kudryavtsev3a (947417), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

329 Прежде всего, в силу рефлексивности отношения эквивалентности, для каждого х ~.4 имеем х-х и, следовательно, х в А„т. е. каждый элемент множества А принадлежит некоторому А„поэтому (63.2) С другой стороны, каждый элемент множества А„, в силу самой конструкции, является элементом множества А. Следовательно. А.~ А и потому О А,сА. .с А (63. 3) Из включений (63.2) и (63.3) вытекаез равенство (63.1).

Докажем теперь, чз о любые два элемента каждого из множеств А„эквивалентны между собой. В самом деле, пусть у вА, а ~в А„; это означает, что у-х и г-х. В силу симметричности отношения эквивалентности, отсюда следует, что х-з, откуда, согласно транзитивности, — у Покажем, наконец, что слагаемые в правой части равенства (63.1) попарно не пересекаются. Именно, покажем, что для любых двух элементов х' и х" множества А„и А,- либо совпадают, либо не пересекаются. В самом деле, пусть у множества А, и А,, найдется хотя бы один общий элемент: у и А,.

1' '1А,- и пусть г ~ А„. Поскольку было доказано, что для каждого множества А, любые два его элемента эквивалентны, то:-у, у-х" и, следовательно, к-х", т. е. г а А„". Элемент г являлся произвольным элементом из множества А,, поэтому А„с А„"; (63.4) аналогично А,,сА„,, Из (63.4) и (63.5) следует, что А„= А,".

(63.5) Таким образом, если у множеств А, и А,.- имеется хотя бы один общий элемент, то они совпадают; если же такового элемента нет, то эти множества, очевидно, не пересекаются. Итак, представление (63.2) действительно обладает всеми сформулированными в теореме свойствами. Е В 64. ПРЕДЕЛ ПО ФИЛЬТРУ При изучении курса анализа пам встретились лва понятия предела: прецел функции, частным случаем которого является предел последовательности, и предел интегральных сумм. Оказывается, что существует более общее понятие предела, называемое пределом по фильтру, которое содержит в себе оба указанные понятия предела как частные случаи. Существование ~акого понятия доставляет, безусловно, эстетическое удовлетворение, поэтому в настоящем параграфе будет дано его определение.

Однако для изучения математического анализа ввеление этого понятия не дает, по существу, никаких преимуществ, чем и объясняется, что оно помещено в конце курса. 64.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Определение Ъ. Пусть Х вЂ” некоторое множество и в нем задана система Й= !Сс подмножеств, удовлетворяющих следующим условиям: 1'. Пересечение конечной совокупности множеств системы Й принадлежит этой систе.ме. 2". Объединение любой совокупности множеств с'истемы Й принадлежит этой сиспселсе.

3". ХяЙ, овЙ. Тогда множество Х называется спопологическим пространством, сиопема Й- — его топологией, а множества сисспемы Й вЂ” его открытыми подмножествами. Для любой точки х ~ Х каждое содержащее ее множество С ~ Й назьсвается ее окрестностью. Если у любых двух точек топологического пространства существукнп непересекающиеся окрестности, пго простраскгомо называется хаусдорфовьслс*!. Примером хаусдорфова топологического пространства является всякое метрическое пространство, так как его открытые множества образуют систему, удовлетворяюсцую условиям ! ', 2', 3' определения 1 (см. п. 57.1).

Существуюз. и так называемые неметрнзуемые топологические пространства (см. об этом в кнл Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977). Для любой точки х и Х всякая ее окрестность заведомо не является пустым множеством, так как она содержит по крайней мере один элемент — саму точку х. Определение 2. Всякая подсистема аэ систелсы Й открытых .множеств топологического пространства называетсл базой топологии энного пространства, если любое непустое открьопое *' Ф. Хаусдорф ()868 !942) — неиецкай матемазие. ЗЗ! множество пространства (т.

