kudryavtsev3a (947417), страница 55
Текст из файла (страница 55)
„т. е. при отображении х=(х,— х,,) >+х„,, 0<><1. Формула (62.26) в этом случае называется квадратурной формулой, соответствующей узлам «, и весам р», '=О, 1, ..., т. Всякая квалратурная формула (62.26) обладает свойством линейности: для любых двух функций 7' и е, определенных на отрезке 1а, Ь).
и для любых двух чисел ). и р, очевидно, справедливо равенство л(17+ рд) =), А К)+ нл(к). л Определение. Формула Е,(>')= 2' 1„(7) называется точной д,гя ь=! ,иногочленов степени с, если для любого многочлени Р(х) степени »е выше чем г, для любого отрезка (а, 61 и для любого числа и (т. е. для любого разбиения отрезка 1а, Ъ) на ривные отрезки) справедливо равенство У при экнон не. Доказать что, для того чтобы квадратурная фоомула ь 171, соответствующая узлам ь, и весам р„э=О, Ц ..., ш, была точнои для многочлеиа степени г, необходимо и достаточно, чтобы для любого многочлена Р(х) степени не выше г было справедливо равенство 1 и [Р(х)гэх= 2 РмР(~,.).
э=о Поскольку интерполяционный многочлен порядка г совпадает для многочлена степени г с самим многочленом, то квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона точны соответст- венно для многочленов нулевой, первой и второй степени. Однако, более того, квадратурная формула прямоугольников точна для многочленов первой степени, а формула Симпсона -- для многочленов третьей сзепени. Докажем зто. Действительно, в случае формулы прямоугольников (см.
(62.23) и (62.27)) хе-г 2 Рис. 272 Простой подсчет дает, что для любой линейной функции справедливо равенство 1 (Ах+В)= ) (Ах+В)Ах. (62.28) к1с — 1 Это наглядно видно и на рис. 272. Суммируя равенства (62.28) по А. от 1 до и, получим 323 2о(А т+ В) =) (Ах+ В) Ых, а что и означает точность квадратурной формулы прямоугольников для многочленов первой степени. В случае формулы Симпсона (см. (62.25) и (62.27)) ь(э)= — — [-я ' - )4 — г( ) -у~ )~ д229) Достаточно показать, что для любого многочлена третьей степени Р(х) в :этом случае Уя (Р(х)) = ) Р(х) Ах, Iг = 1, 2, ..., п. (62.30) В самом деле, если эти равенства будут доказаны, то, суммируя их по )с от 1 до и, получим ь Ь,(Р(х)) =(Р(х) Ых, а т.
е. что формула Симпсона точна для многочленов третьей степени. Пусть Р(х)=Ахз+Вхг+Сх+Е>. Положим Д(х)=Вхг+Сх+ +О, тогда Р(х)=Ах!+Я(х). Поэтому 1 (Р( )) А) ( з)+1 (д( «! «! «! Р(х)ггх=А ( хзс!х+ ) Д(х)сгх, lс=1, 2, ..., и. (6231) «! «! — ! «! В силу того, что формула Симпсона точна для многочленов второй степени, имеем «! 1,(Д(х))««) Д(х)с(х, /с=1, 2, ..., и. «ь- ! С другой стороны, непосредственным вычислением убеждаемся, что 3 (х ° ! — х! — ! «! — ! б 3 2 б 4 Это и доказывает равенство (62.30), Порядок погрешности квадратурных формул оказывается связан со степенью многочленов, относительно которых точна рассматриваемая квадратурная формула.
Теорема. Пусть функция т" г раз пепрсрывно дифференцируема на огпрезке (а, Ь) и пуспгь число М)0 таково, что '1тиг(х)~<М, а<х<6. Если квадратурная формула (62.26) точна для многочленов стспени г — ! (г=1, 2, ...), то существует ггоспгоянна.ч с„)0, не зависящая от функции ), такая, чгпо И) -Ю) -" '„,' (62.32) а Доказательство.
Представим функцию г' на каждом отрезке (х! г, х! ), согласно формуле Тейлора, в виде т'(х)=Рь(х)+гь(х), lс=1, 2, ..., и, 324 где «вЂ ! Рк (х) = 2 ' ' о ",' ' (х — х! „)' у=о — многочлен Тейлора степени г- 1, и, следовательно, г,(х) — остаточный член формулы Тейлора, который мы запишем в форме Лагранжа: гк(.х)«х ~ " ' ' ' ' '))(х — х„,)", (62.33) 0<0„<1, 1с=[, 2, ..., и; ~огда Ях)йх-ЕЯ= 2.
) 2(х)с)х- ,'>„2,(у)х« О х= ! «х. х =-! Р„(х) йх — ЦРь (х)) х Г ха + 2 ~ ) гх(.т)езх — )к(г,(х)) х=! «ь-! (62.34) В силу того, что данная квадратурная формула точна для многочленов степени г- 1, справедливо равенство Р„(х)с)х-)„(Р„(х))=0, )с=), 2, ..., н*'. «к Поэтому иэ (62.34) следует, что ь х хь х )у(х)с[х — Е,(у) < ,'! ) [г„(х)[Ых+ „'! [1,(г„(х))).
