kudryavtsev3a (947417), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Если пространство Х вЂ” п-мерное и, следовательно, векторы е,, ..., е„образуют базис, то всегда можно подобрать такие коэффициенты ий, /с=1, 2, ..., и, что будет выполняться равенство х=и,е, + . +и„е„ (60.21) и, следовательно, выражение (60.19) обратится в нуль. Если же Х не конечномерно, или конечномерно, но имеет размерность, ббльшую, чем и, то равенство (60.21), вообще говоря, осуществить невозможно и задача состоит в отыскании линейной 230 комбинации (60.18), дающей минимальное значение выражению (60.19).

,4 Мы покажем, что сформулированная задача всегда имеет и притом единственное решение х, кроме того, Х выясним некоторые свойства этого *а решения (см. рис. 261, на котором схематически изображена рассматриваемая задача). Применяя, если надо, процесс ортогонализации (см. п. 60.2), систему е,, ..., е„всегда можно замеРнс.

261 нить ортогональной системой не равных нулю векторов. Поэтому будем предполагать, что с!~Ос(еа, е,) =О, /с~2, 3, 1!=1, 2, ..., и. Пользуясь условием ортогональности, преобразуем функцию (60.20) следующим образом: а г а а х — 2 аае! =~ х — 2 а„е„, х — 11 аэез =(х, л)+ 1=1 1=1 з=! а а и + ,"! ,'1 а„а,(е„, е,) — 2 ,'1" а,(х, е,)= 1=-1 1=1 1=1 а а =))х)1г+ ,'1 ааг)1е,))г — 2 ,"! а„(х, е„)= а=! а=! и ь 2 =1)хЦг+ 2' ( ааЦе 1) — ( ' ')3 — ,'! ('' ') . (60,22) и и) Отсюда следует*', что минимум выражения (60.19) дости1ается, когда а!))е!)) — — '' =О, /с=1, 2, ..., п, (х, е,) )) е! ~) т.

е. когда (х, е„) !) еЛ' (60.23) Числа аа, определенные по формуле (60.23), называются коэффициентами Фурье элемента х по системе е„..., е„. Если система е„..., е„ортонормированная, то формулы (60.23) принимают более простой вид: а,=(х, е,). (60. 24) В случае п-мерного пространства, когда в качестве векторов 251 М Очевидно, что это рассуждение является непосредственным обобп1ением доказательства теоремы 1! из п. 55.9.

~~е 1г ~ге 1~ ~~ "~~ гьв.гз! будем иметь л г !!ха! — '„! а! Йе„г! = х — ~г„а„е, >О, (60.25) откуда, в частности, следует, что П 2. аг !!еЛ'<~)х1!'. г=! (60.26) Итак, доказана следующая теорема. Теорема 3. Пусте е,, е„ФО, 1с=1, 2, ..., и,— ортогонильная системи векторов предгильбертови пространства Х. Наилучшее приближение в пространстве Х вектора х е Х линеиными Н комбинаг1иями вида 2' иге„осуи1ествггяется, когди гг„, й= 1, 2, ... г=! и, суть коэффициенты Фурье: п,=а, (это свойство ниэывиется минимильным свойством коэффициентов Фурье). При это.и г и г и х — 2 аге„=((х((г — 2 иг((е,!г>0, )пав х — ~ а„е.

! — 1 Следствие 1. Элемент х = 2' ггэеэ ЯвлЯетсЯ элементом г=! ниилучшего приолижения элемента хеХ в подпространстве 1 (е„..., е„) тогда и только тогди, когда эле мент х — хь ортгггона,ген г.(е„..., е„), т. е. х — хв3 2.(е„..., е„). Действительно, условие х — хам А(е,, ..., е„) равносильно условию: для всех /с=1, 2, ..., и имеет место равенство ~. ')-'.

