kudryavtsev3a (947417), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это означает, что >о иЕ,, т. е. что множество Е, замкнуто. Множество Е, не пусто, так как неравенство (58.б9) заведомо справедливо для достаточно малых г, ибо предел его левой части при >- 0 равен нулю, а правой равен е-+О. Положим (58.70) а=впр Е,. *'Л. Шварц <роа. в 19>5 гд французский ма>аз<вгик. !85 Из замкнутости множества Е, следуе~, что ааЕ„.
Покажем. что и=1. В самом деле, пусть и < 1. (58.71) В силу дифферессцируемос-си отображения ср. для достаточно малых Ь>0 имеем ~~ ср(и+/с) — ср(и) г' ,,= ( ср (и) /с+ о(/с) я < ,') ср' (и) )~ Ь+ -'Ь. (58 72) Из неравенства (58.67) следует, чсо ф'(с) >О и. следовательно. функция ф не убывает, а поэтому (ф(и+Ь) — ф(и)(=ф(а+Ь) — ф(и), Ь>0. (58.73) В силу же дифференцируемосги функции ф, для достаточно малых Ь>0 получим ~ ф (сс+ Ь) — ф (и) / = ) ф' (а) Ь + о (/7) 1 > ) ф' (и) ) Ь вЂ” ! и (/с) ( > > ф (а)/7--";-Ь (58.74) Поэтому , 'ср(а+Ь) — ср(и) '/ < /, 'ср (сс) я /с+-Ь < ф (и)+-Ь < С58.7П С58.87с С58.73С С58.7т < ф(а+Ь) — ф(и)+еЬ. (58. 75) С88 Заметив.
что 'Г, ср(а) — ср(0) (~ < ф(и) — ф(0)+си+8, (58.76) С58.8яс для всех достаточно малых /»О будем иметь '„ср(а+/с) — ср(0) Ц = / ср(а+Ь) — ср(сс)+ср(и) — ср(0)!~ < < / ср(и+/с) — ср(сс) ) + ~( ср(и) — ср(0) 1~ < С58.75С С58.7ЬС < ф(и+Ь) — ф(0)+е(и+Ь)+ г., Таким образом, для числа и+Ь при указанных Ь выполняется неравенство (58.69), что противоречит (58.70), ибо Ь>0. Иссск„сс=ьссрЕ,=1, Это означает, что неравенство (58.69) справедливо при г=) и любом 8>0: ', ср(1) — ср(0) г, <ф(1) — ф(0)+28. Перейдя в ном неравенстве к пределу при 8- +О, получим неравенство (58.68).
'.1 Теорема !1. Если осссоо/гссгсссссссс /:6- )'(6 сипирьтсос 8 Л' зтоэссс сото, Л" и У .сиитсиьи" ссо/7.сси/гсгссссссссьсс ирттрстгтьа) непрерывно на отрезке ( хо, х) ~ б и дифференг(ируемо на инпгервахе (хв, х), то ~фхо+77) — У(хо) ~! < 1~ )г ~! ьпр ((7е(с) г!. (58 77) и(е,,е) Доказательство. Если ьпр (",7" (с)((=+со, то неравенство |е(ио! (58.77) очевидно, если же производная 7' ограничена: ггег с= зпр (~е (Р) 1< + оэ, |е(. 1 то рассмотрим функции Гр(()=г"(хо+ Ггг) и г(г(1)=с !! Гг ~/ Г, 0<|<1.
Функции Г(г и г(г непрерывны на отрезке (О, 1] и дифференци- руемы на интервале (О, !) (для отображения это следует из того, что оно является композицией отображений х=хо+77( ит). Так как (см. пример 2 в. п. 58.8) Гр'(Г) =-Г(х, + М) Ь, то (( ГР' (|) ( < (~ 1' 1( ((Гг ( < С ) )г 1( = г)Г' (Г), 0 < ( < 1, и, следовательно, Гр и г)г удовлетворяют условию леммы 1О, а неравенство (58.68) преврагцается в рассматриваемом случае в неравенство (58.77). П 58.10.
ПРОИЗВОДПЪ|Е ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть у' — отображение открытого множества б линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У. Если это отображение дифференцируемо во всех точках хаб, то его производная 7" (х)н.х'(Х, У) задает отображение 7": х~ 7'(х) множества б в линейное нормированное пространство .У (Х, У). Если это отображение, в свою очередь, дифференцируемо в точке хеб, то его производная (7")'(х) обозначается Ге(х), т. е. /е(х) =(7")'(х), (58.78) и является элементом пространства .У'(Х, .У(Х, У)).
