kudryavtsev3a (947417), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это означает, что для каждого элемента хеХ и каждого числа а>0 существуют такой номер п=п(а, х) и такие числа Х„..., Х„, что выполняется неравенство !!х — (7.!е!+ ... +) „е„)!! < с, (60.39) Полнота ортонормированной системы является условием, обеспечивающим сходимость ряда Фурье любого элемента пространства к самому этому элементу. Сформулируем зто условие в виде теоремы. Теорема 6, Ряд Фурье по ортогональной системе (60.27) .иобого элемента предгильбертови пространства сходи!пся к самому этому элементу тогда и только тогда, когда система (60.27) является полной. С л едет в не. Для того чтобы ортогональная система (60.27) предгильбертова пространства Х была полной в пространстве Х, необходимо и достаточно, ч>пабы для л!обого элемента хнХ выполнялось равенство Парсеваля,(60.36). Доказательство теоремы 6.
Пусть Х вЂ” предгильбертово пространство и система (60.27) является ортогональной системой этого пространства. Если для любого хеХ его ряд Фурье по системе (60.27) сходится к х, т. е. х= ,'! а„е„, где а„= — '",, и=1, 2, ..., (60.40) (х, е„) !1 е.!!" Обратно, если условие (60.39) выполняется при каких-то коэффициентах 7 „..., ).„, то оно заведомо выполняется согласно теореме 3 и в случае, если взять 7.! =а,, ..., ),„=алл т. е, в этом случае для заданного в>0 выполняется условие (60.42) при некотором и, а значит, и при всех т>п (см. (60.31)), а это равносильно выполнению условия (60.41). П Следствие непосредственно вытекает нз теорем 5 и 6.
Выясним теперь вопрос о единственности элемента, имеюще- го данный Рад 2' плел своим РЯдом ФУРье. л=1 Теорема 7. Если ортогональная система (6027) предгиль- бертови пространства Х полная, то элемент х аХ, у которого все коэффициенты Фурье по системе (60.27) равны нулю, сам равен нулю. Следствие. Иэ равенства всех коэффициентов Фурье у двух элементов простринства Х по полной ортогональной системе (60.27) вытекает равенство самих элементов.
Доказательство теоремы 7. Если система (60.27)— полная, то согласно теореме 6 любой элемент х~Х является сУммой своего РЯда ФУРье: хлл 2' алел. ПоэтомУ, если ил=О, л=1 и=1, 2,..., то и х=.О. Доказательство следствия. Если л, ~Х, хгяХ и их коэффициенты Фурье равны между собой: — — ,", и=1, 2,..., 11е„1~ г 11е„~11 то для элемента х=х,— х все коэффициенты Фурье равны нулю: г г ~1е 111 11е 8г и, следовательно, согласно теореме, х=О, т. е. х, =х,. 3 Замечание.
Следует отметить, что если в предгильбертовом пространстве Х задана некоторая ортогональная система (е„), е„ФО и для некоторого х вХ существует его представление в виде Х= ,'1 ХлЕл, л=1 то оно единственно и коэффициенты хл, п=1, 2,..., являются коэффициентами Фурье.
В самом деле, если указанное представление существует, то для любого т = 1, 2,..., в силу ортогональности системы (е„)~, получим 238 откуда (х, е )лл 2 хлел, е = 2 хл(ел, е )=х (е, е ), Хл=1 / л=1 (х, е„) (е„, е„) Это означает, что коэффициенты хл, п=1, 2,..., в рассматриваемом представлении являются коэффициентами Фурье элемента х по системе (ел) и, следовательно, такое разложение единственно, Объединив утверждение с теоремой 7, получим, что два элемента линейного пространства со скалярным произведением равны тогда и только тогда, когда они имеют равные коэффициенты Фурье по некоторой полной ортогональной системе.
