kudryavtsev3a (947417), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. не зависит от выбора функции ?'~Г. Замечание 1. Элементами пространства АЕ, [а, Ь ] являются классы эквивалентных функций, однако в математической литературе часго встречается выражение вфункция из прос- 20ь транства Ж,~». Это условное выражение означает просто, что речь идет о функции с интегрируемым квадратом и, следовательно, принадлежащей одному из рассматриваемых классов эквивалентных функций, т. е. являющейся его представителем. Это выражение удобно, так как операция сложения, умножения на число и операция скалярного умножения классов эквивалентных функций сводятся к соответствующей операции над их представителями, причем результат не зависит от выбора указанных представителей. Это обстоятельство в известном смысле оправдывает также и часто употребляющееся условное выражение «пространство ЯЕ.
[а, Ь ) состоит из функций с интегрируемым квадратом»: в этом случае пространство Ж., нередко обозначается просто через М , Каждая непрерывная на отрезке [а, Ь ) функция, будучи функцией с интегрируемым квадратом на этом отрезке, принадлежит некоторому классу эквивалентности, т. е. некоторому элементу пространства Я1., (а, Ь ]. При этом в указанном классе нет другой непрерывной функции, ибо если непрерывные функции эквивалентны, то онн равны. Изучим отображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной функции ~'яС1.,[а, Ь1 класс эквивалентности ИЙя[а, Ь ), к которому она принадлежит: ~ нЕ. Это отображение называется естественным отображением СЕ,~[а, Ь) в ЯЕ, [а, Ь ].
В силу самого определения операций сложения элементов (являющихся классами эквивалентности), умножения их на числа и их скалярного произведения в пространстве ЯЕ, [а, Ъ ], сводящихся к таким же действиям над представителями классов эквивалентности, естественное отображение является линейным и сохраняет скалярное произведение. Оно являе.гся взаимно однозначным отображением (инъекцией) пространства САз [а, Ь ) в пространство ВЕ, [а, Ь ], так как если бы при этом отображении две непрерывные функции отобразились в один и тот же элемент пространства Ях. [а, Ь ], т.
е. в один и тот же класс эквивалентности, то они обе принадлежали бы этому классу. А это, как было отмечено выше, возможно только в случае, если они являются одной и той же непрерывной функцией. Для изучения свойств пространства ?тЕ предварительно докажем три леммы об аппроксимации функций. В них вместо ]]]]л, будем для краткости просто писать !]]]. Ле м м а 6. Пусть квадрат функции !' интегрируем на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь, — со<а<Ь<+со. Тогда для любого с>0 существует такая финитная ступенчатая функция ?р (см. п.
55.2), равная нулю вне указанного промежутка, что ]]7- р]] <' Доказательство. Предположим для простоты, что функция 7' интегрируема по Рнману на любом отрезке [с, а< с < ?) < Ь (см. п. 55.1). Общий случай легко сводится к этому. Пусть задано в>0. Зафиксируем так Ь, и з), чтобы ь ? ~/'(х) Их+ ~7'(х) ?7х < — '. ? ?! Это возможно в силу того, что интеграл на отрезке [а, Ь] от функции 7 з сходится. Функция Т, будучи интегрируемой по Риману на отрезке [Ь„г)], ограничена на нем: Ях)[<М, с<х<т), (59.25) М вЂ” постоянная. Согласно лемме 2 в п. 55.2, для данного в>0 существует такая финитная ступенчатая функция ?р, что ее носитель ьпрр ?р содержится в отрезке [с„з)], т, е.
язрр ?р~ [с, ?1], Рр(х)]<М, х~~Ц, т[1 (зто следует нз замечания 1 и. 55.2) и ь? ] [7(х) ~ — ?р(х)]а!х< —. (59.27) Применив последовательно неравенства (59.24), (59.25), (59.2б) и (59.27), получим ь ь ][7' — ?р]]з=ф(х) — р(ха?!7х=~~з (х)7х+~)~з (х)!7х+ б и ч ч +]] ?(х) — ьр(х)]~??ьх( — +Щах)]+~?р(х)Ц Ях) — ?р(х)[?Кх< ? Ч ? ? 2 < — + 2М][7(х) — ?р(х)]Их < — '+2М вЂ” =аз, 2 4М 2!О Рггс. 259 Отсюда следует, что )~~' — ц~(<с.
1:г Лемм а 7. Пусте гр — фипитная ступенчатая функция, равная нулю вне отрезка (а, Ь ); тогда для любого в > 0 сугцествуепг такал финитная непрерывная на всей числовой оси функция я, также равная нулю вне указанного отрезка, что ! ) Я вЂ” тР 'е < е. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай характеристической функции полуинтервала, ибо всякая финитная ступенчатая функция является конечной линейной комбинацией подобных функций (см. п. 55.2). Итак, пусть задана функция 1 для а<х<Ь, Х(х) = 0 для х<а и х>Ь, и задано е>0.
Возьмем какое-либо т) >О так, чтобы выполня- лись неравенства вг гг — л т1< — ', т1< —, 8 2 и рассмотрим функцию я(х), график которой изображен на рис. 259. При желании ее можно аналитически описать следующим образом 0 для х<а и х>Ь, для а<к<а+т1, ч 1 для а+т)<х<Ь вЂ” т), для Ь вЂ” т)<х<Ь. ч Очевидно, что й(х) является финитной непрерывной на всей числовой оси функцией. Поскольку ! Х (х)г < 1, ~К(х)г < 1, — со < х < + со, то 21! /!у — е!)2=[[у(х) — «(хЦзс(х= [ [2((х) — 8(хЦзах+ О О ь а ьч + ) [Х(х) — «(хЦ'ух- ) [~Х(х)~+~8(х)Ц'Ь+ ь-и й ь Оьч ь + ) [(2((х))+(8(х)Цзг(х<4 ) гаях+4 ) Их<8т1 <аз, ь-в О ь-в т.
е. 8)( — 8~)<е. Гз Лемм а 8. Если у" является функцией с интегрируемым квадратом на отрезке [а, Ь ), то она на этом отрезке является пределом в смысле среднего квадратичного некоторой последовательности непрерывных на всей числовой оси финитных функций з'„, п=1, 2,..., носители которых лежат на отрезке [., Ь): 1пп ~[1„— Д~ = 1пп ф'„(х) — )'(хЦзь1х = О. (59.28) ~а Доказательство.
Каково бы ни было е>0, в силу леммы 6, существует такая финитная ступенчатая функция ць, равная нулю вне отрезка [а, Ь ), что !К-й<'-, 2* а в силу леммы 7, для этой Рис. 260 ступенчатой функции у найдется такая функция е, непрерывная на всей числовой оси и равная нулю вне отрезка [а, Ь ), что И вЂ” 8!! <- 2 и, следовательно (рис. 260), !К-П < !У вЂ” цч!+!' р — 88 < а. Выбирая теперь некоторую числовую последовательность а„- +О при и- оэ, п=1, 2,..., и обозначая через у„соответствующую числу а„, в силу указанной конструкции, функцию, непрерывную на всей числовой оси и равную нулю вне отрезка [а, Ь ), получим искомую последовательность (1„), удовлетворяющую условию (59.28) (определение предела последовательности функций в смысле среднего квадратичного см. в п.
58.4), и такую, что зпрр 1'„~ [а, Ь) для всех п=1, 2,.... П 212 Определение 7. Подмножество пространства СЕз '!а, Ь ), состоящее из функций ~, обращающихся в нуль на концах отрезка (а, Ь ): 7(а)=1(Ь)=0, называется пространством Л~, !а, Ь|. Очевидно, что лемма 16 означает, что любую функцию с интегрируемым на отрезке [а, Ь5 квадратом можно сколь угодно точно в смысле среднего квадратичного приблизить функциями из СЕ з [а, Ь). Ясно, что СЛ з [а, Ь) является линейным предгильбертовым пространством и Л.з[а, Ь1 СЬз[а, Ь2з.
(59.29) Вернемся теперь к естественному отображению СЕз [а, Ь)- КЕз [а, Ь'). Теорема 2. Естественное отображение СЕз [а, Ь)- — ~йз [а, Ь5', т. е. окпображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной на отрезке [а, Ь2' функции класс эквивалентности, к которому она принадлежит, является изоморфным отображением пространства СЕДа, Ь1 в М.з [а, Ь|, причем образ пространства СЕ з [а, Ь)' (а следовательно, в силу (59.29) и всего пространства СЕз [а, Ь5) плотен в М,э[а, Ьз2. Доказательство теоремы 2. Обозначим через Ф естественное отображение пространства СЛз[а, Ь') в пространства И, [а, Ь), т. е, отображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной на отрезке [а, Ь ) функции 2" класс эквивалентных функций с интегрируемым на этом отрезке квадратом, которому она принадлежит, иначе говоря, класс эквивалентности, представителем которого она является.
Таким образом, если ~е Сиз[а, Ь1 и 1~ареЙ,з[а, Ь), то Ф(1')=Е Пусть Г= ФЯ=О; тогда !(Г~(=О, но Р~ Г, поэтому и (Я =О. По свойству нормы отсюда следует, что 7 = О, т. е. ядро отображения Ф состоит только из нулевого элемента. Поскольку естественное отображение Ф линейно, то оно взаимно однозначно отображает пространство СЕ [а, Ь1 в пространство ЯЕз[а, Ь| (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
