kudryavtsev3a (947417), страница 42
Текст из файла (страница 42)
М 1=! (60.46) 243 Пусть хии ~ Ьиеи (такой элемент сущес!вует, см, лемму 5). л —. 1 Очевидно, что элементу х и соответствует при установленном соответствии элемент у. Покажем, наконец, что при этом соответствии сохраняется скалярное произведение. Это сразу следует из леммы 4. Действительно, если х= ~ алел, х'= ~ 6«ел, у= ~ а„7'„, у'= ~ Ь„7„, л=1 «=1 «=1 «=1 то, в силу указанной леммы, (х, х')ии ,'!" а«Ь«=(у, у'). Г~ и.= 1 В качестве модели сепарабельного бесконечномерного гиль- бертова прос!рансзва можно взять пространство, элементами которого являются последовательности действительных чисел Х=(Х1, Х1,..., Хи,...), ДЛЯ КО!ОРЫХ РЯД ! Х! СХОДИТСЯ, т.
Е. 1=1 пространство 1, (см. примеры 6 в п. 57.1 и пример 5 в п. 58.3). Скалярное произведение в этом пространстве вводится по следующему правилу: если х=(х,,..., хи,...) и у=(у,,..., уи, ), л!а (х, у)= „! х„у,. (60.45) 1=! Т е о р е м а 11. Пространство ?а явлнетсн сепарабельным гильбертовым пространством. Д о к а з а т с л ь с т в о.
Пространство 1 сепарабельно, ибо последователыюсти е,, /с=1, 2,..., у которых на всех местах стоят нули, кроме й-го, где стоит единица, образуют ортонормированный базис и, следовательно, их конечные линейные комбинации с рациональными коэффициентами образуют счетное плотное в пространстве ! множество (почему?). Полнота пространства 12 была доказана раньше (см. пример 3 в и. 57.2). (л В силу теоремы 1О, пространство 1з изоморфно каждому сепарабельному гильбертову проса ранству. В п. 60.3 было показано, что пространство Т.з (а, Ь ) сепарабельно (см.
там теорему 2) для любого отрезка [а, Ь ), следовательно, оно также изоморфно пространству ?з. Можно показать, что и пространство 1, (6), где 6 — измеримое положительной меры множество п-мерного пространства, также сепарабельно и„следовательно, изоморфно 12. Таким образом, все гильбертовы пространства интегрируемых в квадрате функций независимо от числа переменных, от которых зависят эти функции, изоморфны между собой. бв.в. РАзлОжение Функций С ИНТЕГРИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ В РЯД ФУРЬЕ В ~ 55 изучались классические ряды Фурье, т. е. ряды Фурье по тригонометрической системе функций, для абсолютно интегрируемых функций.
В этом пункте будет получен ряд следствий из общей теории рядов Фурье в гильбертовых пространствах и из свойства полноты системы тригонометрических функций в пространстве 1. [ — я, я3 для тригонометрических рядов Фурье более узкого класса функций, чем абсолютно интегрируемые, а именно для функций с интегрируемым на отрезке [ — я, я3 квадратом, т. е. для функций пространства М, [ — я, п) (см.
пример 3 в п. 59.2). Прежде всего заметим, что если в гильбертовом прост'ранстве 7.г [ — я, я)' за ортогональную систему взять тригонометрическую систему 1., соя х, яп х, „ сов пх, яп пх, ..., (60.2) то коэффициенты Фурье элемента /'~ 1,, [- я, я 3 по этой системе будут определяться, согласно (60.23), ио формулам 1 1 1 ав= — (7, 1), а„=-(7; сов пх), Ь„=-((; яи пх), п=1, 2, л (60.47) ибо 1!!11, = 2я, ~(сов пх(~, =~1а)п пхни, = я (см.
п. 60,1). и записывать тригонометрический ряд Фурье в виде — '-ь 2 а„сов пх+Ь„яп пх. 2 Применяя теорему б к тригонометрической системе (60.2), в силу полноты этой системы в пространстве Ез|-к, к| (см. пример 3 в и. 60.3), получим следующую теорему. Теорема 12. Каждый элемент (~в|, ( — к, к~ раскладывается в этом пространстве в ряд Фурье по тригойометрической системе (= — '~- 2.
а„сов пх+Ь„яп пх, 2 (60.49) причем справедливо равенство Парсеваля -]]Л'= — ",' Е 4+Ь.' л л=1 Следствие 1. Каждая функция Дх) с интегрируемыи на отрезке [ — я, к| квадратом: 1) является пределом в смысле среднего квадратичного (см. и. 58.4) своих частичных сумм Фурье Е„(х) по тригонометрической системе функций при и- оэ, т. е. л 11щ )' Р(х) — Я„(х)121|х=0; 2) и для нее справедливо равенство Ларсеваля л — у'(х)1|х= — '4- ,'1 аз+Ьз. (60.51) Следствие 2. Если функция ( с интегрируемым на отрезке '1 — к, к1 квадратом и все ее коэффициенты Фурье по тригоно- 245 Если 7' — непрерывная на отрезке ( — к, я ] функция, то |яСЕ, 1 — к, к3сЕ11 — и, к3, Сравнивая формулы (60.47) для коэффйциентов Фурье функции |с формулами (55.6) (скалярное произведение, как обычно, задается формулами (59.11)), видим, что все они совпадают, кроме формулы для коэффициента аь, которая в (60.47) отличается от формулы в (55.6) множителем 1(2.
