kudryavtsev3a (947417), страница 33
Текст из файла (страница 33)
>> о>гр«д«ленпо«>пы«>. В сиду свойств ! и 2' почти скалярного произведения, оно является билинейным отображением нросгранс>ва Л'>=Хи Л в пространство действительных чисел Я. Из свойс>ва 2 ноч>и скалярного произведения следуез. ч>о >щя любого элемента .теХ выполняется равенство (.т, 0)=0 (здесь нуль в левой части равенства нудь нрос>ранства Л'. а нуль в правой части нуль действи>е>>ы>ых чисел).
В самом деле, (.т, 0)=(к. 0.0)=,0(.т. 0)=0. Аналогично вводится поня~не и почги скалярного (в час~ности, скалярного) произведения в комплексном линейном пространстве Х. В этом случае комплекснозначная функция (.х, у) называется почти скалярным (соответственно скалярным) произведением. если она удовлегворяст свойсгву 2 для любых комплексных чисел 2 и р, свойству 3 и свойству 1' .
(л, у) = (г, х), .т а Х. г а Х. где, как всегда, черта над числом обозначает сопряженное ему комплексное число. В этом случае скалярное произведение уже не является билинейным отображением в смысле определения !2 и. 58.1, так как оно не линейно по второму аргументу: ( лл ) у) = (Хг..т) = ) (у, х) =- ). (г..т) = Х ( г, у), В дальнейшем под линейным пространством будем понимагь действительное линейное пространство, если не оговорено что-либо другое. Линейные пространства, для элементов которых определена операция скалярного (почти скалярного) произведения, называнггся .тпгйпыни простртсгтваснн со сксьгчрплги (ггсгчггги ски.с.чргсы:гс) ггрогсзсгс'дс'гсис'лг.
Л е м м а 1 (неравеиство Коши — Буняковского). Ег. пс Кт, у)— почти сксслярнос' произведение в липгйпсгм прогпгрсгпгтвс Х, ого для . сгибы.х л а Х и у а Х справедливо неравсппчпво ~(х, г)1 < с( , ) '(гл г). (59.1) Следствие 1 (неравенство треугольггика). Дслг,ггсгс)ых хнХ и гаХ н.пввт сисгпго ггсравенспгво '(х+ г, л+у) <,„(т, х)+ !(у, г). Следствие 2. Ег.ш (х, у) — пстгпа скияярпов (ски.гяргсов) ггроигведспнв в .шпгйноси прогтрансинсв Х, то фггскгтгс.ч вс 11 х 11 =,~'(.г, х) (59.2) яв.гчсчпгя ггсгО шгрной (спопышпгпгвс шпг ггсгрлссггс) в эвнг и прострсшствв, а нсривсчнтво Когссгг-- Бггсчкгнгслогсг (59.1) лгсгэгсгсо гшшгснпь в вш1в 1(т, У)1<Ч х,,'(г 1~.
(59.3) Докссза тельство леммы. В силу свойсэва 3 почти скалярнсно произведения, для любого лействигельного числа ). имеем ().л+ гх сгх+ г) >О. Применив свойства !" н 2" почти скалярного произведения, получим Хз(х, х)+2).(х, у)+(у, у)>0, Если (х, х)=0, то 2).(х, у)+(у, у)>0. Так как это справедливо для любого действительного числа ), то (х, у)=0 (действи- тельно, при (х, у)ФО на к будет иметь место ограничение ).> — — ' — )). Следовательно, неравенство (59.1) справедливо —— 05 у) (л, у1 обе его части обращаются в нуль. Если же (х, х) ~ О, то дискримипапт получающегося квадрат ного относительно трехчлена неположителен (х.
