kudryavtsev3a (947417), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

В самом деле, если для всех х~вХ имеет место равенство г"(х)=с, то, в частности, с=ДО)=0. В линейном пространстве линейных непрерывных функционалов пространства Х понятие сходимости последовательностей определяется следующим образом. Определение 6. Последовательность функционалов у'„„~=1, 2, ..., называется сходящейся к функционалу г, если последоватегьность значений фгнкционалов ~'„сходится в каждой точке х~Х к значению в ней функционала ~ иначе говоря, если дяя любого элемента х~Х числовая последовательность ((з„', х)) сходится к числу (7'; к). Таким образом, утверждение 1пп/„'=у равносильно утверж- дению !пп (7'„, х)=(Г, х) для всех к иХ.

При таком определении сходимости функционалов операции их сложения и умножения на число непрерывны (это непосредственно следует из линейности функционалов и из свойств пределов числовых последовательностей), и, следовательно, 277 если ввсггтн.понятие сходимости функционалов согласно определению 6, то будет справедливым следующее утверждение, которое мы сформулируем в виде отдельной леммы. Лемма 2. Линейные непрерывные функционалы, определенные ип пространстве со с:года.частью, также образ)чот линейное просигранетво со с.ходилюстыо.

Определение 7. Лингийнос ирострпнство со сходи мастью, элементалги котороео являются линейные непрерывные функционалы, оиреде.генные на иростракстве Х, называется пространством, сопряженным Х. Как мы знаем, в случае гильбертовых пространств (см. п. 60.8) сопряженное пространство изоморфно самому пространству. В общем случае это не имеет места. Пусть Х и 1' линейные пространства со сходимостью, причем каждый элемент пространства Х является элементом пространства У, и пусть всякая последовательность х„~Х, и=1, 2, ..., сходящаяся в Х к элементу х, сходится к х и в )'. В этом случае будем писать Х~ К Определение 8. Говоряиг, что линейный непрерывный функционал г', определенный иа пространстве Х 1', продолжаем нп пространство у в линейный непрерывный функционал, если сугцествует тпкой линейный непрерывный функционал )с, определенный на ггространстве г', что 1с, х) =(Г, х) для всех .хгвХ 1т.

е. Р=Г на Х). В этом слугчае функционал Р называется продал,>кение и функциоиалп Г. Упражггсние ). Пусть Х и У -линсйньн пространства со сходимосгью. Доказать, что если Хч У и множесэ во Х плотно в пространсгве У (т. е. каждый элемент из пространства у является пределом в этом пространстве последовательности элсмегпов из Х), то всякий линейный непрерывный функпионал пространства Х, продолжаемый в линейный непрерывный функционал пространства У, продолжаелг единственным образом. Как и для отображений любых линейных пространств, для пространств со сходимостью имеет смысл понятие линейного отображения (линейного оператора) одного пространства со сходимостью в другое такое же пространство (см.

определение 7 в п. 58.1). Введем еще понятие непрерывного отображения одного линейного пространства со сходимостью в другое. Определение 9. Пусть Х, и Хз — два линейных про>тиранства со сходимостью. Отображение Ф прострпнствп Х, в Хг называетгя непрерывным в >почке хо иХг, если, какова бы ни были иос,гедовательность х„~ Х,, и = 1, 2, ..., сходягцаяся в пространстве Х, к точке хо, последовательность Ф)х„)яХ, п=1, 2, ..., сходится в Х к элементу Ф1.хо). Инача говоря, отображение Ф является непрерывнмм в точке хо, если из 1ппХ„=хо следует, что 1ппФ(х„)=Ф(хо). л т л х Л е м м а 3. Если линейное отображение Ф линейного пространства со сходимостью Х, в линейное пространство со сходимостью Хз непрерывно в пуле пространство Х,, то опо непрерывно и вс|одув Х,.

Доказат ельство. Пусть .х ~Х и 1ппх„=.х; тогда !пп(х„— х )=О. В силу непрерывности отображения Ф в нуле л ж 1пп Ф (х„—.хо) = О. Поскольку отображение Ф линейно, то Ф (.х„— хо) = Ф (х») Ф (хо) и, следовательно, 11ш[Ф(х„) — Ф(хо))=0, откуда 1ппФ(х„)=Ф(хо).

Таким образом, отображение Ф непрерывно в каждой точке хояХ1' Определение 10. Отображение Ф линейного пространства со сходимостыо Х, в линейное пространство со сходииостью Хо низывается непрерывным на Х,, если оно непрерывно в каждой точке пространства Х,. Для всякого линейного пространства Х со сходимостью имеют смысл понятие ряда ,'> и„, и„~Х. п=1, 2, ..., сходящегося и=! ряда и его суммы.

