kudryavtsev3a (947417), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(1 Последовательно применив лемму 5, получим, что из сходимости последовательности обобщенных функций следует сходимость последовательностей производных всех тюрядков обобщенных функций рассматриваемой последовательности. 288 Можно рассматривать и ряды обобщенных функций л' ,~ ил, (61.21) л=з где и„н1)', и=1, 2, .... Сумма л 'зл х' ик к=з называется частичной суммой и-го порядка (п=1, 2, ...) ряда (61.21). Ряд (61.21) называется сходящимся, если в 0' существует предел 1пп ха=а Обобщенную функцию в называют суммой ряда (61.21); при этом пишут в=2 и„.
Л с и ма 6. Сходящийся ряд обобщенных функций можно лочлет дифференцировать любое число раз: ха)лл ,'> и„", /с=1, 2, л=-! Это слс ~чет нз леммы 5 Упражнения. 19. Доказать, что в пространстве обобсненнык функций 2)' справедливо равенство (.' )=.: йп лхз,' " ! )' — ) = 2 сових= — --~-к 2 б(х — 2/ск). 7 Указание. Воспользоваться формулой (см. пример 3 в п. 55Л) а 20.
Доказась, что в пространстве 2)' справедлива формула ж — =()п ~х~)' (см. 1 упражнение 5). б1ха ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 5 И ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ б' Обозначим через б множество всех бесконечно дифференцируемых на всей числовой оси комплекснозначных функций, которые вместе со всеми своими производными стремятся к ! нулю при х оэ быстрее любой с~сцепи . Иначе говоря, множество 5 состоит из тех и только тех бесконечно дифференцируемых функций <р, для которых при любых целых неотрицательных п н т выполняется условие 1пп х" ср' '(.х)=0. х.
Условие принадлежности функции <р к множеству 5 можно сформулировать и несколько иначе: бесконечно дифференцируемая функция у принадлежит 5 тогда и только тогда, ко~да для любых целых неотрицательных и и т имеем ьнр 1х" <р' '(х)~=с„<со. Действительно если это так, то, заменяя в (61.23) н на н+1, получим 1.х"' <р'"'(х)(<с„„, поэтому ) х" цг ~ (х) ( < — "-' — '"', ~х) откуда и следует (61.22). Наоборот, если выполнено условие (61.22), то функция х" <р' '(х), имея конечный предел в бесконечной удаленной точке оэ, будет ограничена на некоторой ее окрестности Г(ж) = = (х: ~.х1> и > О).
Будучи же непрерывной, функция х" <р' (х) ограничена и на отрезке [ — о, а) =Я~ Г(со). Таким образом, функция х" Чз'"'(х) ограничена на всей числовой прямой Я и, следовательно, для нее существует постоянная с„, удовлетворяющая условию (61.23). Очевидно, что множество 5 является линейным пространством. При этом если цзн 5, то и любая производная функции вз принадлежит пространству 5. Определение 21. Последовительность функций „(х) н 5, lс = 1, 2, ..., называется сходящейся в 5 к функции у(.х)н5, если для всех целых неотрицательных и и т каждая последовательность х" <рь '(х), й=!, 2, ..., равномерно ни всей оси сходизнся к функции х" ср' '(.к).
Очевидно, что 1пп д„= д в 5 тогда и только тогда, когда при любых целых неотрицательных н и т 1пп ьцр ~ х" [<р1 '(х) — <р' '(хЦ ~=0. (6!.24) ь —,: — «к< -~-<, Отметим, что если д,— яз в 5, то для производных любого порядка ~р,',"' <р' ' в 5, т=1, 2, .... Линейное пространсзво 5 с введенной операцией предельного перехода является линейным пространством со сходимостью. Очевидно, что Л~ 5, в часпюсти, последовательность функций срк е Л, й = 1, 2, ..., сходящаяся в Л к функции гр, сходится к функции гр и в 5. Вместе с тем Л~5, ибо е "е5, но е ' фЛ.
У п р а ж н ен и е 21. Доказать, что обобщенная функция, порожденная локально интегрируемой функцией е', не продолжаема в элемент пространства 5'. Всякая локально интегрируемая функция г'(х), лля которой в некоторой окрестности со справедлива оценка / у (х) ) < А / х 1к (61. 25) (А и к - неот.рицательные постоянные)*', в час~ности любой многочлен порождает функционал пространства Л, продолжаемый в линейный непрерывный функционал на 5.
Он определяется формулой (г, йз) = 1 г (х) ср (х) сгх, гп е 5. (61.26) Действительно, из условий (61.22) и (61.25) следует, что 1 у(х)гр(х)- 0 при х- х быстрее любой степени — и, слеловах тельно, интеграл (61,26) существует. Заметим еще, чго всякая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция /(х) также порождает по " Такие функции называются функциями медленного роста, откуда и термин ~чзбобпзенные функции медленного роста». Задача 45.
Доказать, что пространство зэ плотно в 5. з. е. что любая функпия Чзе 5 является пределом в Ь' некоторой последовательности функций В,еуз. я=1. 2, Определение 22. Липее)нгнй непрерывньзй функционал, определенный на пространстве 5, называется обобщенной функцией медленного роси1а. Множество всех игаких функционалов назывисипшч пространство.и обг>бщензгььт функций медлетизго роста и ооозначастся 5'.
