kudryavtsev3a (947417), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Чтобы убедиться, что всякое пространство Ст'.а [а, Ь ] не является полным, достаточно рассмотреть пространство С1. [а, Ь ] для некоторого фиксированного отрезка (почему?). Возьмем для определенности отрезок [ — 1, 1] и приведем пример фундаментальной в пространстве СЦ [ — 1,1] последовательности функций,не сходящейся в этом пространстве. Положим 1 — 1, если — 1<х< — —, 7'„(х)= пх, если — -<х<-, п=1, 2....(59.15) ! ! л и 1 1, если -<х<1, (рис.
257). Очевидно, что функции у'„(х), и=1, 2....., непрерывны на отрезке [ — 1; 1]. Замечая далее, что [7'„(х)[<1, имеем для т>п 202 Рис. 258 Рис. 257 К вЂ”.1 11'= !7".(х) — Ях) !'! = К.(х) — Х (х)!'1 < — 1 1 7 1 < ! К (х ) 1+ (7'„(х ) ! 1~ с1х < 4 Нх = -„ откуда, очевидно, следует, что последовательность (59.15)— фундаментальная в пространстве СА2 [а, Ь1. Действительно, если задано 8>0, то, выбирая н так, что 8 8/пи<8 для всех п)п и всех т)п, будем иметь ~(7„— 2„'8<-< и 8 « — с.
Поскольку "о ( — 1 при — 1<х<0, !пп/„'(х)= ~ 0 при х=О, 1 при 0<х<1, то естественно ожидать, что если последовательность сходится в смысле среднего квадратичного, то она сходится к той же функции, к которой она сходится поточечно, т. е. к функции (см. рис. 258); — 1 при — 1<х<0, Лх)"=" 0 при х=О, 1 при 0<х<1, Однако эта функция 7' разрывна и поэтому Я СЛ2 !О, 1 1 Следовательно, естественно ожидать, что последователь- 203 11'» [[( — 3„[[~»'= ]Х(х) — Х„(х) ! з 11х= [7(х) — /'„(х) [з с(х< — ! — 11» 11» 11» < [[7(х)!+[7„'(х)!1]Ых<4 Ых=--+0 при и- ос, 8 Л вЂ” 1!» — 11» ибо К(х)[<1, (У„(х)! <1, ха[ — 1, 1].
(59 16) Предел по полунорме не единствен и поэтому возникает вопрос: не существует ли еще и непрерывной функции, которая также является пределом последовательности [Я в смысле среднего квадратичного. Покажем, что такой функции не существует. Допустим противное. Пусть существует такая непрерывная на отрезке [ — 1, 1] функция «(х), что (59.17) !пп [! я — 7'„'[! =О. Тогда ![1' — а [! = [! [à — А)+(Л вЂ” 8)[! < [[У вЂ” Л [[+ [[У. — 8[[, где оба слагаемых правой части, в силу (59.16) и (59.17), стремятся к нулю при и-+со, а левая часть не зависит от и, следовательно, 1 ] 1„Г(х) — д(х)[~с(х=![Г' — 8[[~=0; — 1 тем более ]' [7(х) — 8(х)[зс(х=О, ][у'(х) — я(х)[зс(х=О. (59.18) Рассмотрим, например, случай х)0. Поскольку функции у и я непрерывны на интервале (О, 1), то, в силу (59.18), они совпадают на этом интервале (см.
свойство 9' определенного "' Так как у — 1"„уже не является непрерывной функцией, то здесь символ ~, 'д1 ооозначает уже полунорму 152.12) функции Чх Это слелует иметь в вину и в дальнейших рассмотрениях. ность [у„) не имеет Покажем это. Нетрудно убедиться, ся на отрезке [ — 1, 1 ] в Действительно, 1 предела в пространстве Сх,з [а, 6 ]. что последовательность (59.15) сходит- смысле полунормы (59.12) к функции [. интеграла в и. 28.1). Поэтому 8(+0)хх 1пп е(х)= 1пп Ях)=1. х — еО х +О Аналогично из рассмотрения случая х(0 будем иметь 8( — 0)хх 1пп Дх)хх — 1, х -О т. е.
