kudryavtsev3a (947417), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Далее, легко проверить, что преобразование Фурье Е линейно на Л (-со, + со), т, е. Р[)"1'Р1+)2Р2)=2~~[Р1)+)гР [~рг) для любых <р, и <рз из 2.2( — со, +со) и любых чисел Х, и Хз. Это верно для ступенчатых функций. Они образуют плотное в Т., ( — со, + со) множество. Отсюда предельным переходом указанное равенство получается для любых элементов пространства 2.2( — со, +со). Наконец, преобразование Фурье отображает пространство Ц ( — со, + оэ) на себя, т.
е. каков бы ни был элемент ф~2,2( — со, +со), существует такой элемент <р~нЦ( — оо, +со), что Г[<р) =ф. Для того чтобы это показать, следует тем же методом, как это было сделано для преобразования Фурье, определить на пространстве Е, ( — со, +со) обратное преобразование Фурье Г ' и показать, что для любого элемента ф~аУ.,( — со, +со) справедливо равенство РГ ' [Ца=~~ф~!. Затем можно показать, что Г[г' 'К)=ф и Г' '[г'[Ц)=ф 2бт для всех ф а2.г( — со.
+со), исходя из того, что это верно на множестве ступенчатых функций, образующих плотное в 2.г ( — со, + со) множество. Если теперь для элемен г.а ф в ~2. ( — со. +;.о) взять элемент гр=Г ' [ггпу). то получим Г[гр) =ф, что и означает. что преобразование Е отображает все пространство 2, ( — ссц +со) на себя.
Суммируя все сказанное, получим следующую теорему. Те о рема 20 (теорема Плавщерелн). ггреобразовигггге Фурье Р .ггагейоо и взаимно однозначно отображает прогтринетво 2.г ( — со, + оо) на себя, при эпгом дяя любого эле.иенгпа гр~бг( — со. +со) еправед.гаво равенство ~~р[р1 11 = И~1- я 61. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 61Л.
ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение классического понятия функции, а именно понятие обобщенной функции. Оно возникло при решении некоторых физических задач и в последние годы быстро и прочно вошло в матемагику. С помощью этого понятия можно распространить преобразование Фурье на существенно более широкий класс функций, чем абсолютно интегрируемые или интегрируемые в квадрате функции.
Оно позволяет сформулировать на математическом языке такие идеализированные понятия, как, например, плотность точечного заряда, плотность материальной точки, мгновенный импульс и т. п. Поясним это подробнее. При изучении физических явлений с помощью математического аппарата нам неизбежно приходится пользоваться различными математическими абстракциями, в частности понятием точки. Мы говорим, например, о массе. сосредоточенной в данной точке пространства, о силе, приложенной в данный момент времени (т.
е. в данной точке оси отсчета времени), о точечном источнике того или иного физического поля и т. п, Это удобно при использовании магематического аппарата, хотя при этом мы воспроизводим не вполне точную реальную картину: всякая масса имеет определенный объем, всякая сила действует определенный промежуток времени, всякий источник поля имеет определенные размеры и т.
д. Оказывается, что при таком подходе к изучению физических явлений недостаточно методов классической математики. Иногда приходится вводить новые математические понятия, создавагь новый математический аппарат. Рассмотрим в качестве примера действие «мгновенной» силы. Пуст.ь в момент времени (=0 па тело массы л(~0 подействовала сила, сооб(пившая ему скорость ркаО, после чего действие силы прекратилось. Обозначая через Г(() силу, действующую на тело в момент времени (, получим Е(~) =0 при (~0.
Попытаемся найти, чему же равна сила Е(() при (=О. По второму закону Нью(она сила равна скорости изменения количества движения относительно времени Н(ип ) с(( и, следовательно. для любого моменга времени т, 0<с< +х, имеем з Г (() с(( = ию. (61.1) В качестве нижнего предела интегрирования взята — х~. можно, конечно„вместо нее взять и любое число и<0, поскольку до момента времени (=О гело находилось в покое.
Обратим внимание на то, что с точки зрения классической математики„т.. е. с точки зрения того понятия интеграла, которое было нами изучено, равенство (6!.!) лишено смысла: функция Р(() равна нулю во всех точках, кроме (=О, и потому стоящий в левой части формулы (61.!) интеграл, рассматриваемый как несобственный, равен нулю, в то время как правая часть этого равенства не равна нулю. Вместе с зем, исходя из физических соображений, естественно ожидать, что написанное равенс~во имеет определенный смысл. Это противоречие означает, что мы оказались за пределами возможное(и использования известного нам математического аппарата, что необходимо ввести какие-то новые математические понятия.