Оператор 7е(х) называется второй производной отображения 7' в точке х. Если отображение 7' имеет в точке х вторую производную, то оно называется дважды дифференцируемым в этой точке, Пусть 7гнХ, гсаХ, тогда 7" (х)гга У(Х, У) и (7е(х)гг)гсн)'. Отображение (Ь, )с)~-(1е (х) й))с 187 7"'(х)=(у ")'(х) и, вообще, аег ~тм(х)=ф" ")'(х), и=1, 2, (58. 80) (как обычно ~'о'(х) =7(х)). При фиксированном хеб производная )""'(х) является отображением Х в .9'(Х,,У (Х, У)), т. е. /'" (х) е.У (Х, .У (Х, .У (Х„У))). Подобным образом 7 ха) ( х) о Я У)...)).
(58.81) Так как пространство х."(Х,,ж'(Х, ..., .л'(Х, У)...)) изоморфно п)зостранству и-линейных форм .У„(Х"; У), то производную у'"'(х) можно рассматривать как полилинейную форму 7" ()(й„..., й„) '=" (...К" ()а,)...)й„,(58.82) )г»ЕХ,)г=!,2, ...,и. Отсюда следует, гго »гт ~ (х) ()зз, ..., )з„) = ((ггт" ~~) '(х) ))г) ())г, ..., )г„), (58.83) В самом деле, согласно (58.81), г (Ез,,»(», » (», ..., »(», п,,а з, », но пространство 2'(Х, У(Х„..., .У(Х, У)... изоморфно пространству полилинейных функций 2'(Х" ', „причем при описанном выше их изоморфизме оператору гт"'(х)Ь, соответствует (и — 1)-линейная форма, определяемая равенством (см.
(58.59)) (/"(х)/гг)(й», ..., 6„)=(...(7™(х)Ьз)гг ...)Ь„. (58.84) является, как легко видеть, билинейной формой, т. е. элементом пространства .У' (Хз; У) (см. и. 58.7). Таким образом, вторую производную можно рассматривать как билинейную форму, определяемую равенством 7 "(х)()г, )г)=(7'Я(х)Ь))г, ггеХ, )геХ.
(58.79) Задача 39. Билинейная форма У)х, у), хеХ, уеХ 1Х--линейное нормированное пространство), называется гиммеглричиой, если для любых злементов «еХ н уеХ выполняется равенство У(х„у)=,!)у, х). Доказать, что если отображение Г открытого множества СоХ в пространство Г дважды дифференпирусмо в точке ха6, то вторая производная /" (х) является билинейной ограниченной симметричной формой нз .К»(Х»; У) (Х и г' — линейные нормированные пространства). Аналогичным образом определяются последовательно и производные высших порядков рассматриваемого отображения 7':б- У, б~Х: Таким образом, р(")(х)()г, „ )г„) = ( р(")(х) й,)()),, ..., Ь„).
" (»8.8М (58,84) Отсюда, в силу формулы (58.80), сразу следует равенство (58.83). По индукции доказывается формула ((У("))(" )(х)(й1, ..., )2„„))(6„,1, ..., )>„)«« =)(")(х)()>„..., )г„), 0<т<п. (58.85) В том случае когда >>1=>г = ... =Ь„=)г, вместо ~'и(х)(>г, ..., г>) будем писать г'(")(х)»".
Таким образом, Р()(х)Ь =(...(1."(х)Ь...)А. 58.11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА <' ' ацР ))>("'"(с)!(. («4- ()! Следствие. Если в предположениях теоремы производная порядка >1+1 огранг>чена на интервале (х„, х,) с= впр )) >""(с) )~ <+со, (58.88) Ц»(»» ) то )(х+)>)=>»(х)+«>'(х) 11+ — ')>ь+ ... +.Р"'(')й«+о(ь») й +0 »! (58.89) Доказательство. При п=0 неравенство (58.87) уже доказано: оно превращается в формулу конечных приращений (см, и.
58.9). В общем случае его доказательство проведем по индукции. Пусть теорема справедлива для всех >(, 0<>(<п. Заметим, что )89 Докажем теперь справедливость формулы Тейлора для отображений линейных нормированных пространств. Т е о р е м а 12. Если отображение ~": б-+ К (б — открыпгое в Х множество, Х и 1' — линейные нормированные пространства) имеет на отрезке (х, х()~б и непрерывных производных и на интервале (х„, х,) производну>о порядка и+(, то Щ~+)г) — /'(~) — ('(~) Ь вЂ” — — (г — ... — — -(г" ~, '< ./ () 2 з (х) 1("1(х)711 = ((1')(1 "(х)1(" 1)1(, /(=1, 2, ..., и, (58.90) (58.85! и рассмотрим вспомогательную функцию я(1) =Дх+ Й) — 7'(х) — /" (х) (Й) — ...
— — '"-(Й) ", отображающую отрезок [О, 1] в пространство Г Очевидно, что 1'» )(х) 8(1) — (с(0) =~(х+ 6) — ~(х) — 7'(х) Ь вЂ ... — —,6" (58.91) ((7'(х+1и) — 7'(х) †...— (7»)(" "(Й)" ' ((< р ((К)00(1)(( = ' ',' (»(»» ! (58.801 и! (58.851 (58.88( где с= Вцр ((7("+"(с)((<+со. Следовательно, Ги(», ») (58.93) ((8'(1)(( < (58.93) Применив лемму 2 к функциям (р(1)=д(1) и ф(1)= сс ",'! Ь (! " ' ' (ич- !)! получим ((8(1)-8(0) (( <— с 1((1"" (и+ !)! что, в силу (58.91), и означает справедливость формулы (58.87).
П (90 и что д(1) имеет на отрезке (О, 1) производную, для которой справедлива формула 8'(1) = 7'(х+ Й) 7( — ~'(х) й — ... — ( —,ф "1(х) 1(" (58.65) = Г(х+1Ю вЂ” 1'(х) —,,— (Г)(" 11(х)(1Ь)" 1 )(, (58.92) где выражение в квадратных скобках является элементом пространства .У'(Х, У).
Оценим норму этого элемента, применив к отображению 7": Х- .У(Х, У) неравенство (58.87) (это возможно в силу индуктивного предположения: производная 1' имеет и производных): Формула Тейлора (58.89) является обобщением формул Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. полученные ранее как для скалярного случая (см. и. (3.2 и и. 39,!), гак и для векгорного (см.
и. (5.2 и 50.!). 9 59. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ВЧ.1. СКА.1ЯРНОЕ И ПОЧТИ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В этом параграфе будут изучены более узкие. чем изучавшиеся раныне, тины пространств, содержащие в себе как частный случай нормированные (соответственно нолунормированные) нространс!ва.
Определение Е Д«>>сп>випгельп«>я фгнк>)из>, оор«д«л«пппш >ш !шоле«'спш«' >'п«>)>зи)«>ч«'ииы.т п«>!> элс.и«чипов д«'й«'пшип!е.>ыи>ео ш>нши>со просп>рви«пши Х и ойычно ооозио и~шоч (к, >), коХ, > еХ, нозьшое>п«.! «ноля)>ныл >гроизвед«инеи. сс.>и «ши д.>я .попы«. шоч«к неХ. > еХ, =аХ и лнюык чи««л Лс И, ре («» дов !«п>норчсп! «знд>нп!)и.и гслов>шзк ! (ком мутативность). (т, г)=(>, «).
2 (линейное > ь). (Лк+р г,:)=).(т,:)+р(у,:). 3 (.т, .т)>0. 4, Если (.т, .т)=0, шо к=0. Свойства 3 и 4 называются >гон> н«инге. >ы>ой о>г)>«д«ч и и>нить>о ски.шрноео п)шнзведения. Определение 2. Дештпвит«льноч фгнкцич, «ншзи«шо«>н>ч пнш.>!««' ооь>чио (.т, г), опр«д«ннн«>я >ш л>ноо>се«пгве спор.чдоч«чшьы пор ).!«'А>енпнн> дей«чпвшпельно,о .>пн«йноео про>чпронстви Х, двХ, геХ, и г«)овлеп>ворч!«>и)«>ч п.швияи ! „2, 3, позыв«нпня пыши! ски.прнь>>и произведениехь Со>ласно этому определению, скалярное произведение является, конечно, и почти скалярным. Свойство 3 почти скалярного произведения называется е>о ш> п>л>«шп«ч >ьн«ш и«>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