Итак, если в предгильбертовом пространстве имеется полная ортогональная система, то всякий элемент этого пространства раскладывается в ряд по этой системе (теорема 6), и притом единственным образом, согласно сделанному замечанию. Иначе говоря, (см. определение 24 в п. 58.5) всякая полная ортогональная система (ел), ел=О, п=1, 2,..., в частности всякая полная ортонормированная система предгильбертова пространства, является его базисом. Например, согласно результатам п. 60.3, полиномы Лежандра (60.3) образуют базис в гильбертовом пространстве Е [ — 1, Ц, а тригонометрическая система (60.2) — базис в гильбсртовом пространстве Ез'( — к, Рассмотрим теперь еще один подход к понятию полноты ортогональной системы в полном пространстве. Определение 6.
Ортогональная система (60.27) называется замкнутой, если в пространстве Х не с)ществует элемента, отличного от нуля и ортогонального каждому из элементов этой сис1пемы. Теорема 8. Если пространство Х полное, то ортогональная система (58.27) полна тогда и только тогда, когда она замкнута.
Доказательство. Если система (60.27) полная, х~Х и х ортогонален всем элементам системы (60.27), то все его коэффициенты Фурье по системе (60.27) равны нулю (см. (60.23)); следовательно (теорема 7), х= О. Обратно: пусть система (60.27) замкнутая, х1аХ и х „'!" алел. л=1 Согласно теореме 4, ряд Фурье элемента х сходится, и если хо= '„! алел, то х — х .1е„, п=1, 2, ....
Поэтому, в силу замкнул=1 тости системы (60.27), х — х =О, т, е. х=х„и, следовательно, 239 и х = ,"~ а„е„, Так как х — произвольный элемент пространства х, то «=1 отсюда, в силу теоремы 6, и следует полнота системы (60.27). г2 Задача 42. Выяснить, эквивалентны или нет понятие полной ортогональной системы и понятие замкнутой ортогональной системы во всяком предгильбертовом пространстве. 60.5.
СУЩЕСТВОВАНИЕ БАЗИСА В СЕПАРАБКЛЬНЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ИЗОМОРФИЗМ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Те о ре м а 9. Во всяком свпирабельном линейном прост- ранстве со скалярпым произведением существует ортонорми- рованный бизис. Доказательство. В том случае, когда пространство Х п-мерное, теорема очевидна (см. и. 18.4 и 59.2), поэтому будем рассматривать только случай, когда пространство Х бесконеч- номерно.
Поскольку пространство Х сенарабельно, то в нем существует последовательность элементов гр„. п=!, 2,..., образующих полную систему. Отбрасывая последовательно те из элементов, которые являются линейной комбинацией осталь- ных, получим последовательность элементов чэ., п=1, 2,..., имеющих ту же линейную оболочку, что и исходная система Угр„), и линейно независимых (почему?) Применив к полученной системе процесс ортогонализации (см. п.
60.2) и нормирования (см. и. 60.1), получим ортонормированную систему с„, ~!на 11=1, )с=1, 2,..., имеюгцую ту же линейную оболочку, что и система 19э„~), а значит, ту же, что и система (гр„,'. Поскольку в силу полноты системы (гр„) эта линейная оболочка йлотиа в Х, то система (е„у' полная. В пре- дыдущем же пункте (см. замечание после теоремы 7) было показа- но, что всякая полная ортонормированная система элементов предгильбертова пространства является его базисом.
() Теорема 10. Все сспарабельные бесконечно. мерные гильбер- товы пространства ггзоморфны между собой*'. Предварительно докажем две леммы. Первая из них обобщает равенство Парсеваля (60.36). Лемма 4. Т!усть Х- — предгильбертово просэприггство, с„(е„ФО), п=1, 2,...,- полная ортогони.гьная система в Х, х~Х, *' Определение бесконсчномерностн пространства см. в п. 58.1, а иэоморфиэмп пространств - в п. 59.3 (определение 3).
