Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ПРи А > (со У этого УРавнениЯ имеютсЯ два коРнл бтт1 и Щ такие, что бЗ1 < Оо < бьЗв. ПРи й < йв коРней нет. Отсюда, если считать все параметры модели заданными, следует такая зависимость существования особых точек от величины С: при ,'С вЂ”. Со = рЯо,Нсо имеются две особых точки (бато ® и ( — ЯьЗо, — Яо); пРи С~ < Со — чстыРе особыс точки (Язых,), Яв,Яо), ( — бЗн — Я,) и ( — сьта, — Ьо); при ~С~ > Со особых точек нет Таким образом, иллюстрируя влияние введенной в базовую модель величины С (влияние производной от функции Р(1)) на поведение интегральных кривых в фазовой плоскости (здесь и далее рассматривается, ввиду симметрии, ее верхняя полуплоскость), можно сделать следующие выводы.
При (С =-. О ил1еем базовую модель, у которой на прямой Я = ч2р одна особая точка Я = О. С ростом ~С, пока сохраняется соотношение ~С < Со, эта точка сдвигается с оси Я = О вдоль прямой Я = чг2р и, кроме того, на этой прямой возникает еще одна особая точка (опа как бы «приходит» из бесконечности). Когда достигается равенство С = Сн, эти особые точки сливаются и при дальнейшем росте ~С~. С~ > Со, пропадают совсем. Пример. Рассмотрим вариант численного расчета, который наглядно подтверждает сделанные выводы. При фиксированных пара- МстраХ ураВНЕНИя (46) 3 = 2, р = ов = 1 ЗаВИСИМОСтЬ Я11 И (та От величины С имеет вид, приведенный в следующей табл.4.
100 Рл П,Модели выбора и их оримеиение к анализу конфликтов Фиксируем значение  — Яо и будем исследовать спектр этой матрицы в зависимости от величины С. Опуская громоздкие выкладки, приведем полученные результаты проведенных исследований. 1. При ~С < Со, когда имеются две особые точки с коорлинатами б2~ и Я2я, ~О1) < (Я2г(, особая точка с координатой О = Я2~ имеет тип седла (ее собственные значения вещественные и такие, что Л1 < 0 < Лг) при любых параметрах модели (в этом состоит некая преемственность между базовой и расширенной базовой моделями).
2. Особая точка с координатой О = Ов может иметь любой тип (Л| и Лг могут быть любыми) в зависимости от значений параметров модели. В частности, он может быть вырожденным, так что для исходной нелинейной системы уравнений поведение решений в окрестности этой особой точки (и фазовый портрет в целом) может быть весьма экзотическим. Это же положение имеет место и для «слипшихся» особых точек при )С~ ~— — Со. 3. Можно показать, что при любых параметрах модели существует такое значение С'". С < Со, что при 'С~ < С" особая точка с координатой (2 = Яа имеет тип фокуса (Во Л~ = Во Лв ф О, 1ш Л| = — 1ш Лг т 0).
Эти теоретические результаты подтверждены непосредственным численным решением системы (45) при различных начальных данных и некоторых наборах параметров. Так, в частности, при значениях параметров задачи, взятых в примере, лля С =- 0,1 (см. таблицу) имеются две особые точки с координатами (0,5!5, !) и (1,224, 1).
Первая из них является седлом, а вторая фокусом. Фазовый портрет системы (43) при этих параметрах, составленный на основе расчетов и геометрических соображений, имеет вид, изображенный на рис. 5. Ггр хгр Рис 5 Фазовый портрет динамической системы (43) Из рис. 5 вилно, что так же, как н в случае базовой модели, лля этой модели имеются режимы, описывающие, в частности, поведение в 1О! р" б. Некоторые обобщеаил моделей еыбора окрестности фокусов, ведущие себя так, что за конечное время модель приходит в состояние, в котором она не определена.
Этих недостатков лишена модифицированная система уравнений (45), дающая описание более естественных возможных вариантов процессов эволюции. Так, если на рис. 5 расставить стрелки в соответствии со вторым уравнением системы (45) (т.е. считать, что внутри полосы — м2р < Ь' < х72р величина Я~ растет по времени, а вне этой гполосы убывает), то нетрудно видеть, что особая точка в первом квадранте плоскости б), В превращается в закручивающийся (устойчивый) фокус, а в третьем квадранте в раскручивающийся (неустойчивый) фокус. Отметим возникающие при этом интересные режимы, которые.
«сматываясь» с нижнего фокуса, «наматываются» на верхний. Напомним, что этот эскиз сделан при С > О. Если С < О, то получим закручивающийся фокус в четвертом квадранте фазовой плоскости и раскручивающийся — во втором. Таким образом, для системы уравнений (45) при ограниченной скорости изменения СПП могут реализовываться колебательные режимы как с растущей, так и с убывающей амплитудой колебаний, причем при С > О растугцие колебания возможны, если Я < О, Я < О, а убывающие — если Я > О, В > О.
