kudryavtsev3a (947417), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Определитель, составленный из коэффициентов этой системы, стоящих в первых 7! строчках и первых к столбцах, )!<ш!п(т+1, и+1) (число строчек равно и+1, число столбцов пг+1), является так называемым определителем Вандермонда, известным из курса алгебры: ! х!...л! хг" хг П (х, — х). !«3<! И'(х,, ..., х,)= ! х,...х„' 3!6 Пусть на отрезке (а, Ь) задана функция 7' и пусть фиксированы и+! значений аргумента х!, !'=1, 2, ..., и+1: а <х, <х « ...х„„, <Ь. (62.
16) Одна из простейших интерполяционных задач состоит в отыскании многочлена Р(х) не выше некоторой данной степени т, который при значениях аргумента х=х!, г=1, 2, ..., и+1. называемых узлами интерполяции, принимает те эке значения, что и данная функция, т. е. имекгт место равенства 7(х!)=Р(х!), г=1, 2, ..., и+1. (62.17.
Такой многочлен Р(х) называется интерполлционным много членом, интерполируюшим функцию 7 в данных узлах интерпо- ляции, Для того чтобы исследовать вопрос о существовании интерполяционного многочлена Р(х), удовлетворяющего усло- виям (62.17), запишем его с неопределенными коэффициентами а,, /=0,1, ...,т; Р(х)=ае+агх+а .хг+...+а х и подставим его в систему (62.17). Получим систему из (и+ 1)-го линейного уравнения с т+1 неизвестными а, а,, ..., и: а„+ а,х, +... + а„х, =Дх) Р; (х)— (х; — х,) ...(х,— х; 1) (х,— х;~1) ...(х; — х„+1) Р,(х)- — многочлен степени п и что Р;(х,)=1, Р (хз)=0, и+1, 7=1, 2, ..., 1 — 1, 1+1, ..., и+1. (62.19) ингерполяционный многочлен может быть Очевидно, что 1=1,2, ..., Поэтому искомый записан в виде ле1 Р(х)= 2 1'(х,.) Р,(х).
(62.20) Действительно, написанное выражение является многочленом степени не выше и и в силу (62.19) удовлетворяет условиям (62. 17). Интерполяционный многочлен, записанный в виде (62.20), называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Исследуем теперь разность между функцией и интерполяционным многочленом Рх (х) =у'(х) — Р (.х), называемую остаточным членом интерполяции.
Предположим, что функция у п+1 раз дифференцируема на отрезке )а, Ь1. Тогда этим же свойством обладает и остаток А(х), причем К'"' п(х) =7'"' и (х), а <х< )э, (62.21) ибо Ры+п(х)ьяО. Положим а(х) = (х — х,) (х — х,) ... (х — х„„), зафиксируем хи'(а, ЬЗ' и рассмотрим вспомогательную функ- цию 3)7 Здесь этот определитель не равен нулю„ибо все узлы интерполяции различны. Поэтому ранг матрицы коэффициентов системы (62,18) равен наименыпему из двух чисел т+1 и и+1. Если и > т, то система (62.18), вообще говоря, не имеет решения. Если и <т, то решение системы (62.18) всегда сушествует, причем в случае п=т решение единственно, а при п<т решений бесконечно много. Таким образом, какие бы ни задать значения в (и+1)-м узлах (62.16), всегда существует и притом единственный многочлен степени не выше че,и и, принимшощий в этих узлах заданные значения.