х — хь, е,) =О. Это, в свою очередь, эквивалентно условию х, е„)=(х, е„) или, поскольку 232 е,, ..., е„выбран базис пространства, коэффициенты Фурье вектора х являются его коэффициентами разложения по указанному базису, т. е. координатами элемента х относительно этого базиса. В этом легко убедиться, умножив скалярно равенство (60.21) на е„, !с=1, 2, ..., и; в результате получится (60.23). Вернемся теперь к выражению (60.22). Если в нем в качестве и,, ..., а„взять коэффициенты Фурье (60.23), то, заметив, что л (Хел Е„)=1 ~ ОЭЕЛ Е, =а„(Е„Е1)„ условию (х, еь)л аь(еь, е„). Таким образом, условия х — хь3.Е(е1, ..., ел) и равносильны.

Но второе условие означает, чзо числа являются коэффициентами Фурье элемента х, т. е. что х является элементом наилучшего приближения. Б Пусть теперь задана последовательность 1а не конечная система, как выше) элементов е„(е„ФО), п=1, 2, (60.27) образующих ортогональную систему в пространстве Х. Числа а„, й=1, 2, ..., определяемые по формуле (60.23), и в этом случае называются коэффициентами Фурье элемента у по системе (60.27). Определение 4. Ряд Я ',1 алЕл, (60.28) л=1 Х- ,'1 алЕл.

л=1 Определение 5. Пусть задана орспогональноя счете.иа 160.27) и элемент х е Х. Наилучшим приближением элел1ента х с л помощью линейных комбинаций вида ,'1 пье1. (и -- фиксировано) 1 — -1 называется число Ел(х), определяемое равенством л Ел(х)= 1пГ )х — 2 1х,е,, п=1, 2, где нижняя грань берется по всевоз.ножным коэффициентам ам ... ..., с1„, или, что то же, по всевозможным,шнейным комбинациям л вида ,'> аьеь.

1=1 Поскольку всякая линейная комбинация элементов е, .,.„ ел может .также рассматриваться н как линейная комбинация ЭЛЕМЕНТОВ Е,, ..., Ел, Ел,1, тО, ОЧЕВИДНО, 233 где ал, п=1, 2, .„,— коэффициенть1 Фурье (60.23) элеменп1а х по системе' (60.27), называется рядом Фурье элемента х по этой системе. Если ряд (60.28) является рядом Фурье элемента х, то пишется Е„л, (х ) < Е„(х). (60.29) Из теоремы 3 следует, что рассматриваемая нижняя грань достигается, если в качестве коэффициентов а, взять коэффициенты Фурье, и что Н Е„(х)= 1п1" х — „') а е х —,~ а„е„ (60.30) (е„, ед) Полученный результат сформулируем в виде следствия 2 из теоремы 3.

Следе гвие 2. Частичные суммы з„= ,') а„е„ 4=1 ряда Фурье элемента хеХ осуществляют наин»чшее в пространстве Х приближение элемента хнХ с помощью линейных комбинаций вида а,е, + ... + а„е„. Отметим еэце несколько следствий теоремы 3. С л е д с т в и е 3.

Если з„— частичная сумма ряда Фурье элемента хнХ, то числовая последовательность ~~х — з„(~ убывает: (60.31) ()х — з„.„))<()х — з„)), п=1, 2, В самом деле, согласно (60.30), йх — з„'а=Е„(х), п=1, 2, Поэтому неравенство (60.31) является неравенством (60.29), записанным в других обозначениях. Следствие 4. Для коэффициентов Фурье а„, п=1, 2, каждого элемента хеХ справедливо неравенство (60.32) называемое неравенством Бесселя.

Неравенство (60.32) непосредственно следует из неравенства (60.26) при п-+со (ср. с неравенством (55.49) в п. 55.9)). Следствие 5. Если существует постоянная с>0 такая, что )~е„~а>с при и=1, 2, ..., в частности, если система (60.27) ортонормированная (в этом случае можно взять с=1), то 234 коэффициенты Фурье любого элемента хиХ стремятся к нулю при и- со (60.33) !пп а«=0. л л Это следует из сходимости ряда !!к!!~ Х а'< — ,'! а'!!» !!'<— ибо общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Естественно возникает вопрос: при каких условиях ряд Фурье элемента х сходится? Теорема 4.