е. непустое множество из системы за) является обьединением некоторой совокупности множесгпв из кэ. Так, в метрическом пространстве базой топологии является множество кз всех е-окрестностей всех точек этого пространства. Действительно, каково бы ни было непустое открытое множество 6 данного метрического пространства, для каждой его точки х ~ 6 существует такое а>0, что ее а-окрестность содержится в 6: сг(х, е) ~ С. Выберем и зафиксируем для каждой точки х ~ б одну из таких окрестностей; тогда множество 6 очевидно будет являться их объединением; Упражнение 1. Доказать, что в любом метрическом пространстве множество всех с-окрестностей с рациональным а всех точек этого пространства образует его базу топологии.

Топологию можно задавать с помощью базы топологии. Именно: если к1=(Азг — база топологии О пространства Х, то, согласно определению 2, за является системой всех подмножеств пространства Х, каждое из которых либо является объединением некоторой совокупности множеств из З, либо пусто. Определение 3. Система Ю(х) окрестностей точки х топо- логического пространгтпва Х назывиется локальной базой топологии в згпой точке, если, какова бы ни была окрестность точки х в пространстве Х, существует такая окрестность (У~ Ю(х), чпзо и И Очевидно, что совокупность всех окрестностей данной точки образуез ее локальную базу топологии. Для любой точки метрического пространства ее локальную базу топологии 1 образуют также, например, все ее е-окрестностг1 радиусов е=-, п=1,2, .... Объединение локальных баз топологии во всех точках образует базу топологии всего пространства, ибо каждое непустое открытое множество можно представить как объединение входящих в него окрестностей его точек, где указанные окрестности берутся из рассматриваемых локальных баз топологии.

Тем самым топологию во множестве можно задавать, определяя локальные базы топологии в каждой из его точек. С помощью понятия окрестности для топологических пространств дословно, так же как для метрических (см. и 57.1 и п. 18.2), вводятся понятия точек прикосновения, предельных и изолированных, а также понятие замкнутого множества. 332 б4.2. ФИЛЬТРЫ В дальнейшем через Ч)(Х) будем обозначать множество всех подмножесгв множества Х Определение 4. Пусть Х вЂ” непугтое множество. Множество Дс1)!(Х) называетгп фильтром (или, подробнее, фильтром на множестве Х), если: 1". Длн любых А'а~я и А" н !т существует такое Ан 5, что АсА'()А", 2" ОФЬ, БФИ Из 'свойств 1' и 2' вытекает, что пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих фильтру, непусто. Примеры.

1. Пусть Х4Я, Х~Ао~ Я. Тогда множество !3=(А: АосАе'33(Х~) является фильтром на Х. Действительно, очевидно, что Аонг, а если А'н!У и А" а(У, то А'()А" ~Аорто, т. е. оба условия 1' и 2' определения 4 выполнены. 2. Пусть хнХ. Тогда множество (у=(А: хнА аЧз(Х)) есть фильтр на Х. Этот фильтр является частным случаем фильтра, рассмотренного в предыдущем примере, когда множество А состоит из одной точки х. 3. Пусть Х=Л'- множество натуральных чисел и А„=(~и: ~пни, т>п), п=О, 1, 2, ....

(64.1) Тогда множесгво всех А„образует фильтр, обозначаемый Ен=(А„) и называемый натуральным фильтром. Проверим, что Ен — фильтр. Действительно, Жнгн, и следовательно Рн„-ьЯ, все А„~Я, а если т<п, то А„()А =А„пан. 4. Пусть снова Х=1й'. Система подмножеств (ун множества )ч', каждое из которых является дополнением к конечному подмножеству множества Ж, также образует фильтр на %, называемый фильтром Фреше и содержащий в себе натуральный фильтр Ен. Покажем, что ~у действительно фильтр. Пусть А и 5н, Вн'!ун, (Х',А) ~(г( — Вн)4Я и п~Ж вЂ” - наибольшее из чисел, входящих в множество ()Ь"~А)()(Д!~В). Такое число существует, так как указанное множество в силу определения 5 состоит лишь из конечного множества чисел. Тогда множество А„нрн (см. (б4.1)) содержится в А('1В.

