kudryavtsev3a (947417), страница 52
Текст из файла (страница 52)
п. 56.8) ФУ"'1, р)=К'"', ~Ы)=( — !)" К ~'"'Ы)= =( — !)" у —,.Чх" й ='"(~И "р)=((!х)"~ТА р) р ~ Формула (61.37) доказана. , О кажем (61.38) (см. и. 56.10): (~'"'И Чр)=( — !)"(~И рри)=( — !)"К Чр'"'1)= =(-1)'К (')"ГЫ)=-,'.(х.~, ГЫ= .~~'"Л р и Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции г'(х)=х. Заметив, что г(1)=Ь ~2я (см. пример !), получим Г(х1 = Г( х-11 = гГ' ! 1~ = ! Г2к б'. Упражнение 25. найти преобразование Фурье многочпена. е *а'"' к~О(.
)е-"1= ~'-""' 7 = — -'-* ' — ' о ! ! (6! .39) ~2н(г-Ггу) у2и(у — и) Покажем теперь, что в о' 1пп 9(х)е '"=9(х). ~-ьо (61.40) 302 При вычислении преобразования Фурье обобщенных функций иногда удобно выбра гь последовательность обычных функций стремящихся в пространстве о' к заданной (обобщенной) функции, найти преобразование Фурье членов этой последовательности, а затем вычислить искомое преобразование Фурье заданной функции с помощью предельного перехода, используя непрерывность преобразования Фурье.
Так, например, для того чтобы вычислить 'преобразование Фурье !е(93 функции Хевисайда 9(х), найдем сначала преобразование Фурье функции 9(х)е '" (2>0). Действительно, для каждой функции «ре5 и любого числа А имеем; !(9(.х), ор(х)) — (0(х)е '*, «р(х))!= ( (1 — е '")«р(х)«!х < о А Х < ) (1 — е ")«р(х)«!х + ) (1 — е '")«р(х)«ох . (61.41) ~ ор (х) ~ ««х < —; А иногда (1 — е ") «р(х) «Ь < ! «р(х) («!х<-.
(61.42) А А теперь !о>0 так, чтобы при О<~<(о было неравенство Выберем справедливо А (1 — е '") ! «р (х) ! «!х <, о и, слеловательно, Г (1 — е '"') «р(х)«1х с(1 — е м) ! «р(х) ~ г!х<-. (61.43) 2 о о Тогда прн 0<<«о нз (59.41), (59.42) и (59.43) получим ~(0(х), «р(х)) — (0(х)е '", «р(х))!<-+-=с. Формула (61.40) доказана.
В силу непрерывности преобразования Фурье, 1«т Г (О ( х) е '" ! = е'(9 (х)]; (61.44) Зафиксируем функцию «ре5 и какое-либо число а>0. В силу абсолютной интегрируемости функции «р, существует число А>0, такое, что отсюда и из (61.39) имеем Г10(х)) = — =.
11гп —, /2пз +от причем из (61.44) следует, что предел, стоящий в правой части, существует 1в пространстве 5'), он обычно обозначается г-~п (см. упражнение 9). Таким образом, Упражнение 26,. Найти преобразование Фурье функций х'01л), /с=1, 2, ДОПОЛНЕНИЕ В 62. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ б2.1. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ Для вычисления значений функций очень удобно пользоваться формулой или рядом Тейлора.
Поясним тго на примерах. !. Вычисление значения синуса. Формула Тейлора для функции гйпх имеет внд О . 2й — 1 51пх= 1 ( — 1)" ' — +гя(х), (2А 1)1 ' л где 1 +1 г„(х)=( — 1)" — ' — яп""'"Ох, 0<0«1 (2л+1)1 (мы взяли остаточный член в форме Лагранжа). Поэт.ому 1г„(х)1<— (62.1) Пусть 1ребуется найти гйП2' с точностью до 10 В радианной мере 20" соответствует —, позтому выберем номер 9' и так, чтобы (62.2) (62.3) 305 тогда значение многочлена Тейлора порядка л в точке х=- и 9 даст нам искомое приближение гйп 20".
В силу неравенс1ва (62.1), для выполнения условия 162.2) достаточно, чтобы выполнялось неравенство При и= 1 это неравенство не выполняется но уже при п=2 оно выполняется 1 1ук'~' 5! \ 9/ 120 2' 3840 1Оз Поэтому гйн2' с точностью до 1О з находится по формуле 1(у т з,з в1 ып 20" =- — — — ) 9 6'з 9) (62.4) Беря значение к из таблиц с точностью до 10 4, подставляя в формулу (62.4), произведя указанные там действия и округляя результат с точностью до 1О ', получим искомое приближение гйп 20'1 может быгь непосредственно использован лишь для вычисления логарифмов чисел, не превышающих двух. Однако из ряда (62.5) можно получить другие разложения, позволяюшие вычислить логарифмы любых чисел.
Заменяя в (62.5) х на — х и *' Знаком = обозначаешься приближенное равенство с указавной степенью точности. ""' Заметим, что в нашем случае легко устанавливается и более сильное неравенство г 1 ) < 1О з. а при указанном выборе числа знаков я ошибка при вычислении правой части формулы 162.4) во всяком случае не будет превышать з 3 .10 ', позтому суммарная ошибка и булез не больше 1О ейп 20'- 0,343**'. Прн вычислении значений синуса можно воспользоваться не формулой, а рядом Тейлора, который для действительного аргумента является знакочередующимся и поэтому допускает простую оценку остатка: он не превышает по абсолютной величине абсолютной величины первого члена остатка (см.
