Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Постановка проблемы, оснаеньт понятая и предположения 81 заданными функциями времени д1." Г, =-— дс е1» Р» =- —, й. ' (22) и начальными значениями (задача Копли) Я!го) — "" Я 5(ао) —" 5 (23) 2.3. Зависимость СПП от основных переменных.
Свойства модели (20) — (23) могут изучаться с общих позиций (при входных данных. сформулированных в достаточно общем виде). Однако, для получения конкретных результатов требуется задать конкретные входные данные (желательно, в явном виде), прежде всего, задать вид функции Р =- РЯ,5', Г(!)), определяющей СПП. Для этого требуется сделать ряд дополнительных упрощений. У и р о щ е н и е 1. СПП либо не зависит от внешнего воздействия Г(1), т. е. Р =- Р(д2,З), Р-:=-О, либо внешнее воздействие постоянно во времени, т.е.
Г(!) — — сопя!, Г, = О, Р =- Р©5',С). (24) либо оба этих свойства выполняются одновременно. Для простоты в дальнейшем оудем (во втором случае) опускать параметрическую зависимость потенциала от постоянной С и записывать его (как и в первом случае) в виде Р =- РЯ, Я). У п р о щ е н и е 2. СПП является аддитивной функцией своих аргументов (зависит от величин Я, Ь' по отдельности): (25) где т1 ) О,,га ) 0 -- «веса» статичной и динамической компонент СПП (Х~ + у .— 1) Для окончательной формулировки вида функций Р|Я), Рз(5) обратимся к психофизиологическим закономерностям восприятия, ис- представляет собой замкнутую математическую модель рассматриваемого процесса, полученную в рамках Предположений ! — 3, социально- психологической Гипотезьг и представления о средней типической личности.
Из уравнений (20) с входными данными (21) — (23) однозначно (при соответствующих условиях гладкости) находится искомое Решение -- фУнкЦии С2(1),5(а) в любой момент вРемсни 1 ) 1о. Замечание 3. Как следует из вида связи (19), помимо случаев а) и б), возможно рассмотрение случая в), когда по известным потенциалу Р(1) и численности ®1) находится интенсивность внешнего воздействия Г(г) на электорат (своего рода «обратная задача социальной психологии»). 82 Пл. П. Модели вььбора и их применение к анализу конфликтов следовавшихся в работах (13 — 16). Основываясь на их результатах, запишем функции Рь(ь,)), Рз(о) следуюпьим образом Р (,-,) с2 Яз+ 3), (26) ) 2 52 7 уз ) Рз(Ъ) =- р~/ — —, ехр 2рзз) ' (27) рзЮ 2р~2Кз~е) рбо) ОЛ5 0,6 а)4 о т:рГз 0 О тгс5 — 'Лу))2р 'Г2р )15-ь-з)7)72р 3 Рнс 1. Зависимость статической компоненты СПП а) от разницы между числом сторонников н противников С), б) от скорости изменения разницы между числом сторонников н противников 7" Четная функция (26) (рнс.
1 а) монотонно растет с ростом Я( и выходит при гьь — ~ж на асимптотическое значение Рь(о:) .=- о, определяемое параметром а. При этом производная (нечетная функция) г)Рь 2оДС) (с25 ч 6)2 положительна при б) ) О, отрицательна при О. < О, равна нулю при О =- = О, стремится к нулю при Я вЂ” ~ж и достигает своего максимального по модулю знаьения, равного Ц)73 /2))о,ьтьь,;7 в точках Я =. ' „/®3 (в силу симметрии функции Рь ((ь)) относительно точки бт) =- 0 ее график приведен лишь при б) > 0).
Другими словами, с увеличением стимула (аргумента ~Щ) отклик На СтИМуЛ (фуНКцня РЬ(® уВЕЛИЧИВастСя С лиаемщЕНИЕМ» ИЗМЕНяяСЬ (при ~Щ ),~73ьь3) все слабее и слабее. Этот эффект называется привыканием с утомлением. где о ) 0.,3 ) О, р ) О, )ь ) 0 — параметры, численно характеризуюпьие особеьшостн восприятия (вообщс говоря, разные для разных объектов) и служащие для лпрнвязкиэ функций к эмпирически установленным конкретным зависимостям (законам Вебера — Фсхнсра, Бугсра и Стивенса). Дадим краткий комььентарий к формулам (26), (27) (см. также рис.
1). йЗ. ?г1атвматическая формулировка базовои модели и описываемые 63 Четная функция Рз(Ю (рис. !б) монотонно растет с ростом о вплоть до точки с координатой ~Я'~~ —— — т72 р, где она максимальна и равна Рз(5)„к, =- 2рь?2~(пг-), для ~Я~ > х?2 р она монотонна и уменьшается до нуля при;Я~ — оо (аналогично рис. !а график функции Рз(о) приведен лишь в области В > 0). Производная (нечетная функция) дР;, е 2рз — Л~ дк равна нулю при Я = 0 и Я( = ь?2 р и стремится к нулю при ~Я достигая своих яаксимальньгх по модулю значений в точках 15+ Л7, „/5 — Л7 2 2 В отличие от функции Р~ Я), динамическая компонента потенциала Ре(Я) увеличивается с увеличением стимула (аргумента 5~) лишь до достижения определенного порога восприятия (опредсляемого значением параметра р), а при дальнейшем его нарастании стремится к нулю.
В (13 — 16] этот эффект интерпретируется как восприятие растущей гго обьему ииформации (при превышении пропускной способности воспринимаюпгего) в качестве растущего по амплитуде «гиума» (все оолее заглушающего полезный сигнал). Заметим, что определяемые параметрами о, Л, Л, р значения аргументов функций (26), (2?), самих функций и их производных в характерных точках имеют вполне ясную интерпретацию (максимальный отклик на стимул, максимальная скорость роста отклика на стимул, порог восприятия и т.
