Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 22
Текст из файла (страница 22)
получаем уравнение для собственных значений: ') д ('2х дс), +,,7,') с(ет (ххе~7~~~ ~т р2ре) дСе' (к Я. Ф д)' '"',1 — — 0 (55) 1 -Л или (раскрывая определитель) (56) Хз,727-12Г>'У дС2 'Х(С),' ', д)е ' ! ь е н ч Обозначим корни этого уравнения как Л1 и Ла. Тогда тип особой точки определяется положительностью/отрицательностью величины д /2Х оЮ вЂ” ',, + ЛЗ1Е, которая наглядно видна из рис.
6. дг,-) (,(с)~, д)- В результате: особая точка Яы 0) иь1еет тип центр (Лм Ла — ненулевые чисто мнимые) — точка Яз,О) имеет тип седла (ЛнЛ - вещественные, ненулевые и разных знаков). — в точке Яз,О) матрица (53) является вырожденной, поэтому данная особая точка не относится ни к какому типу. В первом случае (при 0 < Г к г',„) в системе существуют две особые точки: Ям 0) и Яз, 0), где ((тн Яз) — решения уравнения (51). Первая из этих точек является центром, вторая седлом. Характерный портрет на фазовой плоскости в этом случае имеет вид, изображенный па рис. 7а. Как и в базовой модели, вокруг центра (особой точки типа центр) возникает область колебаний.
Однако внешнее воздействие изменяет картину (по сравнению с базовой моделью), деформируя се в с~орону воздействия. В итоге у колебаний есть две амплитуды; одна в сторону внешнего воздействия (т.е., численность ٠— ф ) и воздействие Г одного знака, либо оба положительны, что соответствует позиции «Хгч либо оба отрицательны, в сторону позиции еУн) и вторая — в противоположную (когда (С7 — Я1) и à — разных знаков), причем первая заметно превосходит вторую. В некотором смысле это ожидаемый результат — количество людей, занимающих позицию, поддерживаемую внешним воздействием, больше количества людей, позиция которых противоположна внешнему воздействию.
!05 Э" б. Векоторые обобитеиил .нобелей выбюра Рис. 7 Фазовый портрет системы (49) при относительно слабом (а) и сильном (б) внешних воздействиях. По осям абсцисс и ординат отложены величины (2 и Я соответственно При увеличении величины внешнего воздействия особые точки сближаются (это видно из рис.
6), амплитуды колебаний становятся все меньше. На риг. 7 б приведен портрет системы с более высоким (по сравнению с рис. 7а) уровнем внешнего воздействия (но также, как и в прошлом случае, не превосходящего Г,р); Из сравнения рисунков 7а и 7б видно, как область колебаний уменьшается. Фактически эту область ограничивает сспаратриса, проходящая через седло Яа, О) вокруг центра. Эта траектория определяет как максимальную амплитуду. так и максимальное значение скорости в колебательных режимах. Вне области колебаний возможны только монотонные режимы эволюции социума.
Под монотонными в данном контексте понимаются режимы, в которых в конечном итоге вся социальная общность переходит в какое-то определенное состояние. Поведение монотонных траекторий удобнее понять, анализируя выражение для потенциала Р(с2,5',Г) = т !, +,;у~) — ' ехр — ', + узйсьтГ = — С, (57) () .-,'3 Ч (т 2Р,/ где С' — постоянное значение потенциала. Выражение (57), очевидно, есть решение системы уравнений (49), поскольку эта система была получена дифференцированием этого выражения (с целью анализа траекторий на фазовой плоскости псрелзсниых С), Я'). Зафиксировав С и устремив В к бесконечности или к нулю, получаем, что б! к бесконечности не стремится.
Поэтому все монотонные траектории заведомо ограничены по С7. В случае О < Г < Г,.„ в полосе Ве < 2рз траектории различаются для областей, на которые эта полоса делится сепаратрисами точек (сзэ, 0), Я!, ъ'2р) и ((>!, " у'2р). Однако все этн траектории так или иначе (см, рис.бв) стрел!ятся к точкам (для каждой траектории . своя точка) пряьюй о' = ш~ 2 р.
обрываясь в этих точках (напомним, что на 106 1л И 1г1оуегги выбора и их применение к инолизу конфликтов этих прямых система не определена). В областях 5 > кг2 р и 9 > — кг2 р траектории также стремятся к определенным значениям по оси Я. При достижении внешним воздействием критического значения à —.. = Г„я две особые точки Яг, О) и Яя, О) сливаются в одну — Я~,О) (см.
