kudryavtsev3a (947417), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Заметим, что мы не дали четкого математического определения самой функции Б(~) как функции точки 1вышс отмечалось, что формула (61.4) не является таким определением); это вообще невозможно сделать, так как дельта-функция является понятием другой природы. Мы же определили не функцию Ь((), а «интеграл» (61.5). Это не случайно. Характерным для многих задач физики является то обстоятельство, что вводимые для описания того или иного объекта функции имеют смысл лишь постольку, поскольку непосредственный физический смысл имеют некоторые интегралы от этих функций. Обобщенные функции и возникают как некоторое обобщение семейств интегралов от произведения двух функций, одна из которых фиксирована, а другая может выбираться произвольно из некоторой совокупности. И гак, нами определено новое понятие в понятие интеграла от дельта-функции (и даже более общее понятие интеграла от произведения непрерывной функции на дельта-функцию).

Это не обычный интеграл, т. е. не предел инте! ральных сумм, а предел соответствующих интегралов, или, образно выражаясь, «предел пределов интегральных сумм». Иначе говоря, для определения интеграла 1 б(х)Дх)дх надо к предельному переходу, дающе- » Х му значение интеграла ) б,(х) Г(х) г1т, добавить еще один предельный переход при а- О. Здесь наблюдается своеобразная аналогия с определением несобственного интеграла исходя из известного определения интеграла, мы с помощью дополнительного предельного перехода получаем новое математическое понятие, Конечно, дополнительные предельные переходы в этих случаях различны, это приводит к различным понятиям. 273 При новом определении символа (61.5) мы находимся в круге привычных нам математических определений, расширяющих запас понятий, с которыми имели дело раньше; нам удалось выявить одно интересное свойство дельта- функции б (г) (см.

(61.9) ): она сгавит в соответствие каждой непрерывной функции Я) число 7(0), т. е. дельта-функцию можно рассматривать как функцию, определенную на множестве всех непрерывных функций. Отображения, области определения которых представляют собой некоторые множества функций, называют.ся фулкнионадими. Дельта-функция является одним из простейших примеров функционалов.

Обобщенными функциями, которые упоминались в начале этого пункта, называются функционалы определенного вида (см. п. 61.2). Как мы видели, свойства дельта-функции определяются 1 свойствами функций бк(х). Если взять е =-, л = 1„2, ..., то л получится последовательность функций, которая, как и аналогичные ей в определенном смысле, называется дельта-образной последовательностью (точное определение дельта-образных последовательностей будет дано ниже: см.

упражнение 7 в п. 61.3). Всякая дельта-образная последовательность может служить для определения свойства (61.9) дельта-функции. Следует отметить, что мы уже встречались раньше с дельта-образными последовательностями: примером такой последовательности является последовательность ядер Фейера Ф„(л), и=1, 2, .... Однако мы не акцентировали внимания на последовательное~ах такого рода, поскольку они, не являясь самостоятельным объектом изучения, играли вспомогательную роль. Теперь мы перейдем к систематическому изучению обобщенных функций. Отдельные обобгценные функции возникли первоначально в работах П. Дирака и других физиков в качестве символического способа описания определенных физических явлений.

Для использования этих понятий в качестве метода теоретического исследования возникла необхолимость создания теории обобщенных функций, что и было сделано. Теория обобщенных функций является весьма полезным математическим аппаратом. С ее помощью удалось решить ряд задач, не поддававшихся решению старыми методами.

Ныне обобщенные функции широко применяются как в прикладных, так и в чисто математических исследованиях. В следующих пунктах этого параграфа мы изложим основы общей теории обобщенных функций, построенной С. Л. Соболевым и Л. Шварцем*'. 274 и С. Л. Соболев (род. в 190в ~), - советский математик. бъ2. линейные пРОстРАнстВА сО схОдимОсгъю.

ФУНКПИОНАЛЫ. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 1. Пусть Х вЂ” некогпорое множество и пусть в совокупности всех последовательностей (.х„г) его элементов, х„~Х, выделен некоторый клисс последовательностей, названных сходящимгил, и каждан сходящейся ггоследовательности поставлен в соответствие элемент хгвХ, называемый ее пределолг. Если ггри этом выполняются три ус'ловил: 1) каждая последовательность элементов множества Х может иметь >ге более одного предела; 2з всякая последовательность вида (х, х, х, ..., х, ...) является сходящейся, и ее пределом является элемент х; 3) всяксгя подпоследовательность сходящейся последовательности также являепгся сходящейся и имеет пгот же предел, что и вся последовагпегыгосгпь; то множесэпво Х называется пространством со сходимосгпью.

Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами Фреиге. Если х является пределом последовательности (гх„гг, то, как обычно, пишется .х= йпг х„. Определение 2. Линейное пространство Х называется линейным прострапсгпвом со сходимостью, если оно является пространством со сходимостью, относительно которой операггии сложения эггемегггпов пространства и умножения их но число являются непрерывными. Это означает, что для любых сходящихся последовательностей (х„) и (у„') элементов из Х, имеющих своими пределами соответственно х~Х и упХ, и любых чисел Х и р последовательность (Ах„+И5г„) также сходится и 1пп ().х„+ 1гу„) = Хх+ 1гу. Кроме того, если (л.„) — — числовая последовательность и !пп Х„=)., то 1пп ).„х=Хх для любого х~Х.

Примером линейных пространств со сходимостью являются нормированные линейные пространства; однако существуют линейные пространства со сходимостью, в которых нельзя ввести норму, порождающую заданную сходимость последовательностей. Важным для дальнейшего является понятие линейного функционала на пространстве со сходимостью, с которым мы 275 встречались в частном случае линейных нормированных просгранств (см. п. 41.б и 60.3). Определение 3. Отображения линейною проппранства Х во множество действительных чисел Я !или во множеспгво комплексных чисел С) называются функционалами, определенными на этом пространстве, или функционалами над этим проггиранств,и. Значение функционала Г' в точке х линейного пространства Х обозначается через (г', х), т.

е. так жс как скалярное произведение элементов г'и х в линейном пространстве Х со скалярным произведением. Это обозначение оправдываегся, в частности, тем, что скалярное произведение (у, х) при фиксированном элементе у является функционалом, определенным на указанном пространстве Х. Определение 4. Лусгпь Х линейное пространство. Функционал (', определенный на этом пространстве, называется линейным (гггочнее, линейным однородггылг), если для лгобых элементов хгпХ, у~Х и любых чькел ), !з выполнлепюя условие («', ) .+цу) =) (У, )+ р(Х «) Определение 5. Функционал «'; определенный на,гинейном проспгранстве Х со сходимостыо, называетсл непрерывнызг, если для любой сходлгцейся последова>пельности х„е Х, 1ггп х„=х, вьтолняетсл ус галие !пп (г', х„)=(/; х).

Функционалы, как и всякие числовые функции, можно складывать, умножать друг на друга, в частности на число. Например, если Г' и е- - функционалы, то значение функционала цгч-'рд (х и (3 числа) определяется в точке х вХ по формуле (а~'+(3Х, х)=а(1; х)+(3(я, х). Лемма 1. Лиггейиые непрерывные функционалы образуют линейное пространсгпво. Доказательство. Пусть | и я --линейные функционалы, сг и )3 — числа. Покажем, что о«+ (3е — также линейный функционал: (ц~+(3д, )х+!гу)=сг(у; )х+)г«)+(3(я, )х+)гг)= =а~).(/; х)+)г(г; у)]+)3~) (д, х)+)г(», «)]= =Яп(г' .

)+(3(я. х)]+!з!гг(г", «)+)3(ц. у)]= =) (сг1+(3я, х)+р(с!г+)3д. у), з. е. с!Г'+ )3я линейный функционал. 276 Пусть теперь ! и е — непрерывные функционалы. Покажем, что тогда и а~+!3й — также непрерывный функционал. Пусть !пп х„= х. Тогда 1пп (сф'+ 13е, х„)= 1пп ~и(!, х„)+В(е, х„)1= = а 1пп (7', х„)+ )3 1пп (е, к„) = и К х)+ Яй, х) = (и('+ !3я, х). Таким образом, во множестве линейных непрерывных функционалов естественным образом определены операции их сложения и умножения на число. Выполнение для этих операций аксиом линейного пространства проверяется безо всякого труда. П Любой функционал У; как н всякий линейный оператор (см.

п. 58.1), отображает нуль в нуль. Функционал, принимающий на всех точках пространства значение нуль, называется нулевым функционалом. