kudryavtsev3a (947417), страница 38
Текст из файла (страница 38)
и.); они помогут установить аналогии, имеющиеся между обычными и-мерными пространствами и пространствами функций, и выяснить специфические свойства бесконечномерных функциональных пространств. 060. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ И РАЗЛОЖКНИЯ ПО НИМ ВОЛ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Определение 1.
Пусть Х вЂ” линейное пространство с почти скалярным произведением. Элементы х м Х и у ы Х называются ортогональными, если (х, у)=0, в этом случае пишется также хну. Определение 2. Система элементов 1х„, а ~ й1 (ч1 — некоторое мпожество индексов) линейного пространства Х с почти скалярным произведением называется ортогональной, если каждые ее два элемента ортогональны. Если, кроме того, норма ее любого элемента равна единице, т.
е. ~~х,)~=1, а я Й, то она называется ортонормированной. Очевидно, если система х„, а ы 01, ортогональна и х„ФО для всех а м И, то ее можно «нормировать». Действительно, поделив каждый элемент на его норму, т. е. умножив х, на число Ц1х„11, получим ортонормированную систему Напомним, что если Х вЂ” пространство со скалярным произведением, то условие 11х11,-еО равносильно тому, что х~О. Лемма 1. Если система 1х„, а ы Й1 элементов линейного пространства Х с почти скалярным произведение,м ортогональна и (~х„()~0 для всех а в ~21, то она линейно независима.
Доказательство. Пусть для некоторых элементов хие а,ый, к=1, 2, ..., п, имеем Х~х»с+2"зх»з+ ...+)"»Х» =О. Умножим скалярно обе части этого равенства на хие к — фиксировано (к=1, 2, ..., п), получим 2 (хм, хм)=0, 220 ибо в силу ортогональности системы (х„, х.„) =О, уФ/с. Замечая далее, что, по пРедположению, хеа ~л 0 и, следовательно, (х,, хяа)~0, получим г»а=О, к=1, 2, ..., и.
Линейная независимость системы х„се~я И, доказана. П Докажем еще одну лемму, выражающую критерий линейной независимости функций через скалярные произведения. Лемма 2. Если длл системы элементов х,, ..., х„пространства Х со скалярным произведением определитель (х,, хг) (хз, хз) ... (х,, х„) (хз, х,) (хз, хз) ... (хз х„) 6(х,, ..., х„)= (х„, х,) (х„, х ) ...
(х„, х„) равен нулю, то система линейно зависима. Определитель 6 (х,, ..., х„) называется определителем Грама*' данной системы. Доказательство. Рассмотрим систему и линейных уравнений с и неизвестными Хп г=1, 2, ..., п: (Х,хг + ... +)с„х„, х!) = О, !'= 1, 2, ..., и, (60.1) или 2.1(х,, х;)+...+Х„(х„, х!)=О, г=!, 2, ..., п.
Определителем этой системы является транспонированный определитель Грама, который по условию леммы равен нулю. Следовательно, система (60,1) имеет нетривиальное решение Х,, ..., Х„(т. е. такое, что не все 2ч, 1=1, 2, ..., и, равны нулю). Умножим равенство (60.1) на Х; и йросуммируем по !' от 1 до п: (Х! х, + ... + Х„х„, Х,х, + ... + Х„х„) = О. Отсюда Хзхг+...+Х х„=О, что означает линейную зависимость системы х,, ..., х„.
П Упражнения. 1. Доказать, что если конечная система элементов пред- гильбертова пространства линейно зависима, то ее определитель Грама равен нулю. 2. Доказать, что если (гс,) — ортонормированная система, то лля любых двух ее элементов ез, и ез„имеет место равенство ))яе — аз,!)= г2, а'чяп, 3. Доказать, что функции яп х, яп Зх, яп 5х, яп тх, яп 9х линейно независимы, м И.