(62.35) Ь=гх! Далее, иэ (62.33) имеем ~,! )~к — ",(' '), «=!, г, ..., .. 325 м дейс!ви сельпо, зто следует формулы относительно многочленов если в этом определении в качестве положить л=к из определения точности квадратурной данной степени, приведенного на с, 322, отрезка [и, Ь) взять отрезок [х„ „ «„) и то так называемое разностное отношение Л-'+л) — Л- ) Ь (62.36) Ях+Ь)=Ях)+7'(х)й+ — 7" (х+ОЬ), 0<0<1; отсюда — — — =1'(х)+-7""(х+Ой), 0<0<1, т, е. 23"в) У" =у'(х)+О®, й О. И в Очевидно, что если в точке х существует производная, то 21 х ь ь) — 7'1х — Я) 1пп -- - ' =-г'(х). ь о 2В Оказывается, что приближенное вычисление производной в точке по приближенной формуле 71 -ьь) — а — ь1 2Ь (62.37) обеспечивает более высокий порядок малости погрешности относительно Ь. Покажем зто.
Пусть функция 7 имеет в окрестности точки х третью ограниченную производную. Тогда по формуле Тейлора у(х+ Ь) =Дх) +~' (х) Ь + -~'" (л) й~+ -7'" (х+ О,й) йз, 0 < О, < 1, 327 дает приближенное значение производной. При этом эта формула позволяет вычислить производную с любой степенью точности за счет выбора соответствующего л — зто следует из определения предела. Оценим порядок приближения производной, вычисляемой по формуле (62.36), относительно л.
Предположим, что функция 7' имеет в окрестности точки х ограниченную вторую производную. Тогда по формуле Тейлора Е(х — Ь) =Е(х) — Е' (х) Ь+- Е"' (х) Ьх — -Е'" (х+ 02Ь) Ьз, О ( О < 1. Вычитая второе равенство из первого и деля на 2Ь, получим: ' — =Е'(х)+- [7™ (х+ О,й)+У'" (х+ Озй) ~ ь' = =Е'(х)+0(Ь'), Ь-~О. Таким образом, разностное отношение (6237) аппроксимируег производную на порядок лучше, чем (62.36). Для приближенного вычисления второй производной в точке х можно поступить следующим образом: приближенно вычислить первую производную в точках х и х+Ь, например, по формулам (62.36): 2'(х Ч Ь) — Е (х) Ь 2(х-(2Ь) — Их+Ь) Ь тогда Е'(х-~-Ь) — Е'(х) Е(х)-2Ь) — 2Е(х-~-Ь)- Е(х) г — =е'" (х)+ 0 (Л), Ь-+О.
(62.38) )2 Аналогично случаю первой производной можно показать (в предположении ограниченности четвертой производной в окрестности точки х), что =Е'"(х)+0(ЬУ) Ь О (62 39) Ь' т. е. у приближенной формулы (62.39) для вычисления второй производной погрешность на порядок лучше, чем у формулы (62.38). Подобным же образом вычисляются производные более высоких порядков и частные производные функций многих переменных.
328 Разностное отношение, стоящее в правой части полученной формулы, и принимается за приближенное значение второй производной в точке х В том случае, когда у функции Е в окрестности точки х существует третья ограниченная производная, раскладывая числитель по формуле Тейлора, получим я 63. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Много раз в нашем курсе мы сталкивались с понятием эквивалентности: эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции (п. 8.3), эквивалентные отображения отрезка (и.
(б.2) и области (п. 50.2), эквивалентные фундаментальные последовательности метрических пространств (и. 57.5)„эквивалентные функции при построении пространства Й.г (и. 59А) и т. д. Во всех этих случаях о~ношение эквивалентности обладало следующими тремя свойствами: (если элементы рассматриваемого множества обозначить буквами х, у, г, ..., а эквивалентные элементы х и у обозначить символом х-у, то: 1. Каждый элемент рассматриваемого множества эквивалентен самому себе: х-х (рефлексивность). 2. Если х-у, то у-х (симметрнчность).
3. Если х-у и у-г, то х-г (транзитивность). Всегда предполагалось само собой разумеющимся, что множество тех или иных элементов, в котором введено понятие эквивалентности, обладающее свойством рефлекснвности, симметричности и транзитивности, распадается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов, В действительности так и есз ь. Сформулируем и докажем это утверждение в общем случае. Пусть задано множество А=(х, у, г, ...) и некоторое подмножество множества его упорядоченных пар, обладающее следующими свойствами: если пара (х, у) принадлежит этому подмножеству, то элементы .х и у называются эквивалентными и пишется х-у, прн этом выполняются условия рефлексивности, симметричности и трапзитивности. В этом случае говорится, что в множесгве А задано отношение эквивалентности.
Теорема. Если в некотором лэножеыпве задано отношение эквивалентности, то это множество является суммой своих попарно не пересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Доказательство. Пусть А=(х, у, г, ...) — множество, в котором задано отношение эквивалентности. Для каждого элемента х и А через А„обозначим множество всех элементов множества А, эквивалентных элементу х Покажем, что А= (( А„ к л и что это представление множества А в виде суммы подмножеств А является искомым, т. е. что слагаемые А„попарно не пересекаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
