Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рассмотрим такой подкласс фракционных взаимозачетов, когда п-е предприятие выплачивает всем своим кредиторам одинаковую долю долгов р„(0 < р„< 1). Такой взаимозачет является разрешенным и приводит к следующим результатам: Э 2 взаимозачет долгов метода.и фракиионирования 121 С вЂ” С = 2 риС„= шах, в чв = 1т РгСв + 2 Рв14ии е- 0* ч1 0< р„<1. (4а) (4б) (4в) Эффективность такого взаимозачета удобно измерять коэффициентом погашения задолженности су 1;,=1 — — ',, 0<н,<1. С' (5) Сравним его с аналогичным коэффициентом для идеального взаимозачета методом переадресации долгов (2): й„=-1 — ~- '",','", ),:, <)ы <1.
(б) П Метод переадресации выгоднее, однако при сущегтвуюшем законодательстве не может применяться. Интересно, сильно ли проигрывает фракционный метод. 3 а м е ч а н и е. Можно рассмотреть наиболее обший случай экстремального взаимозачета с Х(Ж вЂ” 1) переменными р„„, (и ф т). В нем коэффипиент погашения 1, больше и лежит в пределах 1ч < и, < 1,. Но такая постановка вряд ли целесообразна по экономическим соображениям: возможны решения, при которых все деньги пойдут на выплаты крупных долгов, а мелкие кредиторы окажутся несправедливо обделенными. 2.
Решение. Неравенства (4в) описывают единичный куб в Х-мерном пространстве вероятностей. Каждое неравенство (4б) описывает полупространство. ограниченное и-й гиперплоскостью. Гиперплоскость ограничений пересекает положительную полуось и;й координаты в точке Ь„ (7) (возможно даже р„) 1); для всех остальных координат она пересекает отрицательные полуоси (рис. 5 для случая гтг =- 2 и рис. 6 для Х = 3).
Видно. что эти гиперплоскости вырезают из единичного куба непустой и конечный многогранник допустимых решений р„. Если все сальдо Согласно правилам экономики, его возможно провести, если конечные оборотные средства каждого предприятия неотрицательны: 6,', > О, 1 < п < Х. Нетрудно показать, что С' †" )Э', так как система остается замкнутой. Определение 2.
Назовеи фракционный взаимозачет (3) опта,иальнььч, если он минимизирует остаточную суммарную задо,гженность С'. Нахождение оптимального фракционного взаимозачета сводится к следуюшей задаче линейного программирования с неизвестными р„, 1-а<%: Кл Ш Ковньютерныг.кгтодн клиринговых расчетов неотрицательны Я„> О, то вершина единичного куба (рв .— 1, 1(п ~ < Ж) принадлежит этому многограннику; если хотя бы одно оо < О, эта вершина лежит вне многогранника допустимых решений. Рг Р~ 1 Р| о р, р, о р, 1 р, о Рис.
5 Случай Х .= '2; сплошные линии — гиперплоскости ограничений. штриховая линия — гиперплоскость экстремума. заштрихованы многогранники допустимых решений. кружками показаны оптимальные решения Случай и соответствует положительности всех сальдо, в случае 6 часть сальдо отрицательны, в случае в все сальдо отрицательны арт Рз Рз 1 Р1 Рис. 6. Случай Ж = 3 (здесь часть сальдо положительны, что соответствует рис 5б), заштрихованы гиперплоскости ограничений (4б). показано оптималь- ное решение; гнперплоскость экстремума не изображена Гиперплоскость экстре,иуиа, соответствующая (4а), при С' =- С проходит через начало координат.
При уменьшении С' она параллельно перемещается, удаляясь от начала координат так, что пересекает только положительные полуоси. Геометрически очевидно, что при С' = С эта гиперплоскость пересекает многогранник допустимых решений, но при достаточном уменьшении С' выходит из него. Следовательно, Э 2 Взаимозачет долгов методик фрокционировиния !2З имеется наименьшее С', при котором гиперплоскость (4а) имеет общую точку с этим многогранником.