8 — разрывная функция. Полученное противоречие и доказывает утверждение. П Итак, линейное пространство Сз.з (а, Ь ) не полно. Однако мы знаем, что всякое предгильбертово пространство можно дополнить до полного, в частности это можно сделать и с рассматриваемым пространством. Мы вернемся к этому вопросу несколько позже, а сейчас рассмотрим еще одно пространство. Попробуем взять более широкий класс функций, чем непрерывные, а именно рассмотрим линейное пространство ЯЕз '1а, Ь1 функций с интегрируемым на некотором отрезке 1а, Ь ) квадратом (см. пример 3 в п. 59.2) с почти скалярным произведением, задаваемым формулой (59.11), и сконструируем из этого пространства пространство со скалярным произведением.
Определение 5. Две функции т и 8 с интегрируемым на отрезке ~а, Ь 1 квадратом назовем эквивалентными, если нолунорма (59.12) их разности равна нулю: !У вЂ” 8!1 = = О. (59.19) Эквивалентность функций в смысле этого определения будем обозначать символом Х-8. (59.20) Употребление в этом случае того же символа, что и для асимптотического равенства функций, т. е.
для обозначения их эквивалентности в смысле порядка их изменения (см. определение 3 в п. 8.2), не приведет к недоразумению, так как всегда будет ясно, о какой эквивалентности функций идет речь. Отношение эквивалентности 159.20) обладает следующими свойствами: 1) Р-Г'; 2') если т -8, то 8-Р; 3') если 1-8 и я-Ь, то 1-Ь. Разобьем множество всех функций с интегрируемым на отрезке 1а, Ь] квадратом, т.
е. пространство ЯА '1а, Ь1 на классы эквивалентных между собой функций. Эти классы будем 205 называть классами эквивалентности и обозначать заглавными латинскими буквами Е, 6, Н, ..., а их совокупность --через 5. Каждую функцию /; принадлежащую классу эквивалентности Е, будем называть его представителем.
Кратко выражая процесс построения множества 3, говорят, что оно получается из множества всех функций с интегрируемым квадратом «отождествлением» его эквивалентных элементов, Итак, теперь каждое множество эквивалентных функций рассматривается как один элемент множества Я. Для каждого Ен 5 и каждого действительного числа Х элемент ХГ определяется следующим образом. Выберем какого-либо представителя ~'нГ, тогда функция Хг' является также функцией с интегрируемым на отрезке [а, Ь ] квадратом и, следовательно, принадлежит некоторому классу эквивалентности, т.
е. является представителем некоторого элемента из $, который и определяется как элемент ХГ. Чтобы показать, что это определение корректно, надо доказать, что элемент Хг" не зависит от выбора функции /'н Е Действительно, если ГнГилнГ, то г", -), т. е. Ц, — Я!=О. Следовательно, !! хЛ вЂ” хГ!!= ! !!К, — Я!=О, а это означает, что ~~;-ху. Поэтому функции Ц, и л~ принадлежат одному и тому же классу эквивалентности, т.
е, одному и тому же элементу множества ~~. Определим теперь операцию сложения элементов множества $. Пусть Гн5 и бная. Выберем какие-либо функции~еЕи яе6. Элемент Г+6 определим как класс эквивалентности, содержащий элемент ~+я. Это определение однозначно, так как если /еГ, 1;нР, ян6, я,я6 и, следовательно, Л -У, у1-а, то !!Л вЂ” У!!=О, !!~, -д!!=О.