При С < О растущие колебания возникают при Я < О, В > О, а убывающие -- при бьз > О, Я < О. Для достаточно быстрого изменения СПП колебательные режимы невозможньь 5.2. Влияние внешнего информационного воздействия. В исходной модели (в отличие от базовой) имеется возможность учитывать влияние внешнего информационного воздействия (см. формулы (20) — (23)). Воспользуемся данной возможностью. Для этого сформулируем функциональную зависимость потенциала от внешнего воздействия.
Будем основываться на следующем представлении о механизме проникновения информации в социум. Некоторая часть социума восприимчива к внешнему воздействию. Впитав в себя новую информацию, эти люди начинают распространять ее в социуме так же, как и свою собственную. В результате информация распространяется на весь социум, воздействуя на принятие решений. Функционально данную зависимость можно записать в виде: )чИ) = ТОГ (47) то есть потенциал пропорционален как величине внешнего информационного воздействия, так и количеству человек, подверженных воздействию (их часть от общего числа Я обозначим как ";). Здесь, как и раньше, б~ и Г могут быть как положительными, так и отрицательными отрицательный знак указывает соответственно на преобладание численности сторонников позиции эу» и на информационное воздействие в поддержку позиции «У». 102 (л (( Модели вьюора и их применение к инолизу конфликкнов В данном разделе будет рассматриваться постоянное информационное воздействие.
Это упрощение позволяет понять качественное влияние информационного воздействия на модель в зависимости от величины воздействия, не смешивая это влияние с эффектами, которые могут быль вызваны непостоянством воздействия. Внешнее информационное воздействие, зависящее от времени, имеет смысл рассматривать после рассмотрения постоянного воздействия. С учетом дополнительного слагаемого, представляющего внешнее информационное воздействие, потенциал выглядит следующим образом: РЯ,5, Г) =- Х(Р!(гь() + Х2(з(э) + Хз(з(Я~. г) (48) Подставляя конкретные функциональные зависимости соответственно и предполагая, как и в базовой модели, что потенциал постоянен во времени, получаем уравнения модели: с 2Х~оЖ Л ., + Хз (Е р' схр — ' (Се -~- д)' ) 2р (49) Х х/2(' ((2р' — Э ) и соответствующее им уравнение, связывающее г( и Ь на фазовой плос- кости: (2Х1о(К Ч- Хзп(гЯ~ Ч- д)~)р' ехр — , (50) Хзт 2(к( Я Ч-,З) (2р' — бн)9 Для исследования модели на фазовой плоскости найдем особые точки системы (38).
Сразу следует отметить, что, как и в базовой модели, система не определена на прямых Ф = 2р-'. Поэтому точки, лежащие на данных прямых и составляющие равновесие уравнения (50), не могут рассматриваться как особые точки. так как они не подпадают под определение особой точки. Однако траектории, проходящие через такие точки (точнее, уходящие в них или исходящие из них), играют существенную роль в анализе портрета системы на фазовой плоскости. Поэтому они будут исследованы отдельно. Для нахождения нулей числителя правой части первого уравнения системы (49) необходимо решить следующее уравнение: (2 хз (' (51) (С)'.1 Д)' 2Х 3 Правая часть уравнения (51) константа (горизонтальная прямая на рис.
6), значение которой линейно зависит от Е. Отсюда ясно (см. рис. 6), что возможны три случая. 1. Если Е относительно невелико (Г < Г,я), то уравнение (51) имеет два корня б(и((з и у гистемы существуют две особые точки— Ян О) Яз. О). а б. Некоторые обобшония моделей аыбори 1ОЗ и о(м) (дт г р)2 Рис 6. График зависимости левой части уравнения (50) от С) 3 е'3 х1а амза Л (52) Для определения типов особых точек в первом и втором случаях нужно линеаризовать систему (49) вблизи каждого положения равновесия и посмотреть собственные значения матрицы козффнциептов при линейных членах. Если обозначить правые части системы уравнений (49) как Ф~ и Фж то эта матрица выглядит следующим образом: дФ1 дФ~ д,Я де) дФя дФ дд дС) (53) Подставляя конкретные функции системы (49) Ф~ и Фя.
охр —, с19 ),щ'Ч д)-' ' ' ' / дЯ Хят~'2/тр(2рз — ОЯ) 2. При некотором значении Г =- Г„, существует только один корень Щ (имеются ввиду вещественные корни, без учета кратности) и одна особая точка (Яз,О). 3. При больших значениях Г (Г > Г„„) особых точек нет (уравнение (51) не имеет корней). Исследуем более детально каждый из случаев. Сразу заметим, что, хотя решение уравнения (51) относительно Я (нахождение Я как функции Г) проблематично (требуется решить алгебраическое уравпение четвертого порядка), критическое значение Г, соответствующее максимуму левой части уравнения, находится легко н равно !04 Вл д Модели еибори и их применение к инилизр конфликкпое схр —, дс' Х ~'2(лр(2р" — дз) дс2 1,я' Ед)' / дФе дФе д.'з' ' дЯ в матрицу (53) в точках, (бхз„О), 1=1,,3.