Значит справедливо Утверждение. Оптимальньш' фракционный взаимозачет доггов (4) ори!естврет. Оно является частным случаем известной теоремы о существовании конечного решения задачи линейного программирования в ограниченной области. Очевидно, таким решением является одна из вершин многогранника допустимых решений.
Однако, не будет ли экстремальное значение С' достигаться на ребре или граня этого многогранника. то есть будет ли оптимальное решение единственным? Имеется тривиальный случай такой неединственности. Пусть некоторое 1-е предприятие не имеет долгов: С! = О, сш, .= 0 при всех ~ги Тогда любое значение 0 < 14 < 1 ни на что не влияет.
Значит, если найти некоторое оптимальное решение (р„1 < и < Х) и изменять в нем значение ри полученное решение также оптимально. Одно предприятие без долгов, то есть изменение одного параметра рп соответствует ребру многогранника; г таких предприятий соответствуют г-мерной плоской грани. Отбросим эти тривиальные случаи и рассмотрим углы наклона гиперплоскости экстремума к гиперплоскостям ограничений и граням единичного куба (рис. 5 и б). Можно установить следующую теорему. Теорема. Нетривиальная чаотпь оптимального решения единственна.
Для нахождения этого решения перепишем уравнение (4б) в следу- ющем виде: Учтем также (4в) и построим следующий итерационный процесс: р(ч1=! при С,=О для 9=-1,2, При этом из тривиальной неедннственности выбирается решение, в котором нулевые долги выплачиваются с вероятностью 1.
Трудоемкость одной итерации не превышает =2ХЯ операпий. Фактически она много меньше, ибо в матрипе долгов большинство элементов — нули, и их не надо включать в сумму по ~ги Алгоритм (9) прост и легко программируется. 3. Сходимоеть. Процесс (9) относится к классу простых итераций т(ч) =- чо(л(в )) с непрерывной и кусочно-гладкой правой частью.
Из (9) видно, что элементы матрицы Якоби др,'дз равны др'„ч! г(„„ — 0 нли .-- "," ) О. (1О) 124 Гл Ш Коиньюпгврныв.ивтоди клиринговых рисьвгиов 1 при ",,~)! — Л 0 при Х ПЯ <бг+1< 1 — Х вЂ” 1 при ";вш <Х иьт, — Ыр(гь) ' (12б) Положительные элементы становились дебиторскими задолженностями г)ьиь, модули отрицательных — кредиторскими с„и,; число ненулевых элементов в строке, то есть связей одного предприятия с другими, составляло т/Х . Нижняя половина матрицы аи, дополнялась кососимметрично.
Для экономического правдоподобия такого способа Для линейной сходимости процесса (9) достаточно, чтобы какая-нибудь норма этой матрицы была меньше 1. Знаменатель этой сходиьюсти гн не превышает наименьшей из норм матрицы — спектральной. Спектр найти практически невозможно, но нетрудно мажорировать эту норму другими, например эвклидовой (сферической). С учетом (10) это дает опенку а ь (11) На практике обычно эти неравенства далеки от равенств, так что опенка м по конечной сумме пепочки (11) оказывается существенно завышенной. Фактическая скорость сходимости оказалась очень высокой на модельных примерах для системы предприятий с большим числом взаимных связей. Зачастую 10 итераций давали 6 верных знаков.
Это на порядки быстрей, чем классические методы решения общей задачи линейного программирования. Для системы почти не связанных предприятий скорость сходимости существенно замедлялась, однако трудоемкость расчетов оставалась малой. 2.1.2. Примеры. Реальная экономическая информация труднодоступна. Поэтому свойства метода фракционирования были подробно изучены па модели системы предприятий, среди которых нет монополистов. Последнее означает, что разница в финансовом благополучии предприятий носит чисто случайный характер.