Поэтому О<!!~У,+я,) — (У+д)!!<!!~1 — у!!+!!я, — я!!=О, т. е. А+Я~ У+к и, таким образом, функция ~;+й, принадлежит тому же классу эквивалентности, что и функция ~+у. Итак, для того чтобы сложить элементы из множества 3 или умножить их на число, надо выбрать их представителей и проделать над ними указанную операцию; в результате получится некоторая функция; класс эквивалентности, представителем которого является эта функция„ и будет результатом рассматриваемой операции. 206 Множество $ с введенными в нем операциями ХГ и Г+6 образует линейное пространство.
Действительно, для этих операций выполняются свойства 1', 2", 3"' определения 1 в п. 58.1. Проверим, например, что для любых Г и )у, 6 и 1у и любого числа Х справедливо равенство ) (Г+а)=),Г+) 6. Если )~ Г и д ~ 6, то, согласно определению сложения элементов из множества $, получим /'+8 вГ+ 6, Х(/'+8) кХ(Г+6). Поскольку у" и я — элементы линейного пространства, то Х(1+8)=Х~+Х8.
В силу же правила умножения элементов из ~~ на число и сложения этих элементов, Ч )Г, )8-=)6, )~+)8 )Г+)6. Таким образом, классы эквивалентности Х(Г+6) и ХГ+),6 содержат общий элемент Х(Г+ я) = Ц+ )я и, следовательно, совпадают. Равенство (59.21) доказано. Аналогично проверяется и выполнение остальных свойств линейных пространств (см. определение 1 в п.
58.1) для операций сложения и умножения на число элементов из множества $. Отметим, что нулем полученного линейного пространства ~~ является класс эквивалентности, содержащий функцию, тождественно равную нулю на отрезке (а, Ь). Этот класс состоит из тех и только тех функций Г, которые эквивалентны нулю, иначе говоря, для которых полунорма (59.12) равна нулю: 1Л =О, т. е. ь )1 (к)с1х=О. и Определим теперь в линейном пространстве 91 скалярное умножение. Пусть Г~Р1, а~а$; выберем из классов Г и 6 каких-либо представителей !'~кГ и 8~6 и положим (Г, 6)'="(Г, 8).
(59.22) Таким образом, для того чтобы скалярно перемножить элементы пространства (у, надо выбрать их представителей и скалярно умножить их друг на друга (в смысле почти скалярного произведения (59.11)). Полученный результат и будет равен скалярному произведению рассматриваемых элементов из множества Определение (59.22) также не зависит от выбора функций из классов эквивалентности.
Действительно, если ХГГ 207 то и, следовательно, Поэтому, используя неравенство Коши--Шварца (59.1), полу- чим 0<](Л К ) — (?' К)]=6Л я НХ К )]+И а ) — (У К)3< <](1, -1; д,)]+](1,, д, — д)]<][Г„-Л]~дД+и Ь, -Ф]=0, Таким образом, (?;, ~»)=(Х в). Функция (59.22) удовлетворяет всем свойствам скалярного умножения. Действительно, пусть |~Га»~, у~беЯ, ЬеН~$, Х и и числа, тогда (?Г+1»6, Н)=(Ц+РХ, Ь)=2'(?, Ь)+1»(~, Ь)=Л (Г, Н)+Р(б, Н), (Г, 6)=(?; ~)=(д, Г)=(6, Г), (Г, Г)=(?; Г)>0. Наконец, если (Г, Г)=0, то это означает, что для любой функции ?еГ имеем (1, ?)=][Я]2=0, т.
е, Г-О, а это, как отмечалось выше, и означает, что элемент Г является нулевым элементом пространства Определение б. Нинейное пространство»т со скаяярныи»ро- изведеннел» (59.22) называется нространствол»»х». =»»?. [а, Ь]. Отметим, что норма ]]Г]] - элемента Г в пространстве вь, ЛА [а, Ь ]. согласно (59.2) и (59.22), определяется через полунорму ]Я~в» функции Г Г по формуле ~ ь )]Г]) =)[Я]„ь =~~/з(х)с/х»»з, ]»нГ, (59.23) причем, в силу доказанной однозначности определения скалярного произведения, это определение однозначно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
