kudryavtsev3a (947417), страница 45
Текст из файла (страница 45)
комплекснозначная ступенчатая функнкя и с'И- ее преобразование Фурье, тогда 259 1~ Р'И1! = 1Л Доказательство. Если функция Г задана формулой (60.85), то Щ = Г(х)Г(х) с!.т= и Г "„,,"„. ~ со,(х)ез„(х)сХл= 2. К~!!'(х! — х,,). (60.86) ! й=! /=! Пуст.ь тец 0 с т1 < + х; тогда ч Еиг"Ий = —, Иу ~'(х)е !*х г(х Г(';)е!!х гЦ= 2 к Я ! ч — ч — х !с +х — .1(- И1) !7- а!5 е"" "'4'= — — к Лх)Ю)""."(", "~х 7~ (60.87) Все преобразования здесь законны, так как на самом деле все интегралы берутся в конечных пределах. Поскольку действительная и мнимая части функции 7(т) удовлетворяют условиям теоремы о представлении функций с помощью интеграла Фурье (см. теорему ! в и. 56.1), то для всех т, кроме л = зс!, 1г = 1, 2, ..., л, имеем (см. доказательство указанной теоремы) ьх 1(пз — ЯЦ) "-,' ' ' — сЦ =/(х).
260 Оказывается, что в силу зтого, при наших предположениях в последнем интеграле (60.87) можно перейти к пределу под знаком интеграла при т( - + сс. Однако соответствующая теорема не была доказана в настоящем курсе, и потому нам придется сделать несколько дополнительных вычислений. Подставляя (60.85) в (60.87), получим 1! х! х Г[у]Г[у] )(:=- ~;,Ъ„)х "сх=! Ц х! — ! .х! П (.х! — —,! ~2 ", «Гх хг Г яп (! (с — и) ; †.Т х! х! '— 'пп' )«.
« (60.88) П (х! х! Рис. 263 ис. 262 ния (рис. 262) и производя интегрирование по переменной х, получим: хч П (хх — х! п(хх — хх ! ! | яп « (»„— х„( — — ) — -Й+ (! о «Х» — «(« =- х! ! П(х! ! — х! о «и(п! (хс — хс ! + --) — — «(« «1 « — 1! (.хк — хя ! ! П(хХ-хс ! ! =-(,—,,) ' Й+ — -[! — соя»)(»,— х,,)]. о Поскольку о 26( Рассмо грим поведение каждого слагаемого получившейся суммы при т)- + х,.
Если «=)«, то, меняя порядок интегрирова- (см. и. 54.4), то Ч(хх-х! ! ) 1пп -(х,— х„,) й=х,— х„ .)х и ! (> Далее, очевидно, 1пп — [1 2 ч поэтому «! ч (х! — ) — сов з)(х„— х,,)1=0, !пп — " йх " й=х,— х„,, )с=1, 2, ..., л. ч--(. ! «(х! ! — х) х! ч(хх )-х () !)(х! (-х )) ! «1п ! (х — х„,+ — ) й- 0 при >)- оо. ч х(«Х ! — «) Теперь из (60.88) имеем х )(г"Щ(з= ГИЕЯс[х= 1пп ГЯг"ЯЫу= 262 Покажем теперь, что при )Ф/( х х (х),-х) 1пп (1х й = О. ип ! хх ! х ! Ч(хь ! — х) Пусть для определенности х,, <х <х„, <х!. При других расположениях полуинтервалов йостоянства [х! „х, ) н [х„,, х, ) доказательство аналогично.
Меняя снова порядок инте! рирования и производя интегрирование по х (рис. 263), с помощью аналогичных рассуждений получим х! Ч(хх-х) ч(х —. > и ( х '!' — ! ,/ '' ч ! ! Ч(х! — ! '> ./ Ч(«! — х ) = ,'г [ь,ь[з(хь — хь г)=)[>[[2. П ь=г Лемма 8. Пусть [ — комплекснозн>1чная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь) и равная >сулю вне его, тогда существует последовательность пгаких ступенчатых функций гр„, н=1, 2, ..., что 1пп [[гр — гр„[[=0.