Предположим. для простоты, что количест во движения, которое получило тело, равно единице, т. е. что лш=!. В этом случае силу Г((), дейс(вующую на тело, будем обозначать через Ь((). следовательно, формула (61.1) будет теперь иметь вид Ь(()(((=1, т>0, (6!.2) Функция Ь(() называется обычно дельта-функцией (Ь-функцией), или функцией Дирака*'. Чтобы лучше вникну(ь в сущность вопроса, предположим, что на тело действует не мгновенная сила, а что в течение промежутка времени от — с до 0 (а>0) на тело действует некоторая постоянная сила, которую мы обозначим через Ь,((). *' Г).
Дирак (рол, )902 и.) аи~зийккий физик. 269 Предположим также, что эта сила сообщает нашему телу то же самое количество движения, равное единице. Короче говоря, распределим искомую силу б(~) на интервал длины е. Найдем силу 6,(~). По закону сохранения времени для любого времени т>0 имеем т ( 6.() (=1. Поскольку сила б,(1) равна нулю вне отрезка [ — е, 01, а на этом отрезке постоянна, то о 1= ) б,(с)Й= 1 б,(к)сй=аб,(к), — е<!~0. Поэтому 1 -, если — с<г<0, 5,(1)= О, если к< — с или к>0, (61. 3) Естественно предположить, что мгновенная сила б (с) получается из «распределенной силы» б, (г) предельным переходом при е- О, т. е. 5(к)=!ппб,(1), г-а тогда + со, если 1= О, б(~) = О, если ~~0.
(61.4) 270 Эта формула не дает нам возможности, используя известные определения интеграла (собственного или несобственного), получить формулу (61.2). Равенство нулю функции во всех точках, кроме одной, где она равна бесконечности, и одновременное равенство интеграла от этой функции единице противоречат друг другу в рамках той математики, которая в настоящее время называется классической.
Это приводит к мысли о необходимости введения нового определения — определения «интеграла» (61.2). Физически естес~асино считать, что количество движения, приданное телу мгновенной силой Ь(г), т. е. интеграл (61.2) ) 6(г)й=!пп ) Ь,(г)й, т>0. Р' Е 0 сО Отсюда, в силу равенства ) б,(г)йсв1, т>0 для всех е>0 и следует непосредственно равенство (61.2). Таким образом, когда говорится, что интеграл (61.2) от дельта-функции равен единице, то этот интеграл следует понимать как предел соответствующих обычных интегралов от б,-функций при е-~+О.
Оказывается полезным дать аналогичным образом определение и более общих «интегралов», а именно интегралов вида т ~ Ь (г)Я) й, — сэ < т < + оэ, (61.5) где Дс) — некоторая непрерывная функция. Именно, определим символ (61.5) равенством с т ) б(т)Дг)й=1пп ~ б,(г) р(г)й. О я 0 Чтобы доказать, что это определение корректно, надо доказать, что предел (61.6) всегда существует. Покажем, более того, что 1(0) при т > О, 1пп б,(г)Д!)й= --о ' ' 0 при т<0.
(61.7) Пусть сначала с>0. Используя (61.3), получим т о о является пределом количества движения, приданного телу распределенными во времени силами б,(г), когда время их действия стремится к нулю, т. е. когда е- О. Поэтому положим, по определеникн В силу непрерывности функции ('(х) при х=О, для любого т) >О существует такое си > О, что лля всех О удовлетворяющих условию ~ г)<аи, выйолняется неравенство (Л1) — У'(О) ! < 7).
Поэтому для всех в<е„из неравенства (61.8) слелует, что е о б,(г) г'(г)й — г'(0) <~ й=т!. е ) з Ранено~во (61.7) при т > 0 доказано. Еще проще оно доказывается при т < О. Итак, из определения (61.6) следует, что для любой непрерывной функции г'(г) справедлива формула б(!) )'(1)й= ' (61.9) 0 при т<0. -и Формула (61.2) следует отсюда при г(!)зи!. Если положить 1 при г>0, 0(г) = 0 при 1<0, (6! .10) то формула (61.9) при ((г)=! перепишется в виле 0(т) = б(г) й.
(61.11) Функция 0 (г) имеет специальное название — она называется функцией Хевисайда*'. Вычисляя производную функции 0 (~) согласно классическому определению производной, из (6!.10) получим ас при 1= О, О()=- О при !~О. (61.! 2) " О. Хевисайд 0850 -4925) — аигдийский физик. 272 На основании этого было бы неверно утверждать, что 0'(г) является дельта-функцией, так как одной лишь формулой (61.4) функция б(!) не определяется, поскольку лаже физически ясно, что только из этой формулы не может следовать, что сила б(7) сообщает рассматриваемому телу именно единичное количество движения.
Однако, удобно положить, по определению, В'(7) = б (С). Это помимо равенства (61.12) оправдывается тем, что в этом случае сохраняется основная формула интегрального исчисления. восстанавливающая функцию по ее производной — фомула Ньютона — -Лейбница. Действительно, теперь формула (61.11) может быть переписана в виде 0(т)= В'(7)й, — оэ(т(+ в (отметим, что О( — со)=0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