Каждый функционал /н 5', рассматриваемый только на множестве Л, является обобщенной функцией, следовательно, элемент множества 5' можно интерпретировать как продолжение некоторого линейного непрерывного функционала с множества Л на 5 (см. п. 61.2). Например„функционал б, определенный нами в и. 61.3 на пространстве Л формулой (б, ср)=гр(0), греЛ, может быть продолжен с помощью зой же формулы на пространство 5.
Можно показать, что не всякая обобщенная функция из Л' прололжаема на 5, в этом смысле можно сказать, что 5' составляет строгую часть Л'. формуле (61.26) линейный непрерывный функционал над 5. Действительно, так как всякая функция гр б5 ограничена, то в этом случае существование интеграла (61.26) следует из неравенства 1((х)гр(х)1г(х< зпр ~ гр(х) ~ )' 1((х)(г/х. продолжаема в элемент пространства о'. Множество 5' образует линейное пространство со сходимостью, сопряженное с 5 (см. и. 61.2).
Так как для любой функции грб5 будем иметь гр'н5, то для обобщенных функций пространства 5', как и для обобщенных функций из Р', можно определить производную 1' по формуле Таким образом, для любой обобщенной функции у'и 5' производная г" всегда существует и у' б 5'. При этом на элементе греР производные обобщенной функции у, рассматриваемые соответственно как производные в пространствах Р' и 5', совпадают.
Как и в случае пространства Р ', в пространстве 5' производная от предела всегда существует и равна пределу производных. 61.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Я Каждая функция Фб5 абсолютно интегрируема. Более того, если грб5, то при любом /г=1, 2, ... функция х" гр(х) также абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Действительно, так как для функции Ф б 5 выполняется условие (61.23), то (хрогр(х)(<ск о, х (х гР(х)1=(х гР(х)(<~пятя о и поэтому к „(х)(<ска+сг ~д,о 1+хз (61.27) 292 У п раж пени я.
22. Доказать, что функционал (61.26) линсен и непрерывен иа просгранстве В (как в случае, когда функция У медленного роста на бесконечности, так и в случае, когда она абсолютно интегрируема на всей числовой оси). ! 23. Доказать, что обобщенная функция п2З' (см. упражнение 9) хчй Здесь справа стоит абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция; следовательно, по признаку сравнения для несобственных интегралов, функция хил <р(х) также абсолютно интегрируема при всех 1=0, 1, 2, ....
Отсюда следует, что для функций <рн5 сущее<вует классическое преобразование Фурье <р=Г(<р)= <р(х)е <"'Их, <ре5, (61.28) '2л а также обратное преобразование Фурье с '(<р)= . <р(у)е'"'<гу, <ре5. Г2~с Классичность преобразования Фурье здесь понимается в том смысле, что написанные интегралы являются обычными абсолютно сходящимися интегралами, а не интегралами в смысле главного значения (см. п. 56.3). При этом на 5 справедливы формулы обращения для прямого н обратного преобразования Фурье (см, п. 56.5); с(Г <(<р11=<р, с" '[ГЩ=<р, <рн5. (61.29) Отметим, что, например, вторая из этих формул в интегральной форме принимает вид с" '1ф1== ф(у)е<злф=<р(х).
(2л Теорема 1. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье отображают взаимно од«означно, линейно и непре1зь<в«о пространство Ь' на себя. Доказательство. Покажем, что если <рн5, то и фн5. Прежде всего, из того, что для каждой функции <рн5 при любом <<=О, 1, 2, ... функция х"<р(х) является, как показано выше, абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, следует согласно теореме 4 из п, 56.10, что преобразование Фурье <р=р~<р) функции <р существует и представляет собой бесконечно дифференцируемую функцию. Оценим теперь функцию (у" ф'"'(у) ~, где и и т — целые неотрицательные числа.
Применяя формулы для производной преобразования Фурье (см. п. 56.10) и для преобразования 293 Фурье производной (см. и. 56.8), получим Ь" гров)(у)(=!у"Р' '[гр])=!у"Г[х гр])= = ~ г [(х гр)ы'] ~ = — (х гр (х))'"'е ""г ~(х < 12и < ~(х" гр(х))ро)г(х. ~2к О Заметим, что выражение [х гр(х)]("' в силу правил дифференцирования представляет собой лннеиную комбинацию выражений вида хлгр(ч'(х), где р и гг — неотрицательные целые и, как эт.о было отмечено выше, гр" е5.
Поэтому (см. (61.27)) функции (1+ха)хлгр(ч'(х) ограничены на всей числовой оси, следовательно, ограничена н функция (1+ха)[х гр(х)]'"', т. е. зцр (1+ха)([х"гр(х)]он(< + со. — «о <«< «и Разделим и умножим теперь получившееся выше подынтегральное выражение на 1+ха, тогда, принимая во внимание, что г(х = е, пол)" чнм л ) у "гр' '(у) ( < — — апр(1+ ха) ) (х"гр (х))'"'1 = ~- апр(1+ха) ((х"гр(х))'"'). (6! .30) Поскольку справа стоит конечная величина, то гре5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