Доказательство. Для действительных функций это следует из леммы 6 п. 59.4. Пусть теперь гр=и+го — комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь); тогда действительные функции и и о также непрерывны на отрезке [а, Ь). Поэтому существуют такие последовательности ступенчатых функций >и„) и (е„), что ~[и — и„[[-+0 и [[о — с„[[-+0 при и-+со. Если гр„= и„+ гс„, то )[чг — гр„[[ ( )[и — и„[[+[[с — с„[1, отсюда [[цг — гр„[[- 0 при и- со. Г) Лемма 9. Пусть комплекснозначная функция гр непрерывна на отрезке [а, Ь [ и равна нулю вн» его, >погда [[Е[р1[[= [ р[[.
Доказательство. Пусть гр„— последовательность ступенчатых функций таких, что 1пп [[гр — гр„[[=0 (см. лемму 8), тогда в силу непрерывности нормы, 1пп [[гр„)[= [[<р [[. Из неравенства же Коши — Буняковского получим (б0.89) ь >'ь ь, >'ь ) ~гр„(х) — гр(х)[гг>х<~ ) сгх) г>з ~ ) [<р„(х) — гр(х)~з агх а а а >'ь =(Ь вЂ” а) иа ~ ) ~гр„(х) — гр (х)['сгх О и, следовательно, 1пп ) [гр„(х) — гр(х)~ Ых=О, а 263 т. е. последовательность (гр„) сходится в среднем к функции гр и в смысле 2,>. Поэтому если ф = У' ( ср ), ф„= Г ~ср„), л = 1, 2, то последовательность непрерывных (см, следствие теоремы 2 в и. 56.7) функций (ф„) равномерно сходится к функции ф, которая в силу этого непрерывна на всей числовой оси.
Кроме того, в силу леммы 7, !!ф. !! = И„!! (60.90) Отсюда следует„в частности, что непрерывные функции являются функциями с интегрируемым квадратом модуля, т. е. принадлежат пространству Е,( — сс, +со). Далее, функции ф„, п=1, 2, ..., образуют фундаментальную последовательность в пространстве Е ( — ~х, + со ). Это следует из сходимости в среднем в смысле Л последовательности (д„) и из равенства Ю х т. ) !ф.(у) — ф (у))з4'= ) )ср.(у) — р (у)~'Ф', которое также вытекает из леммы 6, ибо разность ступенчатых функций также является ступенчатой функцией. Покажем, что последовательность (ф„) сходится к функции ф и в пространстве У.з.
Действительно, пусть фиксировано е>0, тогда, в силу фундаментальности последовательности(ф„), существует такой номер и,, что для всех п > и, и т > л, выполняется неравенство !1ф.— ф.!!'= ) 1ф.(у) — ф.(у)!'Ф< Тем более, для любого числа с >О будем иметь с ( !ф„(у) — ф„,(у)!' с!у <а. (60.91) — с При фиксированных и и с при т- х подынтегральное выражение в (60.9!) равномерно стремится к функции !ф„(у) — ф(у)~~, Поэтому в неравенстве (60.91) можно перейти к пределу под знаком интеграла при т-+со. В результате будем иметь с ) !ф„(у) — ф(у)! 4:<с.
-с Устремляя теперь с к +х,, получим, что при п>л, выполняется неравенство !ф„(у) — ф(у)!'с!7 <с, что и означает сходимость в среднем в смысле 1., последовательности (Ф„) к функции Ф. Из доказайного следует также, что Фш Т.г( — оз, + со). Действительно, в силу (60.90) и (60.92), !(И < 11Ф вЂ” Ф. 1!+ ~1Ф„11 ~+ о.
Наконец, из неравенства (58.10) и того что 1пп 11Ԅ— Ф 11=0, получим 1нп 11Ф„11 =11Ф 11. (60.93) и 1 Фм(у)= — ~ »р(х)е»" »1х, М>0. Тогда: 1) функ»)ия Фм(у) также непрерывна и с интегрируемым на всей числовой оси квадро>пом, 2) при М-++ со фу>»к»)ии Фм сходятся в пространстве Е.е( — оэ, +со) к ><екотороиу >лементу ФшТ.>1 — со, +со) и 3) 1! р~~=~!Ф11. Доказательство.