Если пространство Х гильбертово (т. е. полно), то ряд Фурье (60.28) любого элемента х н Х по любой ортогональной системе (60.27) сходится в пространстве Х. Если х„его сумма: хо= ~~ алел, (60.34) то элемент х — хв ортогонален ко всем элементам системы (58.27). Доказательство.

Пусть эллл „'!" а,е„п=1, 2...,— частичь=! ные суммы ряда Фурье (60.28) элемента х по системе (60.27); тогда л+р 2 !л «+р л'! р !!влэ„— «л!!э= ,'! а,е„=1 ,'! а,е„, 2 а„е, «=л+ ! «=л+ ! !=«+! л «р а«э !!е„!!з, и=-1, 2, .... р=1, 2,... (60 35) «=л-!- ! В силу неравенства Бесселя (5.32) ряд ,!„а„!! ел !! сходится, и, следовательно, в силу критерия Коши для сходимости числового ряда, для каждого числа а>0 существует такой номер п„что при п>п, и р>0 выполняется неравенство ! р 4!!е !!'<а' ь=«4 1 поэтому, согласно неравенству (5.35) при п>п, и р>0, имеем 235 п=! где ап — коэффициенты Фурье элемента х по системе (60.27). Равенство (60.36) называется равенством Парсеваля — Стеклова.*' В случае, когда система (60.27) ортонормирована, равенство Парсеваля принимает более простой вид 11х1)гпп 2' аг, ап=(х, еп), п=1, 2, и= 1 и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на бесконечномерные пространства.

Доказательство теоремы 5. Мы имели (см. (60.25)) П г П х — ,'1„а!е! =!!х!!' — Х аг)1е!()'. 1--1 1=1 Переходя здесь к пределу при и-+со, получим эквивалентность условия П 1пп х — 2 а,е„= 0 (60.37) *' В. А. Стеклов (1864 1926) — русский математик. 236 !1вптк — вп!!(а т. е. последовательность (вп ) является фундаментальной в просгранстве Х и вследствие полноты последнего сходится. В условиях теоремы последовательность вп сходится, вообще говоря, не к элементу х. Пусть ее пределом является элемент х, П т. е. хопп ,'! апек, тогда, использУЯ непРеРывность скалЯРного п=! произведения (см. п. 59.3) и формулу (60.23), получим (х — х, е )=(х, е,)-(хо, е!)пп =(х, е ) — (,'! апек, е! )=(х, е„)- '„! ап(еп, е,)пп 1 / «=! =(х, е„) — а!11е 1(1=0, й=1, 2, ...

П Что же касается условия сходимости ряда Фурье некоторого отдельного элемента к самому этому элементу, то его можно сформулировать в следуюп!ем виде. Теорема 5. Рчд Фурье (60.28) элемента х предгильбертова пространства сходится к этому элементу тогда и только тогда, когда для него выполняется равенство 11 х 1)г ~~ а 111е„11 г, (60.36) и условия е !пп (!г!(х!)з — 2 аьг!(е ))! =0 и е! ь=! т.

е. условия то 1пп х — ',! а„е„= О. а ь=! (60.41) Следовательно, для каждого числа с > 0 существует такая е частичная сумма я„= ,'! ахе! ряда Фурье (60.28), что е=! ~!х-в„!)се, т. е. выполняется условие (60.39). (60.42) 237 !!х!!!=!пи „'! а~)!е„)!-. Г (60. 38) ~!=! Напомним теперь понятие полной системы (см. п. 58.5) применительно только к случаю счетных систем. Система элементов е„е Х, и=1, 2, ..., называется полной, если множество конечных линейных комбинаций элементов этой системы плотно в пространстве Х.

Характеристики

Список файлов книги