Рис. 6). В этом случае, а также при больших значениях величины внешнего воздействия (Г > Г„я) особой точки типа «центр» у систеьгы не существует, и колебаний нет. Характерный портрет фазовой плоскости при Г > Гнр приведен на рис. 8. В той области, где при меньших воздействиях (О < Г < Г,) происходили колебания, заметны некоторые неоднородности общеи картины, связанные с малым значением производной г)51'г1Д Однако качественно эти траектории ведут себя точно так же, как и все остальные траектории в полосе 5'" < 2рз.
Рис. 8. Фазовый портрет снстелгы 149) прн Г > Гч, По осям абсцисс и ординат отложены величины б) н,'г' соответственно Таким образом, все монотонные траектории стремятся по оси Я к конкретному конечному значению. Более детальное исследование этих траекторий в рамках данной работы не производится. Более важны скак в рассматриваемой, так и в исходной модели) именно колебательные режимы. Рассмотрим теперь зависимость максимальной амплитуды колебаний от величины внешнего воздействия. Эта зависимость получается из уравнения (51). Для этого надо выразить больший (по модулю) корень уравнения как функцию от Г. Графически эта зависимость изображена на рис.
9. При очень маленьких значениях Г величина Яя, ограничивающая амплитуду колебаний в сторону внешнего воздействия, может быть очегш большой, бесконечно увеличиваясь с уменьшением Г. С увеличением Г до критического значения максимальная амплитуда колебаний падает до нулевого значения. Период колебаний также зависит от величины внешнего воздействия. Для получения этой зависимости линеаризуем правую часть системы (49) вблизи центра (суг.
О). Отбрасывая члены более высокого Э" б. Некоторые обобщения моделей еыбори 107 Рис. 9 Амплитуда колебаний как функция внешнего воздействия порядка малости по б7 и 5', получаем в окрестности центра уравнение: (58) б)1 =. Г = 1тг. ббчх~ 9оХ~ (ог9) С учетом этого для периода колебаний вблизи пснтра получается фор- мула: у(у.) й ('т727к~~р')' ((~1г)Я+ б)"Я Х~о,Зрз,) ~~73 — 3 (ПР)' ' (60) переходягдая в формулу Я 1'Хедер У к '(1 Х,ор~ при Г = 0 (т, е. при отсутствии внешнего воздействия), Положительность подкоренного выражения в знаменателе гарантируется условием 0 < Г ( Г,р.
График зависимости (бО) приведен на рис. 1О. С ростом внешнего воздействия период колебаний возрастает, увеличиваясь при приближении к критическому значению информационного воздействия. Напомним, что амплитуда вблизи точки г' = Е,р стремится к нулю, то есть колебания исчезают при приближении к этой точке. Итак, при увеличении величины внешнего воздействия социум все меньше склонен к колебаниям, и, если колебания происходят, то они становятся более длительными, то есть члены общности все менее склонны к изменению своих позиций. Для нахождения периода как функции от величины информационного воздействия (т.е. Т =-.
Т(к)) нужно знать зависимость Я1(е). Эта зависимость задается уравнением (51) и в явном виде не выписывается. Однако с очень хорошей степенью точности ее можно приблизить линейной функцией: !08 Гл (( Модели выбора и их применение к инилизр конфликщов Г Г Рис. 10. Период колебаний как функция внещнего воздействия Представленные в 9 2-5 гл. 1! результаты свидетельствуют о том, что колгплексное использование различных подходов, моделей, расчетных методик, программных средств и информационных ресурсов дает возможность моделировать и прогнозировать, фактически в режиме реального времени, протекание сложных социальных конфликтов, в том числе этнополитических. Список литературы ! Симорский А.А., Михаилов А.
П Математическое моделирование !идеи, методы, примеры) — Мс Наука, !99?. — 320 с. 2 гИихайлов А. (7 Моделирование эволюции распределения власти в гасударственных иерархиях (( Вестник фонда «Российский общественно-политический центр» 1996 № 2. С 26-39. 3. М(й(га((ос А.
Р Ерйс!еп! 81гагецгез ог Сап нр!гоп 8црргезюоп щ 81а!е Рогнег Нгегагс!пез (( Ргосеейпдз о! 15»г' 1МАС8 тя(огЫ Сопигезз, Вегйп. 1997 Ч. П!, Р. 727 — 732. 4. Михиилов А. П. Модель коррумпированных властных иерархий Н Матема- тическое моделирование. 1999. Т. ! !. № !. С..'3-18. 5. Шведовснии В. А. Динаьщ геская модель электорального поведения Н Ма- тематическое моделирование. 2000. Т. 12, № 8. С.46 — 56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