Для отыскания интерполяционного многочлена Р(х) можно решить сне~ему (62.18). Однако можно найти его и другим, более коротким путем. Рассмотрим многочлен ф(() = )((() — — ы(е), а » <(» (Ь. о~~л) Функция ф((), очевидно, также л+! раз дифференцируема на отрезке (а, Ь), причем из (62.21) и того, что (о'"«п(()=(п 1-1)!, имеем ф'" и (() = ) '"+ " (() — (л + 1)! — —. Ф(к) (62.22) или, подробнее, Я(х)= ' ' ' " т"" о(Г), а<х<Ь, а<ь<Ь. (ьт ()! Отсюда следует оценка остаточного члена ! КК (Х) )<» — — — П1ах ~ (Х вЂ” ХЬ) (Х вЂ” ХЗ)...(Х вЂ” Хи 1) ! Кцр !) (Х) ~. (к-Ь 0( «<к<Ь иккКЬ Заметим, что, вооб(це говоря, даже для аналитических на отрезке (и, Ь( функций остаточный член интерполяции не стремится к нулю на отрезке |и, Ь) при л- соэ т.
е. интерполяционные полиномы пе сходятся к самой функции. Построение соответствуюп(нх примеров достаточно громоздко, поэтому мы не будем на этом останавливаться. 62.4. кВАдРАтуРные ФОРмулы Рассмотрим теперь некоторые способы приближенного интегрирования функций. Формулы для приближенных значений интегралов называются кеаг)ритурными формулами. Пуст.ь на отрезке (и, Ь1 задана функция ): Разобьем отрезок [а, Ь| на и равных частей точками х„, юг=1, 2, ..., и — 1: Ь вЂ” и а=хь<х,«...х„,<х„=Ь; хь — хь,— — —, )с=1, 2, ..., и.
и 318 Далее, функция (р(() обращается в нуль в а+2 точках х, х,, х,, ..., Х„«,, поэтому, в силу теоремы Ролля, ее производная обращается в нуль по крайней мере в л+! точке отрезка (и, Ь), вторая производная — в и точках и т. д. По индукции получим, что (л+!)-я производная функции ф обращается по крайней мере один раз в ноль внутри отрезка (а, Ь1. Пусть ф("'и (~) =О, а«" Ь, тогда из (62.22) получим Формула прямоугольников Для интерполяции функции / на отрезке [х! г, хД, /с=1, 2, ..., и, многочленом нулевой степени достаточно задать лишь один узел. Возьмем в качестве узла середину отрезка [хк,, хк1: к„, -1-.е„ 2 Интерполяционным много- членом является посгоянная а4,х,4,хг4аха4«ва Рнс.
270 Р (х) =/'(г, ), /г=1, 2, ..., и. При такой интерполяции мы заменяем данную функцию / «ступенчатой функцией», точнее набором функций, постоянных на каждом отрезке [х„,, хк1 и равных значению функции/'в центре отрезка (рис. 270). Вместо к! ~й интеграла 1 /(х) г/х возьмем интеграл ) Р, (х) г/х, т. е. «к. ! «»- ! заменим плогцадь криволинейной трапеции площадью соответствующего прямоугольника. Напишем теперь квадратурную формулу прямоугольников Г Г П Хо [/1 = 2.
~ Р,(х) г/х= 2. ~ /(Г!) г/х = — 2,' /(4!), (6223) к= ! «=! к=! «к-! итак, и ' 2 2 2 "' Т. Симпсон (1710- — !761) английский математик. 319 Квадратурные формулы, которые мы рассмотрим, будут получаться посредством замены при интегрировании функции /' на каждом отрезке [х„,, хк1 интерполяционным многочленом степени и. Мы изучим случаи и = О, 1, 2. Соответствующие приближенные значения интеграла от функции /' будем обозначать символом 1.„(/), п=О, 1, 2. В первом случае (при п=О) соответствующая квадратурная формула называется формулой прямоугольников, во втором (при и=1) — формулой' трапе!/ггй, в третьем (п=2) — параболической формулои или, чаще, форму,юй Симпсона *'. Формула трапеций На каждом отрезке ~х„,, хх1, )с=1, 2, ..., и, возьмем интерполяционный многочлен Р„(.т) первой степени, определяемый узлами интерполяции х, и .х„.