Отдавая дань традиции, будем в дальнейшем придерживаться формулы (55.6) для а, т. е. считать, что ..=-'(Х 1) 1 1 а„=-((, сов пх) лс =-(д, соз пх) „, л 2 л лег' Ь„=-(Е яп пх) =-(я, яп пх)„,, п=1, 2,...*'. 1 1 Следовательно, если через Г обозначить класс эквивалентных функций, содержащий функцию Е то в силу определения (59.22) скалярного произведения классов эквивалентных функций, т. е.
скалЯРного пРоизведениЯ в пРостРанстве Й.г( — Я, Я3 (см. п. 59.4)„будем иметь ао=-(Г, 1) -, а„=-(Г, сов пх) -, Ь„= — (Г, яп пх) -, п=1, 2,..., 1 1 1 л ' яс>' " л ' д! ' " л и>„' т. е, ряд Фурье элемента Г~ КЕ2 [ — я, я) Ег( — и, к3 совпадает с рядом Фурье каждой функции (1пГ. Согласно теореме 12, в пространстве Е,( — я, я ( имеет место разложение ао Г= —,'ч- 2т а„сов пх+Ь„яп пх, (60.52) л=! н равенство Парсеваля аз ао+ ~ аг+12 о=! (60.53) "' Индекс у скалярных и почти скалярных произведений указывает, в каких пространствах берутся рассматриваемые произведения.
246 метрической системе 160 22 равны нулю, то <>на эквивалентна нулю. Здесь везде коэффициенты Фурье при п=1, 2,... определяются по формулам (60.47), а коэффициент а„— по формуле (60.48). Поскольку сама теорема 12 вытекает из теоремы 6, то нуждаются в доказательстве только ее следствия. Итак, пусть функция Дх) есть функция с интегрируемым квадратом на отрезке ( — я, я3, т.
с. Дх)ыЯЕ2'( — и, к3' (см. пример 7 в п. 58.3 н пример 3 в п. 59.2). Прежде всего заметим„ что любая ей эквивалентная функция я(х) (см. определение 5 и п. 59.4) имеет те же коэффициенты Фурье и, следовательно, тот же ряд Фурье. Это следует из того, что почти скалярное произведение в пространстве ЯЕ '( — я, я3 не меняется, сели его сомножители замснить им эквивалентными (см. формулу (59.22)), и потому, если /' я, то 1 1 ао=-(Х 1)яь,=-(8, 1)„,, Если Я„(х)= — '-~ ,'~ а„соя 1сх+Ь, з1п /гх — частичная сумма 2 ряда Фурье (60.52), то сходимость этого ряда в пространстве Ез[ — я, к3 к элементу г" означает, что 1пп Цг — 5„(х)Ц, =О. (60.54) Если теперь Г~Г, то (см.
(59.23)) Цà — Я„(х) Ц, = Цу'(х) — о„(х)Ц к (60,55) Л 1пп ) [Г(х) — 5„(х)~'Ых=!пп Цфх) — 5„(х)Ця, =О, — Л т. е. равенство (60.50) доказано. Далее„так как, в силу той же формулы (59.23), имеют место равенства ЦП.,=Ц2Ц,= ) Х'(хИх и так как коэффициенты Фурье у Г и Г одинаковы, то (60.51) следует непосредственно из (60.53). Для доказательства следствия 2 заметим, что если все коэффициенты Фурье функции у'аЯ2, [ — я, я1 по тригонометрической системе равны нулю, то из равенства Парсеваля (60.51) следует, что цла.,= [~'( ) =о, а зто, согласно определению 5 из п.
59.4 эквивалентных функций, и означает, что у-О. Итак, обратим внимание на то, что если у функции с интегрируемым квадратом все коэффициенты Фурье равны нулю, то она не обязательно является тождественным нулем, а только эквивалентна ему. Оба следствия доказаны. Из равенства Парсеваля (60.51) егце раз (независимо от теоремы 2 п. 55.2) следует, что коэффициенты Фурье функции 247 где Ц~(х) — о„(х)Цяь -- полунорма функции у(х) — о„(х) в пространстве ЯЕз ( — я, я], что имеет смысл, ибо у(х) — 5„(х)~à — Я„(х).
Из (60.54) и (60.55) следует, что 1'(х) стремятся к нулю (ибо общий член сходящегося ряда (60.51) всегда стремится к нулю), однако лишь для функций с интегрируемым на отрезке [ — я, к] квадратом. Так как всякая функция, непрерывная на отрезке [ — и, я], является и функцией с интегрируемым квадратом, то для нее также справедливо утверждение первого следствия теоремы 12: она раскладывается в ряд Фурье, сходящийся к ней в смысле среднего квадратичного, и для нее справедливо равенство Парсеваля (60.51).
Второе же следствие для непрерывных функций может быть существенно усилено. Сформулируем его в виде отдельной теоремы. Теорема 13. Если все коэффициенты Фурье непрерывной на отрезке [ — к, и] функции равны нулю, то сама эта функция тождественно равна нулю. Этот факт был установлен нами уже раньше (см. в п. 55.6 следствие из теоремы 6). Здесь мы докажем его еще раз, исходя из теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве.
Следствие (теорема единственности разложения непрерывной функции в ряд Фурье). Если две непрерывные функции имеют одинаковые коэффициенты Фурье, то они тождественно равны. Доказательство. Если функция г(х) непрерывна на отрезке [ — к, к ] и все ее коэффициенты Фурье равны нулю, то из равенства Парсеваля (60.51) имеем (Дню=0.
Но полунорма пространства КЕ, [ — к, я ] на множестве йейрерывных функций является нормой (см. пример 8 в п. 58.3), поэтому 1(х)=0 для Всех хо [ — и, и ]. Следствие вытекает из того, чзо разность двух функций, у которых одинаковые коэффициенты Фурье, имеет коэффициенты Фурье, равные нулю, и потому является тождественным нулем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