у) — (х, х)(у, у) <О, а зто равносильно неравенству (59,!). П Докажем теперь следствие 1. (х+у, х+у) =1(х, х)+(х, у)+(у, х)+(у, у)! < <(х, х)+2!(х, у)/+(у, у) < 159. гг ~г, г;.г,Па 15;гг=г,гг; Й -,гь,ггг'. и Свойства полупормы (соответственно нормы) для функции (59.2) (следствие 2) проверяются непосредственно: 1) ~!х) = гг(х,.х)>0; гг г 5 к г .= , гг., г*г = ,гГг*. .г = ~ г ~,гг , *г = 1 г ~ г г; 3) 11(х+у(1 = ((.х+у, х+у) <,((х, х)+,Я.у) = ~~х~~+ ~~у~~. ЕСЛИ (Х, у) -- СКаЛярНОЕ ПрОИЗВЕдЕНИЕ И 11 Х 11 = О, т. Е. чгг(Х, Х) = О, то, согласно свойству 4' скалярного умножения, х=О. С) Из доказанного непосредственно вытекает следующее утверждение.
Л е м м а 2. Каждое линейное пространство со скалярным (соогп- ветственно почти скалярным) произведением является нормиро- ванным (соответспгвенно полунормированным) пространством с нормой (соответственно полунормой), определяемой формулой (59.2), а следовате гьно, линейное пространство со скалярным произведением есть лгетрическое пространство с метрикой (58.18). Полунорму (59.2) будем называть полунормой (соответствен- но нормой), порожденной заданны.м почти скалярным (скал,яр- ным) произведение.и.
Расстояние (58.18), порожденное нормой (59.2) линейного пространства со скалярным произведением, будем также называть расстоянием, порозкдеггным заданным скалярным произведением. 195 ).(х, у)=(~(х, у)/. Перемножив равенства (59.б) и (59.7), получим 7 ). (х, у) (х, у) = (х ((х, у) ) х; отсюда при (х, у)~0 имеем 22. = (', (59.8) а в силу того, что )(=( при (х, у)=0, равенство (59.8) имеет место всегда. Далее, ) (х, у)+7 (х, у) = 2(/(х, у)/. (59.6) (59.7) (59.9) Поэтому (2х+у, ))х+у) = (5(х, у)+2(((х, у)/+(у, у) ) О. (59.8) (59.9! Следовательно, дискриминант получившегося квадратичного трехчлена неположителен: ((х, у)(5-(х, х)(у, у)<0, а это равносильно неравенству (59.3). П Неравенство Коши — Буняковского в виде (59.3) справедливо и для комплексных линейных пространств (для них, как и для ас( ) — — —— действительных пространств, )) х )) = у(х, х)), только доказывается оно несколько сложнее.
Пусть Х вЂ” комплексное линейное пространство с почти скалярным произведением. Для любых хеХ, ун Г и комплексного числа 7 н С в силу свойства 3" почти скалярного произведения, имеем (2х+у, ))х+у) > О. (59.4) Раскрывая скобки согласно свойствам Г и 2", получим 0<(2х+у, )х+у)=)Х(х, х)+).(х, у)+ +).(х, у)+(у, у). (59.5) Пусть ( — произвольно выбранное действительное число. Выберем теперь 5.нС так, чтобы ).(х, у) = ()(х, у)) (59.б) (подробнее: если (х, у)~0, то ) = *, а если (х, у)=0, то 0 (х, у)/ (х, у) ) =(). Тогда Сутцествуют нормированные пространства, в которых нельзя ввести скалярные произведения, порождающие нормы, эквивалентные соответствующим заданным в них нормам.
Можно показать, что примером такого пространства является пространство С(а, Ь1 непрерывных па отрезке функций. 59лк ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 1. В множестве действительных чисел А' обычная операция умножения является и скалярным умножением в смысле определения 1.
В множесгве комплексных чисел С скалярным произведением чисел х и у является произведение х15 2. Действительное арифметическое и-мерное векторное пространство !г", в котором скалярное произведение векторов х=(х„..., х„)н!т" и у=(у„..., у„)нй" определяется по формуле (см. (18.32) в и. 18.4) (х, у)=х,у,+...+х т„, является линейным пространством со скалярным произведением в смысле определения 1 п. 59.1. В эгом случае норма элемента ха)2" совпадает с его длиной ~х! (см, п.