Эти понятия вводятся аналогично случаю линейных нормированных пространств. Это возможно, поскольку в соответствунпцих определениях из свойств нормы используется лишь то, что во всяком нормированном пространстве определено понятие сходящейся последовательности. Примеры линейных и непрерывных отображений пространств со схолнмостью будут даны в и, 61.6 и в п. 61.7. 6|ля ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЪ|Х ФУНКЦИЙ.

ПРОСТРАНСТВА В И Р' Определим прежде всего основное для нас линейное пространство функций О. Для зтого рассмотрим функции, заданные на множестве действительных чисел тс' и принимающие комплексные значения. 279 е " ", если !х) <а, О, если )х~ >а, (61.13) Упражнении. 2. Доказать, что функция (6).)3) бесконечно диффсренцируемв на всей числовой оси )ср. с 137.25)). 3. Доказать, чзо, для того чтобы лля функции дм0 сусцсствовала функция фмо такая, что сз=ф', необходимо и лостаточно, чтобы ) ср(С)Й=О. и Отрезок [а, Ь) содержит носители всех функций чь <р„, л=), ", . 280 Интересующее нас пространство 0 состоит из бесконечно днфференцнруемых фннитных функций (определение финитных функций см. в и.

55.2). Все финитные функции при естественным образом определенных операциях их сложения и умножения на число образуют линейное пространство, а бесконечно дифференцируемые финитные функции гкоторые мы будем называть здесь основными) — его подпространство.

Введем в этом подпространстве понятие сходимости последовательностей. Определение 11. Последоваизельгсоеть беекоскщно дифференцируемых финитных ф> нкций ср„, и = 1, 2, ..., называется еходящейе.я к бесконечно дифференцируемой финитной функции ср, если: 1) стщеспгвует огзгрезок ')а, Ь), вне которого все функции ср„, и=1, 2, ..., и ср ооращаьэтгя в нуль*', 2) на этом отрезке последовательность функисий ср„, п=1, 2, ..., и поеледовательногпш всех их производных ср'„), п=1, 2, ..., равномерно сходятся соотвепзетвенгсо ф)чскции ср и к ее производным ср' ', /с=1, 2„ Совокупность бесконечно дифференцируемых финит ных функций с введенной операцией предельного перехода является линейным пространством со сходимостью.

Это непосредственно следует из свойств пределов функций и свойств равномерно сходящихся последовательностей. Определение 12. Пространство оес конечно дифференцируемые финитньсх функций с введенной еходимостыо называетея пространством П основных функций. Очевидно, что если ср и2), го и любая производная функция ср принадлежит пространству П. Заметим еще, что если )ср„) сходится к ср в Л, то и последовательность )сер'"„') производных любого порядка /с= 1, 2,... сходится к срсп в 1).

Это непосредственно следует из определения сходимости в пространстве О. Тривиальным примером функции пространс;ва 2) является функция, равная нулю на всей оси, менее ср звнсщьным — функция (рис. 264) Рнс. 264 очевидна; докажем его непрерывность. Пусть !ппгр„=гр в 1г. Тогда существует такой отрезок (а, Ь1, что для всех п=1, 2, ...

имею~ место включения вирр оэя ~ (а, Ь| и вирр гр с ~а, Ь (; поэтому % ~К р)-К р.)К Х К(х)~>р(х)-р.(х)~ ~= ь ь = )' 'гу (х) ! ~ гр (х) — гр„(х) ~ гаях< вар ! ер (х) — гр„(х) ) ( (у (х) ~ Нх-гО и ~а, и О при п-+со. Таким образом, всякой локально интегрируемой функции ~(х) соответствует обобщенная функция (1; гр)*'; в этом смысле всякую локально интегрируемую функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. м В этом случае говорнтся также. чэо обобщенная функция 1й Е) порождается функцией у Определение 13. Всякий линейный непрерывный функционал у', определенный на с), называется ог)обгценной функцией.

Определение 14. Функци.ч ~, определенная на всей действа- в Д' телыюй оси, низывается локально ингпегрируезюй, если она абсогиоииго ишпе'рируегиа ни лнэбоял конечном о>презке. Если у - локально интегрируемая функция, а гР ~ 1г, то произведение уср абсолютно интегрнруемо на всей оси. Действительно, пусть анрр ср~ (а, Ь( (определение носители вирр яэ функции гр см. в п. 55.2); функция ер, очевидно, ограничена: ( ф (х) ! < С, — со < х < + хэ, поэтому ь ь ~ )'(х) ер (х) ~ с1х = ) ~Дх) ф (х) ~ с1х < С ) ! /(х) ! с1х. Х а и Определим для локально интегрируемой функции у функционал (у', ср) на )г равенством ч. е (Ьф)= ( у (х) гр(х)Их. (61.14) Этот функционал линеен и непрерывен.

Характеристики

Список файлов книги