аналогично, за тем исключением, что на сепаратрисах .4 и В величина Я стремится при ~Я вЂ” ж не к нулю, а к конечному значению мд =- д (о, д, р, ...). Особенность случая а < ачр в том, что сепаратрисы А и В не разомкнуты, а замкнуты и пересекают 3.3.
Циклы самонндентификацнн электората. Интегральные кривые 1 располагаются в части области — ч'2 р < д < ъ'2 р плоскости ЯЗ, Я, ограниченной сверху и снизу сепаратрисами А и В (рис. 2). Они описывают процесс периодического изменения величин 0 и д со временем. Амплитуда колебаний скорости Я„„,к ограничена ( д,ьь„, '< тг2 р, допороговая область -- см.
рис. )б). Причем максимальное значение величины д =- Ял! на замкнутой траектории достигается при 1„1 = 0 и связано с максимальным значением величины .=- ьгм (достигаемом при д ==. 0) соотношением, следующим из формул (25), (26), (27) и интеграла системы (постоянства СПП вЂ” см. (28)) Э д. Мател~атическая формулировка базовои модели и описывиемые 89 ось ~> в конечных точках Ы,~и,в, — (г,вв„(с«3, р,...) т.е. колебания ограничены как величиной 5'== отв„ так и величиной Я =- ф„вы Дадим краткий комментарий к формулам (39),(40).
Наиболее сильно период колебаний зависит от р (пропорционалсн р нз) — величины порога восприятия, входящей в ажиотажную часть потенциала, уменьшаясь с ее увеличением. Зависимость периода от величин о, уы (максимального значения статичной части потенциала и его «веса» в общем потенциале) качественно аналогична, но заметно более слабая. Также относительно слабо (как корень квадратный) период зависит от величин ух,,З, р, (их смысл ясен из предыдущих описаний), увеличиваясь с их увеличением. Описанные зависимости могут быть интерпретированы следующим образом. Выражение (25) для потенциала Р(!), Я) запишем, с учетом (2б), (27). в эквивалентном виде Р(сг, Я) == ~~Р1 л-,,зРв =.
м~ ., -ь ааз2«гЯ ехр1 — — ', ) . (41) ()е , , Г Ф '1 Сд-',3+ ! 2р«,/ Из (41) ясно видно, что коэффициенты мз == р характеризуют (при заданных значениях Я и Ь) вклад статической и «кинетической» (связанной со скоростью) компонент в общий потенциал Р. В терминах коэффициентов .сы мя выражение (39) для Тс дается формулой Тг = 2х (42) аналогичной классической формуле для периода колеоаний шарика массы т, присоединенного к пружине с жесткостью Е Напомним, что в системе «шарик пружинаь величина массы «и характеризует ее инерционные (кинетические) свойства, а величина жесткости 1 -- ее силовые (статические) свойства. !(онечно, аналогия между колебаниями электората и колебаниями механической системы весьма условна, но, тем не менее, она позволяет дать более ясную интерпретацию зависимости (42). 1.
Чем больше удельный вес статической части потенциала в общем постоянном потенциале, тем сравнительно больше «сила принуждения» личности со стороны большинства и тем быстрее она совершает переходы колебания (период уменьшается с ростом м~). 2. Чем болыпе уделшный вес ажиотажной (кинетической) части потенциала, тем сравнительно больше инерционность личности (тем сравнительно меньше, в условиях постоянства потенциала. сила при- 90 Вл. П. «»«одели выбора и их примвнгнив к анилизу конфликтов нуждения со стороны большинства) и тем больше времени треоуется для изменения ее позиции (период растет с ростом »м»). В случае нелинейных колебаний период (40) весьма сильно (квадратично) зависит от максимального значения (ьугг,г) разницы между сторонниками и противниками позиции «Х» или «У», увеличиваясь с ее ростом.
Это естественно, так как при прочих равных условиях разворот большей по численности части электората в сторону противоположной позипии требует большего времени. Тем самым изучение модели (29), (30) показывает, что супгествует принципиальная возможность (до определенной степени) осмысленного управления циклическими режим«пни эволюции электората (то же самое относится к режилгам, описанным в и. 2). Заметим также, что для электоратов, обладающих разными свойствами (разными значениями величин гг, тг, о...'й р„р, С)хг), периоды (39), (40) лгогут быть близкими, т.е, может сугцествовггть количественное подобие электорального поведения. Изученные в данном параграфе режимы эволюции со временем числа сторонников н противников какой-либо из позиций естественно рассматривать как режимы вамоиденгпифика«4ии электората, описывающие преимущественный выбор электоралыгого болота в пользу той или иной позиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