Полагая у,=Дх,), с'=О, 1, ..., и, получим (см. (62.20)) Рис. 271 Р (х)с(х=~' ' д, )с=1, 2, ..., и, и г 2 О хС вЂ” с получим квадратурную формулу трапеций 2.,1/1 = Р„(х) с1х= У" ' У', (62.24) с=! хх — 77 1+У1Ь) Формула Симпсона На каждом отрезке ~х„,, хс1, )с=1, 2, ..., и, возьмем интерполяционный многочлен Р,(х) второй степени, определяемый узлами интерполяции х„,, г„= ' '- — '- и х„. Тогда 2 320 теграл 1 Р„(х) с1х, т.
е. хс-с трапеции соответствующей (рис. 271). Замечая, что х — х, х — х„ Р (х)= ух- + у. хк, — х„х — хс /с=!, 2, ..., и. Таким образом, мы заменяем данную функцию 1 кусочно-линейной функцией. Вместо интегхк рала 1' 7'1х) с1х возьмем ин- хс-с заменим площадь криволинейной площадью обыкновенной трапеции (х — Ц,) (х — х„) .. (х — хк 1) (х — х„) (х,,-га) (х, 1-х,) (с,„-хк э) (Ц„-х,) (х-хк,) (х — Ц~) (х„-хк,) (х,— Ц,) Непосредственным вычислением убеждаемся, что (х — сх) (х — хг) 1 1 Ь вЂ” и — а1х=-(х„— ха,) =- —, (х„.,-~,) (х„,-х,) 6 б а кк (х-.т,,) (х-х,) 2 2 Ь-а а!х= — (х„— ха — !) =- —, (»,— хг-,) ((и — хк) 3 3 а хл хл (х — хк э) (х — Ьи) 1 1 Ь-и г(х = — (х„— ха — з) = — —, (х, — хк-,) (х„— ~,) 6 6 л хй — 1 поэтому Г Р,(х) ~х= -Дха т)+-у(се)+-у"(х„) и ~б 3 б Теперь нетрудно написать квадратурную формулу Сими сона: а ка И 2 И= Р.()~.=' ",-'у(,,)+'у.(6,)+'у( „), й=! к!, а=! (62.25) или ~-г [Я = Яа)+у (6)+ 2(у (х,)+ ...
+7'(х,— ) )+ + 4( у(Ч,) + " +у (с,„) 1 ) . 62.5. НОГРКШНОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ*) Мы видели, что во всех трех рассмотренных нами случаях квадратурные формулы (см. (62.23), (62.24), (62.25)) имеют вид " В этом пункте мы следуем идеям, развитым в монографии: ггикольсхий С. М. Квадратурные формулы М.„!974.
321 1.(.7) = ,'>„ИУ'), ь=! (62. 26) где 1 (>')= — „- Х рз'(«) !с и хь-! <«ь;<хь, >>=1, 2, ..., и, >=О, 1, „, т, а р, — некоторые числа. В случае формулы прямоугольников мы имели х! ! 'хь, т=О, ро=1, «„о=! 2 (62.27) в случае формулы трапеций ! >г>=1 ° ро=р! = «ьо=хь — ! «ь! =хь' 2 ь 2. (Р(х) ) =) Р(х) >1х. 222 в случае формулы Симпсона ! 2 х! , -ьхь т=-, ро=р2 = —, р! = — «>0 хь — г, «ь! =, «>2=.хь, б 3 2 >с=1, 2, ..., и. Пусть теперь заданы какие-либо числа рг, называемые весами, и пусзь на отрезке (О, 1) задана какая-либо система точек «г, >=О, 1 ..., >и, называемых узлами. Пусть, как и раньше, отрезок 1а, Ь) разделен точками х„, к =О, 1, ..., и, на и равных отрезков (х! г, х!), )>=1, 2, ..., и, и пусть точки «н получаются из узлов «, при линейном отображении отрезка (О, 1) на отрезок (хь ! хь), при котором точка ноль переходит в точку х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