д.). .у 2д~одр Я2 ехр— 2Л г1С) ,з, з з — =о 1>1о, Л Х ИЯз Н 3)з(27~' — Ф)' (29) с/Я, Ре й. Рв ф 3. Математическая формулировка базовой модели и описываемые ею режимы эволюции 3.1. Постоянство СПП н уравнения базовой модели. В дальнейшем модель, получающуюся из модели (20) — (23) при Упрошениях 1, 2 (п.
3, з 2), зависимостях (26), (2?) и в Предпологкении 4: (28) т. е. при постоянстве СПП во времени, будем называть базовой моделью электорального поведения (базовая модель была впервые предложена и предварительно изучена в раоотах [5, 6)). Из (20), (26). (27) с учетом сделанных Упрощений и Предгголозкения 4 следуют уравнения базовой модели 84 Вл. П. Модели выбора и их применение к иеализу конфликтов дополняемые начальными условиями О(1о); С~", 3(со) .—...
б'". (30) Р(1) —" Со х Са > О, Со > О, ! > ао Тогда уравнения (20) принимают вид 19 — Ра.н Ч- С йг ٠— 1>ао, дг откуда следуют уравнения для расширенной базовой модели (аналоги (29) при условии (32)) ехр —,, ( 2адгг ~, С 2ГГе — — (Х, е г11,Л,, хн (С)е +,;~у,й(2рз Уе) ' (33) — — 1>1о Щ йг и уравнение (аналог (31)) ~2 ехр —, / 2,, Дс2.~ + йс2 ° г2/~тхзр 1 (с«г яд)е / Я (2р2 — Я ) (34) 3.2.
Монотонные режимы эволюции «электората». Для изучения временной динамики величин Я, Я исследуются фазовые траектории уравнения (31) в плоскости бз, Я. Фазовые портреты несколько различаются в случаях а =- ак„, а > ак, и а ( а,, где а = — . =- 2тчодрз(х/27к 1Сзр) ', а,, =- 4ер«,Гд. Результаты подробного математического исследования фазовых траекторий уравнений базовой модели Динамическая система (29) автономна и ее удобно исследовать в фазовой плоскости Я, Я, т.е. изучать методами качественной теории ОДУ поле интегральных кривых нелинейного уравнения первого порядка ~в 2х~одрвСз ехр —,, (31) дс) ъл7 хгр (с2~; д)' (2Р' — Яе) Я В содержательном отношении базовая модель описывает достаточно широкий и типичный круг ситуаций, условно говоря, мобилизационного («военногов) характера, когда СПП социальной общности «возбужден« и, в течение некоторого времени, поддерживается на определенном уровне.
Заметим, что система (20) автономна не только в случае постоянства СПП, но и тогда, когда СПП является линейной функцией времени (32) р" о. Мигпемативескоя формулировки базовой модели и описывиемые 85 (допускающих интегрирование в квадратуре) и расширенной оазовой модели содержатся в (17). Здесь мы ограничимся изложением для промежуточного значения а = ие, кратко пояснив, в чем состоит отличие данного случая от остальных. Уравнение (31) имеет три особые точки: (О, 0), (О, хг2 р), (О, — ь 2 р) — точки пересечения изоклины нуля Щ =- 0) с изоклинами бесконечности (о =- О, В = ~у'2 р).
Первая из них является точкой типа центра, вторая и третья имеют тип седла. Картина поля интегральных кривых уравнения приведена на рис. 2, стрелками показано направление движения по кривым при увеличении 1 (напомним, что движение осуществляется при постоянстве СПП, определяемого значениями Я2~, о~ и разного для разных кривых), пунктирные линии — изоклины бесконечности Я =- тх72 р, штрихпунктирные линии А и В сепаратрисы седел. Рнс. 2 Фазовый портрет динамической системы (29) в плоскости Я, Я дс) дд 5= — = —, Ю=-Я +ч и щ' Замечание 4.
Анализ в плоскости (Я~,Я) может трактоватьса также и как анализ в плоскости пеРеменных г1(1) =- С~(1) — с2о и Я .— — с(Г,)/с(1 =- с(с1/с)1 (см. (!6). (17)). Это обстоятельство отражено в обозначениях осей на рис. 2 (при Щ =- 0 в трактовке величин 0„(1) и с1(1), очевидно, различий нет). В реальности величины 12о и д(1) ограничены. Поэтому содержательная часть плоскости (ф 5) заведомо ограничена областью (35) ф~ - пм < Я < био -1 пм, где пхг == (з(1) + л(1) + у(1))тм — максимально возможная численность электорального болота (см. 2). 86 Вл.
П. Модели еыбори и их применение к анализу конфликтов После этих предварительных замечаний перейдем к описанию допускаемых моделью режимов эволюции электората и их интерпретации (разным режимам отвечают разные типы интегральных кривых 1-!Х).
!) Замкнутые кривые этого типа описывают периодический процесс и подробно рассматриваются в и. 2, 3. П) В данном режиме величина О неограниченно растет с течением времени — весь электорат в итоге вани,ис4ет позицию 4Хьн При этом скорость перехода, так же как и ажиотажная часть потенциала. уменьшается до нуля (значения скорости лежат в допороговой области О < Я < чр2 р).
Асимптотическое поведение величин ЯЯ) и Я~(!) дается формулами: е — 4-.... 44 — 44444Я('4... ь — à — (46) 'у' 2444 ' где точками обозначены чле4ш| более высокого порядка малости и из которых видно, что переход всего электората на единую позицию происходит за бесконечное время. Реальное время перехода, с учетом (35), разумеется, конечно и может быть рассчитано, если известны значения Я~, Я~ и параметры а и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
