kudryavtsev3a (947417), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Линейность его ) у (х)гр(х)гйх. (61.15) Таким образом, по определению, ( / (х) гр (х) г1х =(1; гр). Это равенство является определением символа (61.15), который формально читается как «интеграл от произведения Г' на гр». Эта запись отражает собой тот факт, что обобщенные функции являются обобщением функционалов (61.14), где т"- локально интег рируемая функция. Упражнение б. Доказать, что функционал еаь 1 — лх, ягогз, является - его обобгценной функцией (она обычно обозначается 3'-).
В качестве другоз о примера обобщенной функции расмотрим функционал, обозначаемый б =б(х) и называемый б-функцией (см. п, 61.1). Определение 15. Функционал, определяемый формулой (б, р)=р(б), р П, ггазыеаетея Ь-фуикиией. Как и'миг- знаем; не существует линейного функционала, принимающего одно и то же значение, не равное нулю, на всех точках пространства (см. и.
61.2). Постоянной обобщенной функцией с (в частности, нулевой) называется обобщенная функция, порожденная локально интегрируемой функцией Ях)=с, — сс <х<+ос. Таким образом„для любой основной функции гр имеет место равенство ьх гх (Г, гр)= ) егр(.х)агх=е ) гр(х)ах. Упражнение 4. Доказать, что две непрерывные на числовой оси функции различны тогда и только тогда, когда различны порожденные ими обобгценпыс функции. Иногда обобщенные функции обозначаются символом г(х). Это обозначение чисто символическое; оно отнюдь не обозначает значения обобщенной функции в точке хзи)к, а отражает лишь тот факт, что обобщенные функции являются в указанном выше смысле обобщением обычных (локально интегрируемых) функций; никакое значение обобщенной функции в точке х здесь не подразумевается.
Для обозначения значения обобщенной функции /' в точке гр=гр(х) пространства П наряду с записью (г'; гр) употребляется также запись означает, что йтп(~„, ср)=(у, гр) и- для любой функции срщ0. Задача 43. Пусть Г„нЬЗ', и=1 2...., и пусть лля любой функции еыд существует прелел числовой последовательности (/„, щ). Положим, Н(П)= = йпз(г'„', <р). Доказать. что Г(гр) является обобщенной функцией. В и. 61.1 мы рассматривали функции б, (х), которые, очевидно, локально интегрируемы.
Мы видели, что они обладают тем свойством, что для любой непрерывной на всей осн функции гр и, следовательно, для любой функции грщтз 1(пт (б„гр)= !пп ( бк(х) ср(х) гХх=-гр(0)= (б, ср). '-+о е ьп-к С гочки зрения обобщенных функций зго означает, что в О' б хо г ьп Таким образом, 0-функция в пространстве О' является пределом последовательности обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. Упражнения б. Найти предел йгпсозит в пространстве П'.
7. Пусть последовательность абсолютно интегрируемых функций /„'(х), л= 1, 2, ..., такова, что: а) каково бы ни было число М>0 при (а( <М, (Ь(<М, величины ь () /„(к) Нх(, л=-1. 2, ограничены постоянной, нс зависящей от а. Ь, л (она зависит только от М); б) при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля, ь )О при и<Ь<0 и 0<а<Ь, '(1 при и<0< Ь.
Такие последовательности У„(х) (рис. 265) инзыаоютгл де гьгиа-логледосщте гь- паст ч.ии. Доказать, что для любой непрерывной функции чз и любой дельта-последо- вательности )'„(х), и=1, 2, (нп 1 /„( т) (р (х) гтг = чз (О). иначе говоря, (пп (/„', гу)=(б, гр). *' Как и для обычных функций. символ г. -г +О означае~, что указанное предельное соотношение имеет место для лобод послсловатсльносзи а„>0, и=1.
2, ..., сгрсмящейся к нулю. 284 8. Пусть );(х)= — -е '»> Доказать, что в пространстве (э' справедливо равенство 1пп У>(х)=6(х). -+о 9. Доказать, что в пространстве ))' существуег предел 1пп — (он обозначается , ) >я>> ,> -> >о > о и что справедливы формулы й п .т Рис. 265 — -.-= +!ябч-М>х>о Определение 19. Обобщенные функции !' и д называн>тся равными на интервале (а, Ь), если !' — 8=0 на (а, Ь). 61.4 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Определим теперь производную обобщенной функции. Выясним прежде всего, что представляет собой производная обычной непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функции Г рассматриваемая как функционал (!', гр) на Л.
Это имеет смысл, поскольку производная (', будучи непрерывной на всей числовой оси, являешься локально интегрируемой функцией. *' Ю. В. Сохоцкий (!842 — 1929) -русский математик. 285 (они называются формулами Сохоцкого"). Задача 44. Доказать, что всякая обобщснная функция является пределом обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. В этом смысле пространство обобщенных функций является «пополнением» просо.ранства обычных (локальцо интегрируемых) функций. Как мы видели, понятие обобщенной функции не сводится к понятию функции точки, и поэтому говорить о значении обобщенной функции в данной точке, в час~нос~и обращении ее в нуль в этой точке, вообгце говоря, не имеет смысла. Однако можно ввести естественное понятие обращения в нуль обобщенной функции на интервале.
Определение 18. Будем говорить, ч>по обобщенная функция !" обращается в нуль на интервале (а, Ь), если ((; гр)=0 для всех гр е 1), которые имеют носитель, содержащийся в интервале (а, Ь). Упражнение 1а, Доказать, что дяя того чтобы непрерывная функция обращалась в нуль в каждой точке интервала, необходимо и достаточно, чтобы она обращалась в нуль на этом интервале как обобщенная функция. Интегрируя по частям, в силу финитности функции <реР, получим (Г', ~р)= )' ('(.