Грам (!850 — !916) — латский математик. 22! Примеры. 1. Тригонометрическая система функций 1, соах, яп.1., соз2х, апл2, ..., соапх, яплх, ... (60.2) ортогональна в пространстве Е '( — к,. я3 (см. и. 57.10). Это было доказано в лемме 1 п. 55.1. Из формул (55.4) следует, что 1!а!пах!!= я, !1созлх!1= 1а, л=1, 2, ..., поэтому ортонормированная система, соответствующая системе (60.2), имеет вид ! ! ! ! ! —, — — сов х, — а(п х, ..., — сов лх, — з1п лх, '!2я „!я я 1! ~я 2.
Рассмотрим полиномы Лежандра (см. и. 58.1) Ро(х)=1, Р„(х)= — — ' —, и=1, 2, .... (60.3) Покажем, что система (60.3) ортогональна в пространстве 2,1( — 1, 13. Для этого докажем более общее утверждение, а именно что полипом Лежандра Р„(х) ортогонален любому многочлену Д (х) степени л!<л. Заметив предварительно, что выражение 21! .2 !!» !!х' при !1=0, 1, 2, ..., л — 1, обращается в нуль в точках х= — ! и х = 1, имеем, последовательно интегрируя по частям, 1 ! д' !х! — 1)" И" ' (х! — ! )" Д (х)=- Ых=Д (х)- — — „; —— Ых" !!х" — 1 ! 2 — ! 2 !" !2х" !!х" " — 1 -1 =(-1)" Д1„1(х) „„, =О.
Таким образом, 1 ! Д (х) Р„(х)!1х=О, т<л; -! в частности, 222 г Р„(х)Р„(х)г(х=О, т~и. — 1 Подсчитаем теперь норму полиномов Лежандра. Заметив, что Р„(х) =(, Иа +а„г (х), где Д„г (х) — многочлен степени не выше гг — 1, и использовав ортогональность Р„(х) ко всем многочленам меньшей степени, получим +г +1 Р~(х)г(х= Р„(х) ( )"х" +Д„г (х) г(х= 1 -1 — г 1 г (2п — 1)!! (,, (2п — 1)!1 Г И"(хг — 1)" х" г(х. и! ~ " п!(2п)1! ~ Нл Интегрируя последовательно по частям, будем иметь г.г 1 Р„'( )ах=.„=(-1)"-г(2и 1)- 1 х 1(хг-1)и= (2и) а — г — г 1 =( — 1)" '(2 1)" (хг — 1)" 'хг 'х= (2п — 2)а — г г =( — 1)" '( п )"- 1 (х' — 1)" гг(х'= (2и — 2)П 3 ) -1 1 г =( — 1)" ' )"- (х — 1)" ~хпггх=...= хг" ггх=— Таким образом, 11 Р„(х) 11 = Система полиномов Лежандра, как и всякая ортогональная система ненулевых элементов линейно независима (см.
лемму 1) в пространстве Ег'( — 1, 1~. 223 Впрочем, как это было показано раньше, они линейно независимы и вообще на любом промежутке числовой оси, не вырождающемся в точку (см, п. 58.1). Из линейной независимости полиномов Лежандра следует, что любой многочлен сгепени, не болыпей п, является линейной комбинацией полиномов Лежандра Р (х), Р,(х),..., Р„(х). Действительно, в (и+!)-мерном пространстве многочленов степеней, не превыпгающих и, любая система и+! линейно независимых многочлснов, в частности указанная система полиномов Лежандра, образует базис. Поэтому всякий многочлен рассматриваемой степени является линейной комбинацией элементов указанной системы. 3.
Система функций !е'""), и=О, +1, +2,..., ортогональна на отрезке (-к, н). В самом деле х х х Е!хх Егьвх агХ Еих - жгх г) Отсюда, вспоминая, что период функции е' равен 2к! (см. п. 37,6), при и~т получим х Егхх Е!вгх С(Х вЂ” г(х — пгх ! ! (л — гп) х Упражнение 4, доказатгь чго последовательность функ!!нй ип (2п — 1) —, 2' п= 1, 2,..., образует ортогональную снстсму на отрезка !О, к!. бв.2. ОртОГОИАлизАция Пусть снова Х вЂ” предгильбертово пространство. Рассмотрим следующую задачу.