й Модельныи пример. Финансовая ьмоп!ностьь предприятий, то есть характерные величины денежных сумм их оборотных средств и долговых обязательств, описывалась весовой функпией р(п) =,, р(1) = 1, р(Х) =- хг'Х; (12а) при этом малых предприятий много больше, чем крупных, а финансовая мощность самого крупного предприятия в ~/Х раз больше, чем у малого; это качественно описывает реальную ситуацию.
Верхняя половина матрицы долгов формировалась с помощью псевдослучайных чисел (",) по формуле: Э 2 Взаимозачет долгов методом фракчиоиироеаиил 125 построения матрипы долгов существенно то, что предприятия упорядочены по возрастанию мощности. Оборотные средства определялись по аналогичной формуле: Ь„=- ЬХ l р(гь), .
(12в) Здесь 6 ез 0 коэффициент, характеризующий общее состояние экономики: малые значения 6 соответствуют дефициту оборотных средств. Варьируя Х и 6, можно провести исследование как свойств предложенного метода, так и состояния системы. Результат конкретного расчета зависит от выбора отрезка последовательности (З ). Поэтому при каждых Х, 6 расчет повторялся 10 раз с различными неперекрывающимися участками последовательности.
Затем вычислялись средние значения и дисперсии исследуемых величин. Г1ри увеличении Х дисперсии довольно быстро убывали; при Х > 40 они становились незначительными. 2. Результаты. Расчеты проводились в диацазонах 0 < 6 < 1,6 и 5 < Х < 640; последнее соответствует количеству предприятий в небольшом районе. При этом уже четко выявляются основные закономерности, так что дальнейшего увеличения Х не требуется.
На рис. ? и 8 представлены важнейшие результаты — коэффициенты 6„, )ы (для удобства в процентах) и число итераций д, нужное для сходимости с точностью !О ". Различными значками представлены усредненные данные расчетов, линиями — их аппроксимации. Наиболее интересный результат — быстрая сходимость.
Дансе при Ь = 0 (отсутствие оборотных средств) достаточно 4 < 100 итераций; при увеличении Ь число итераций уменьшается 1 т сопя!,'6 (рис. 7), быстро стремясь к 1. При небольших Ь > 0 зависимость у(йг) логарифмически слабая, и обычно достаточно =!О итерапий. Это обеспечивает быстродействие метода: даже если матрица долгов плотно заполнена, общий объем вычислений составит всего се!ОХз операций (в обцгих задачах линейного программирования это от Хз до Х4). Для разреженной матрицы долгов объем вычислений пропорционально уменьшается.
Поэтому для реальных экономических задач он вряд ли превысит !ОХз?з. При увеличении Х коэффициенты погашения долгов Ьь 6„— ч ! довольно быстро (рис. 8). Закон стремления близок к 1 — сопят Х о = 0,3-0,5. Разница между 1ь и 1.„ становится небольшой уже при Х ?э 40, так что оптимальный фракционный взаимозачет лишь немного уступает идеальному (переадресации долгов) в практически интересных случаях.
Разница между ними значительна только при очень малых ?ь < 10 (рис. 8), что неинтересно, или при Ь = 0 (рис. 7), что соответствует полному развалу экономики. Разумеется, эти результаты относятся к примерам рассмотренного типа, Если среди предприятий окажутся монополисты.
взвинчивающие цены. то матрицу долгов нельзя строить чисто случайно по (12). Од- !26 Вл Ш Комныоп1ерные мето0н клиринговых расчетов пако в такой ситуации даже значение А„может оказаться небольшим, так что фракционный метод и здесь полезен. 1ОО 12О ЗО 60 ао ло 2О ло о о,о 0,5 1,0 1,5 Ь 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 1а Дг Рнс 7 Расчеты при Х =- 20 О -- °, Рис 8 Расчеты при Ь = О,1. 1ОО— А, (%) — о, /сь (%) — а; линии — °, Аь (%) — о, Аь (%) — а; линии— аппроксимации аппроксимации 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