240 уиХ, и пусть х ~ а,сл, у ',! Ьле„; л=1 тогда (х, у)= 2 а„Ь„!)е„))', и=й (60.43) в частности, если дополнительно предположить, что ))е„))=1, п=1, 2,..., то (х, У)ли 2 алЬи. л=! Формула (60.43) обобщает. очевидно, формулу для скалярного произведения в конечномерном пространстве (см. п. 18.4). Доказательство.
По определению коэффициентов Фурье, (х, ий) (у, лй) а„= ~! 2 ' )~ ~! 2 ' поэтому имеем с и л и х — 2 а„е„, у — 2 Ьйей)=(х, у) — ,'1 Ь„(х, е„)— й=1 й=! й=! и и л — ,'! а,(у, с,)+ „"1 а,Ь,(е„, е„)=(х, у) — 2'айЬй))ей)~2. (60.44) Из полноты системы ел, и=1, 2,..., имеем л 2 и !пп (х — ',1" а!ей ) = О, !пп ( у — ',1 Ь„е„= О, л — ой, 1,=1 241 поэтому в силу непрерывности скалярного произведения при и- оэ левая часть равенства (60.44) стремится к нулю, следовательно, это имеет место и для правой части, т. с. 1пп ~ айЬй))ей))1=(х, у).
и ой — 1 Это равносильно равенству 160.43). П Лемма 5. Пусть Х-- гильбертово пространство, е„, /с=1, 2,...— ортонорзиированный базис в Х и ай )1=1, 2,...--последовательность чисел таких, что ряд 2 айй сходится, Тогда ряд й=1 о х ",! а,е„сходится в пространстве Х, и если х= 2 а,е,, то а„, й=1 йи! 11=1, 2,...-- КОЭффициЕНтЫ ФурЬЕ ЭЛЕоЧЕНта Х. л Доказательство.
Если ел= ,'! а„е„, то г=! / лл-р лл! 11з л — з„~~г=~ ,'! а,е,, ',! а„е„ ! — л+! ! — ли ! л+р р=л! ! и в силу сходимости ряда ,'! аг он удовлетворяет критерию л=! Коши для сходящихся рядов. Отсюда следует, что последовательность (ел) является фундаментальной в пространстве Х и, следовательно, сходится. Пусть х= 1пп ал, г.
е. хлл 2 але„; л=! тогда, в силу единственности разложения элемента пространст- ва по базису (см. замечание к теореме 7), (х, е„) = ал, и = 1, 2,..., т. е. ал коэффициенты Фурье элемента х. П Доказательство теоремы 10. Пусть Х и У вЂ” два сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространства. Согласно теорсме 9, в них существуют ортонормированные базисы, соответственно ел, и=1, 2,..., и 1„', илл1, 2,.... Пусть х!иХ и хлл 2' але„; тогда ал коэффициенты Фурье л=! элемента х и, следовательно, по равенству Парсеваля, ряд 2 а„' л=! сходится. Положим у= '„! а„/'„. Согласно лемме 5, это имеет л=! смысл. Отображение пространства Х в пространство У, ставящее в соответствие каждому элементу х~Х указанный элемент у и У, и осуществляет изоморфизм этих пространств.
Действительно, прн этом соответствии в силу единственности разложения элемента по базису разным элементам пространства Х соответствуют разные элементы пространства У. Далее, всякий элемент пространства У поставлен в соответствие некоторому элементу пространства Х (т. е. указанное отображение является отображением на пространство У); в самом деле, если уа У, то, разложив его в У по базису, получим 242 и=1 Это определение имеез смысл, ибо из сходимости рядов ~ х11 и 1=-1 ~ у11 вытекает и сходимость ряда ,'! Х„у . Это, например, 1=1 1=1 следует из неравенства Гельдера для рядов при р= 2 (оно в этом случае часто называется неравенс!вом Коши- -Шварца), но может быть получено н из элементарного неравенства хк +уй Х!У1< ' 2 Норма в пространстве / определяется согласно общему правилу по формуле йх()= ~ х!1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