Если »р(х), если хш [ — М, М3, »рм (х) = О, если хв[ — М, М3, то, очевидно, Фм = с [»Рм3 1цп»р„=»р в Т.,( — со, +со), м-»- е (60.94) 1пп 11»р, 11 =11»р 1!. (60.95) Согласно лемме 8 '1'1Фм8=~1(<Рм!111, М>0 (60.96) м М. Нлвишереиь 11555 — 1Рбт)--швейцврекий мвтемв»ик. 2б5 Из (60.89), (60.90) и (60.93) следует, что ПФ!1=И р|~ Т е о р е м а 19 (теорема План»нереля*)). 1Ту»>п>ь функ>)»>я»р непрерывна и с интегрирусл»ь» и кв адрон>ол» модуля на всей числовой оси и пусть 11 грм, — грмг11 =1ррм, — ~рмг11 Мг > О Мг >О (60 97) Из (60.94) и (60.97) следует, в силу полноты пространства Е,( — со, +ос), что существует предел (почему?) 1пп фи=а в Е,( — со, +со).
'- ж В силу непрерывности нормы, 1пп ~~гР 11=!1И (60.98) из (60.95), (60.96) и (60.98) имеем ~~И=П Р~~. 1~ Полученный в процессе доказательства элемент гр~ ~ Ег ( — оо, + со) мы будем также казываз.ь преобразованием Фурье заданной непрерывной функции <р а Е, ( — оо, + со) и писать (60.99) ф=~(р 1.
Эта запись естественна„так как если функция ср, кроме того, и абсолютно иктегрируема, то 1пп гр совпадает с обычным м +~ преобразованием Фурье. Действительно, в этом случае !пп ) 1срм(х) — <р(х) ~с(х=О. м +~ Следовательно, фУнкции гРм — — г'ЕсР 1 пРи М- со РавномеРно сходятся к преобразованию Фурье г(ср1 функции <р, Как мы видели, грм сходитсЯ в сРеднем в смысле Е, к фУнкции гр1 отсюда нетрудно убедиться, что гр =Г(<р1 (сравните аналогичное рассуждение в доказательстве леммы 9).
Преобразование Фурье (60.99) определено пока лишь для тех элементов <р~Е ( — со, +со), которые являются непрерывными функциями с интегрируемым квадратом, однако по непрерывности оно может быть распространено на все пространство Ег (- оо, + со). Действительно, пусть ср — произвольный элемент из пространства Е, ( — со, +ос). Согласно определению пространства Е,( — оо, +со), множество непрерывных функций плотно в нем. Следовательно, существует последовательность кепрерывкых функций <Р„~Ег( — со, +со), и=1, 2, ..., такая, что 1пп <р„=ср, т.
е. 1пп ~1<р„— <р~~=О. 2бб Пусть Г[у„) =Ч2„, и=1, 2, .... В силу теоремы Планшереля 'аф„— ф )(=()ср„— ср„Л, ~, =1, 2, ..., поэтому последовательность ( Р„) фундаментальна в Ьз и, следовательно, сходится. Пусть ф = 1пп Чу„. По определению полагаем Ф=Р [Р) (б0.100) Если <Р~~Е ( — сэ, +со), а=1, 2, ...,— — какая-либо другая последовательность непрерывных функций, сходящаяся в 1,,( — со, +со) к элементу <р, и если ф„'"=Р'[<р„*), то из равенства ~! ч.
— чГ!1 = И. — ф.*!! имеем !ип ф„* =ф. Таким образом, определение (60.100) не л ж зависит от выбора последовательности непрерывных функций, сходягцейся к элементу ~р. Для любого <р вй ( — со, +со) справедливо равенство ~~Р [Р)11=!М~1, что сразу следуе~ из того, что это равенство имеет место для непрерывных функций <рвТ2( — со, + со) и непрерывности нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