58.3, пример 2): а соответствующая метрика с расстоянием в я-мерном арифметическом точечном просграпстве: р (х, у) = ~~ х — у ~( = Напомним, что для этого пространства неравенство Коши— Шварца было доказано нами раньше (см. лемму 1 в п. 18.1 и неравенство (18.39) в п. 18.4). В арифметическом комплексном пространстве С" (см. п.
58.1) скалярное произведение вводится по формуле (х, г)=х,у,+...+х„у„, х=(х„..., х„)нС", у=(у,, ..., у„)ЕС". 3. Рассмотрим линейное полунормированное пространство ЯЕ (а, Ь1 из примера 7, п. 58.3, состоящее из функций с интегрируемым (вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке (а, Ь1 квадратом, т. е. из таких функций Е для которых Ь ) г'(г)й< + оэ. а Пусть !ЕЯЕ, (а, Ь3 и яяЯЕ, !а, Ь3. Вспомним, что произведение функций, и11тегрируемых по Риману на некотором отрезке, 195 поэтому интеграл (59.10) сходится, и притом абсолютно, Почти скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой ь (), У) = ) 1 (1) У (1) й.
а (59.11) Свойства 1', 2", 3' почти скалярного произведения легко проверяются. Полученное пространство с почти скалярным произведением (59.11) будем также обозначать через Я2.2 [а, Ь3. Заметим, что неравенство (59.2) в этом случае может быть записано следующим образом: ь х2 ь ь )~(1) 8(1) (() <()'(1) (1)'8'(1) (0 а в в оно является частным случаем неравенства Гельдера (см. и. 28.4*) при р=д=2 и называется неравенством Коши — Буняковского. Полунорма, порожденная 1ючти скалярным произведением (59.11), имеет, очевидно, вид ь ).г'( М (59.12) в т. е. совпадает с полунормой (58.14), рассмотренной в примере 7 п. 58.3 при р = 2.
Отсюда следует, что почти скалярное произведение (59.11) не является скалярным, так как в п. 58.3 было установлено, что полунорма (58.14) не является нормой при всех р>1. ь' Оно сдедует из очевидного неравенства (~Я) ~ -90)0 >О. 196 также интегрируемо по Риману на этом отрезке. Поэтому на любом отрезке (г„т)3 ~ (а, Ь~, на котором функции ~ и 8 интегрируемы по Риману, будет интегрируемо по Риману и их произведение и, следовательно, имеет смысл рассматривать несобственный интеграл ь И))8(1) ( (59.10) в Кроме того, в любой точке б в которой определены функции ('и 8, справедливо неравенство К(Г)8(1) ~<~ (')~х (') Однако в подпространстве СЕз) а, Ь| пространства РЕз Е а, Ь3, состоящем только из функции, непрерывных на отрезке а, Ь3, почти скалярное произведение (59.11) является уже скалярным, ибо, как было показано в примере 8 п. 583, в этом случае т =ЯД, 1еСЕ ~а, Ь) являешься не только полунормой, но и нормой.
Для расстояния между двумя непрерывными функциями у и в в этом пространстве получаем формулу 1 ь 12 р(У; я) = Ц' — я ~~ = ~ ) (((х) — д(х)~з е(х~ . (59.13) ьа Мы уже встречались со сходимостью функций в смысле этой метрики (см., например, следствие теоремы 12 в п. 55.9). Все сказанное естественным образом распространяется и на функции, определенные на любом бесконечном промежутке, в частности на всей оси. Упражнение Е Пусть Х" линейное пространство с почти скалярным произвелением. Элементы хеХ и унХ называются эквивалентнымн, если 1х-у)'=(х — у, х — >)=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