) р(х)ак= — )' ((к) р'(х)д. = = — (г', р'), (61.17) причем, как известно, <р'еР. Таким образом, производная 7' является функционалом на Р, значения которого выражаются через значения функции /, рассматриваемой как функционал, с помощью формулы (61.17). Это делает естественным следующее определение. Определение 20.
Производной обобщенной функции ф низывается функционал на Р, обозначае.иый 7' и определяемый равенством (7', (р) = — ((, <р'), <р и Р. (61.18) Иначе говоря, значение функционала 7" в любой точке у пространства Р равно значению функционала 7' в точке д'нР, взятому с противоположным знаком.
Таким образом, любая обобщенная функция имеет про- изводную. Отсюда следует, что и любая локально интег- рируемая функция имеет в смысле определения 20 произ- водную! Из формулы (61.17) следует, что производная в обычном смысле непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функции, рассматриваемая как функционал над Р, совпадает с ее производной в смысле обобщенных функций, Операцию вычисления производной обобщенной функции называют по аналогии со случаем обычных функций дифферен- цированием. Лемма 4.
Функционал Г" является линейным непрерывным функционалом и, следовательно, обобщенной функцисй. Д о к а з а т е л ь с з в о. Проверим линейность: (Х', ) Р+НФ)= — (Х ().Р+НФ)')=-((, ) Р'+НР')= '= —" (7 Ф) — Н(7 Ф')=) (У -. <р)+Н(У', Ф), 9пР, ФеР. Для того чтобы проверить непрерывность функционала вспомним, что если р и Р, <р„еР, /с = 1, 2, ..., и 1пп ~р, = ~р в Р, з.о в силу определения сходимости в пространстве Р, и 1пп д(=~р' в Р; поэтому, если <р„- <р в Р, то 1пп (Г, у„)= — 1пп (з, <рь)= з' Ю)=У ° ~р) Ч б аким образом, если у н Р ', то т" всегда существует и 7'еР'.
П 2аб Производные высших порядков обобщенной функции..определяются последовательно, как и для обычных функций: вообще «<ы=-(У»" ")' й=1, 2, уто'=1' По индукции легко проверить, что (/т"', гр)=( — 1)" (/, гра'), грегу, к=0, 1, Согласно этому определению, обобщенные функции имеют производные любых порядков, или„как иногда говорят, бесконечно дифференцируемы.
Примеры. 1. Пусть 1, если .х>0, 01х)= (О, если х<0. Функция О(т) называется ур>нкг1ией Хевисайдгг (см, (61.10)) или единичнои функцией. Она локально интегрируема и поэтому может рассматривал ься как обобщенная функция. Найдем ее производную. Согласно определению (61.18), (О', гр) = — (О, гр) = ) О (х) гр' (х) гг х = — ) гр' (х) Их = о = гр (О) = (8, гр), гр е тт, т. е. О'=Б. В смысле обычной производной при любом х~0 имеет место О'(х)=0, а при х=О производная функции О(т) бесконечна: О'(О)=+ос. Поэтому, согласно равенству О'=б, иногда говорят, что функция б равна нулю всюду на числовой оси, кроме гочки х=0, где она равна +со (ср, с и. 61.1). Хотя это высказывание не является логически строгим, так как функция Дирака Ь не есть обычная функция и поэтому нельзя говорить о ее значениях в отдельных точках, оно бывает иногда удобным при правдоподобных рассуждениях.
2. В качестве другого примера вычислим производные б-функции: Упражнения. 11. Пусть У н К .обобщснныс функции, х и р — числа. Доказать, что Р4 ч рк) ' = ху ' т р к '. 12. Доказать, что а оросгранстас обобщенных функций: а) ~хр=ккггх; зат б) ~х ~'=0 где !. = х. если х>0, (О, если х<0. 13. Доказать, что ( — Ч-Х)0(х)е '*=Ь(х). 1!зх ) !г пз х!г 0(х) з!и юх 14. Доказать, что ( — з-таз~)- — =6(х). ) ! с (- при (х~<-, 15. Если 6,(х)= то в пространстве обобщенных функций с 2 с 0 при ,'х!>- 2 6 хь- †х —— 1пп Ь, (х) = 6 (х) и Ь',. (х) = — —- (Д(х) при х<х, 1б.
Пусть у"(х)= где функции Г! (х) и У)(х) непрерывны и 1'гх(х) при х>ха, кусочно-непрерывно дифференцируемы на всей числовой оси И (следовательно, в частности, существуют пределы г (хе ч-0)). Найти производную р (х) в пространстве 0'. 17. Пусть функция у(х) непрерывно дифферснцируема на всей числовой оси, Найти производную (ОУ)' в пространстве В'. 18. Доказать, что если у'-- кусочно-гладкая функции, имеющая в точках х„..., х„разрывы первого рода со скачками д!,, р„, то ИЯх) Р(х)= 4 ~ р„Ь(х — х,), !=! г(у где Р— обобщенная, а — -.обычная при хФх! производная, в=1, 2., л а!х Лемма 5.
Пусть /'„ОР', т'ОР' и 11 Л=Х (61.19) тогда и 1пп у.'=/', (62.20) т. е. для любой сходягцейся в Р' последовательности обобгценных функций производная предельной функции равна пределу последовательности производных. Доказательство. Для любой функции греР (Х', гр) — (г"'„, гр)= — ((у, гр') — (Уа, гр')1-+О при п — ~ос, ибо гр'ОР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