Пусть дана линейно независимая счетная система элементов х„, и = 1, 2,..., пространства Х. Требуется с помощью конечных линейных комбинаций получить из нее ортогональную систему. Оказывается, зта задача всегда имеет решение. Теорема 1. Пусть (60.4) х„, и=!, 2, — — линейно неэависимтч система элеменпгов пространстви Х. 7'ом)а сугцествует 'ортоеональная !'исте,ни элеменпюв у„, у„~О, и=!.
2, ..., этого пространства такс!я, чпго каждый ее элемепт у„, и = 1, 2, ..., является линейной комбинацией первых и э.гемен!!гоп гас!немы (60.4): 224 у„=а„,х, +а„гхг+ ... +а„„х„. (60.5) Построение ортогональной системы (у„) вида (60.5) из линейно независимой системы (х„) называется обычно лроггесеоги оРлгогонииэиггии системы ггл„). Доказательство. Положим у,=х,. Так как система (60.4) линейно независима, то у, ФО (почему?). Пусть существуют попарно ортогоналыгые элементы У„ФО. гг=1, 2, ..., гг, /г>1, удовлетворяющие условию (60.5).
Будем искать элемент у„„, ортогональный всем у„..., у, в виде Уя+г=(3г г,гуг+" +(3г~гяуг хг+г. (60.6) Из условий ортогональности (у„, у„е,)=...=(ун уг„,)=0 получаем (у,, у,) 0„. г г =(у„ х„,,), ..., (у,, у„)(3я „д ††(у„, х + г). (60.8) Отсюда однозначно определяются коэффициенты )3,е, и г =-1, 2, ... lс. Элемент у,е „задаваемый представлением (60.6) с найденными коэффициентами (З„,г и г=1, 2,:, гг„т.
е. (у„ х„„,) (у„гг) удовлетворяет условиям (60.7). Подставим в (60.6) выражения для уэи л = 1, 2, ..., /с, записанные в виде (60.5); после приведения подобных членов получим у„ч, = а„,, л, + ... + а„„дх„— х, е,. (60.9) Отсюда следует, что у„„,-еО, ибо в противном случае элементы х,, ..., х,е, оказались бы линейно зависимыми. П Замечание. Отметим, что если какая-либо ортогональная система элементов е„, 2„Ф.О, л=1, 2, ..., пространства Х такова, что каждый элемент т„также является линейной комбинацией первых л элементов системы (60.4): е„=у„гхг+...+у„„х„, гг=1, 2, ..., (60.10) то элемент т„отличается от элемента у„лишь некоторым числовым множителем ).„ФО: -„=2.„У„, и=1, 2„ Докажем это. Обозначим через Е (и,, ..., и„) линейную оболочку системы элементов и„..., и„(см, и, 58.1); А(хг, ..., х„) является л-мерным пространством, в котором элементы х,, ...,х„ образуют базис (см. п.
58.1). Элементы у„г'= 1, 2, ..., л (соответственно =,, г'= 1, 2, ..., л), линейно независимы и 225 содержатся в Е(х„..., х„); следовательно, элементы уи 1= 1, 2, ... и, и элементы г,, 1=1, 2, ..., и, также образуют базис в пространстве Е(х, ..., х„), Таким образом, Е,(х,, ..., х„) = =Е(у„..., у„)=ф„..., х„), и=1„2, Элемент у„н Цх„..., х„) ортогонален подпространству Е(у,, ..., у„,)=Е(х,, ..., х„,), т.
е. ортогонален каждому элементу этого подпространства. Элемент же =„нЕ(х„..., х ) ортогонален подпространству Е(к„..., г„,)=Е(х,, ..., х„,). Итак, элсменты у„и г„и-мерного пространства Е(х,, ..., х„) ортогональны одному и тому же (и — 1)-мерному подпространст- ву Е(х„..., х„,) и, следовательно, пропорциональны: с„=х„у„, А~О, и=1, 2, . (почему?) Отметим еще, что из Е (х„..., х„) = Е (у „..., у„), и = 1, 2, вытекает совпадение линейных оболочек бесконечных сис- тем (60.4) и (60.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