п. 34.9). Это дает, естественно, тот же результат, что и выше, так как приводит к оценке (62.3), которую мы получили из других соображений. 2. Вычисление значений натуральных логарифмов. Ряд Тейлора для логарифма 1и(1+х)= ,'1 ( — !)"ч' —, — 1<к(1, (62.5) в=! п вычитая получившийся ряд из (62.5), получим х )п — + — '=2х 2 — '- —, )х!(1. 1 — х зяь) ю О" (62.6) )ьх 1 — х 1 1 находим х=-. Полагая в (62.6) х= -, находим 3 3' 1п2=2 2 — — ,——, 3 „О 12О+ 1) 3'" (62.3) Оценка же (62.7) в этом случае дает н и 1 ! 2 1 1 3/ (2О41)3-'"" 1 4(2лч))3'" !в 9 Отсюда при п=З имеем )'! ') ! 3) 4.7 3' 28.243 1О' Поэтому для вычисления 1и 2 с точностью до 10 3 достаточно взять первые три члена ряда (62.8): !п2 — 1+ —;+ —, -0,693.
При более грубых вычислениях значений функции с помощью формулы Тейлора )'"' (т ) / (х ) = ) (хО ) + 7" (хО ) (х — хО ) +... +; " - (х — хО )" + г„(х ) часто бывает достаточно ограничиться лишь ее линейной 307 1Ьх Когда х изменяется от — 1 до 1, то - принимает все 1.— х положительные значения. Поэтому формула (62.6) может быть использована для вычисления логарифмов любых чисел.
Естественно, возникает вопрос о том, сколько надо взять членов в ряде (62.6), чтобы получить логарифм числа с заданной точностью. Для этого надо оценить остаток ряда (62.6). Имеем Применим эту оценку для вычисления 1п 2 с точное! ью 10 .". Решая уравнение частью, т. е. первыми двумя членами Лх)=Лх )+7" (х )(х — х.), иначе говоря, заменить приращение функции ее дифференциа- лом ЬУ=~'(х) — 7'(хо) !'(хо)(х — х„)=/'(хо)Лх, где Лх=х-хо. Формула Тейлора позволяет приближенно вычислять и значения определенных интегралов.
Рассмотрим один пример такого рода. ! ппх 3. Вычисление с точностью до 0,0001 интеграла ) ггх. о Напишем для подынтегральной функции формулу Тейлора. Для этого воспользуемся известной нам формулой Тейлора для функции япх (см. (62.1)), тогда получим я!Пх ~ ( )к ! Хе'-' Г„(х) х, (21г — 1)! х поэтому 1 1 х япх ! т ( !) ~ эя э ! г (х)! х „! (2х — 1)!) ) х о 0 о В силу оценки (62.1), ! 1 Поскольку при п=З 1 ! 1 ! <-10 ~, (2л3-1)1(2л3-1) 7!7 35 280 3 то с точностью до 0,0001 имеем ! г ! 1 — Ых- 7 — — х' г(х+ — х~ г!х = 1 — — + — =0,9961 *1.
и х ( 6( 120) 18 600 о о *' При переволе простых дробей в десятичные была сделана ошибка, нс превышающая —. 1О, поэтому суммарная ошибка при выполненном прибли! ч 2 ягенном вычислении рассматриваемого интеграла действительно не прсвьппаег 10 308 Отметим, что на практике для приближенного вычисления интегралов применять формулу Тейлора обычно оказывается нецелесообразным, поскольку в нее входят производные заданной функции и их вычисление приводит к дополнительному накоплению ошибок, Целесообразнее применять приближенные формулы интегрирования, в которые входят только значения самой функции. Подобные методы приближенного интегрирования будут рассмотрены в п. 60.4.
Замечание. Для проведения факт.ических вычислений значений функций или интегралов от них с помощью разложений функций в ряды годятся далеко не всякие разложения рассматриваемых функций в ряды, Может случиться, что полученный ряд будет сходиться столь «медленно», что практически он либо совсем будет не пригоден для вычислений, либо потребует неоправданно большого их объема (образно говоря, в этом случае ряд «практически расходится», хотя и «теоретически сходится»).
В такой ситуации надо попытаться получить какой-то другой рял, который будет сходиться достаточно быстро («улучшить сходимость ряда», как обычно говорят) и сумма которого позволит найти значения рассматриваемой функции. Именно так и было сделано выше при рассмотрении метода вычисления логарифмов. Было бы, например, нецелесо- 3 образно вычислять даже значение )п- с помощью ряда (62.5), 2 1 хотя ряд и сходится при х=-, а следует для этого воспользо! ваться рядом (62.6) при х=-, так как этот ряд сходится быстрее.
5' 52.2. РЕШЕНИЕ УРАИНЕНИЙ Рассмотрим задачу решения уравнения 1'(х)=0. (62.9) Если функция 2'непрерывна на отрезке [а, Ь ) и принимает на концах отрезка значения разного знака, то метод, которым в п. 6,2 была доказана теорема о существовании в этом случае точки х, в которой функция обращает.ся в нуль, дает и приближенный метод вычисления этого значения т. е. корня уравнения (62.9). Для этого достаточно последовательно делить отрезок [а, Ь ) пополам, выбирая каждый раз тот отрезок, на концах которого функция Г принимает значения разного знака (если, конечно, не случится, что в одном из получившихся концов функция (' обратится в нуль — в этом случае искомый корень будет уже найден).
Если требуется найти корень уравнения (62.9) с точностью до заданного с > О, го после п шагов таких, что и-а <Е, т" концы получившегося отрезка и будут давать искомое приближение некоторого корня уравнения (62.9) (левый — с недостачком, правый — с избытком). Такой способ приближенного решения уравнения (62.9), носящий название «мечода вилки», принципиально очень прос~, хотя и достаточно трудоемок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