Далее, поскольку множество натуральных чисел )и'счетно, а Лл~А, где А а Дн, по определению множества 3 конечно, то А~о. Наконец, Жн5. и, следовательно, 5нФО. Таким образом, ~дн — фильтр. 5. Пусть Х вЂ” топологическое пространство и хнХ. Локальная база топологии З(х) образует фильтр. Действительно, прежде всего, очевидно, что для каждой окрестности ~Увы(х) имеем хн!/ и поэтому 0~8. Далее, для любых (/нЗ(х) и Гн З (х) пересечение ~/() !' является открытым множеством, 333 содержащим точку х, гюэтому по определению локальной базы топологии существует такая окрестность И'и йэ (х), что И ~1«()и. 6.

Пусть Х вЂ” топологическое пространство, .х — предельная точка пространства Х, йэ(х) — локальная база топологии в этой точке и «41(х) — множество всех «проколотых окрестностей» этой локальной базы топологии, т.е. «лэ(х) состоит из множеств 1«(х) = бг(х)~(х), 1.«(х)н кэ(х). Тогда 9(х) образует фильтр. В самом деле, если б нлэ (х), то, поскольку точка х является предельной для пространства Х, существует точка ун «г' н, следовательно, 0ФО. Далее, для лгобых «г'еч1,(т) н 1«еЖ(х) имеем, согласно их определению, Г= «/~(хг, 1'= И'~(х«, б'е«о(х), 1'еЗ(х). Пересечение бг()Р' является окрестностью точки х, поэтому сущесувует такая окрестность И'есэ(т), что И'~бг(э«1' н поэтому И'= И",ггх)с ~ О() Р'.

Итак, сг (х) денс«вительно фнлыр. 7. Множество Х называется унорядоченным множеством или направлеиием, если для любых двух его элементов х и у определено транзитнвное отношение порядка. Иначе говоря, из любых двух его элементов х и у один из них «следует» за другим. Если элемент у следует за элементом л, то пишут х-33ч При этом если х — Зу и у-3т, то х — 3, х, у, знХ.

Всякая непустая система (=(А.) непусгых подмножеств А„„ гхн'т1, некоторого множества Х такая, что для любых двух А„н(, Аен(, А,ФА„,, имеет место либо включение А„~А„,, либо А„,~А„является фильтром. Эгог фильтр представляет собой упорядоченное множество, если в нем за отношение порядка А„-ЗАе взять включение А„~А„,. Определение 5. Фильтр «у, = (А«на множесгнве Х называется фильтром, который сильнее филынра «уз = (В) на том же лгножестве, если для любого множества Ве «уэ существует такое Ан «уг, что А~В, Определение 6.

Если фи:гьтр «уг сильнее фильтра «т«,, а «уэ сильнее Яг, то фильтры $г и 13 называются эквивалентными. Пример в. Пусть к1(х) -- локальная база топологии точки х метрического пространства, состоящая из всех ее е-окрестностей, а яэ (х) — ее локальная база топологии, содержащая 1 только окрестности радиуса е=-, н=1, 2, .... Фильтры З(х) и Л 'йэо(л) эквивалентны.

У «ранг нанна 2. Доказать, вто фильтры в нриысрах 3 и 4 эквивалснтны. Определение 7. Филь«ир 5г называется нодфилынро.м фильтра «тт, если каждый элемент фильтра «тг является и элементом фильтРа Дз, т. е. если «тг ~'«тз. 334 Очевидно, что фильтр сильнее всякого своего подфнльтра. Определение Я. Каждый подфилыпр фильтра, эквивалентный самому филы~ру, называется его базой. Например, в примере 8 фильтр яз 1х) является базой фильтра к) 1х), а натуральный фильтр сн - — базой фильтра Фреше Ян, построенного в примере 4. Иногда бывает удобно рассматривать фильтры, удовлетворяющие еще одному дополнительному условию.

Характеристики

Список файлов книги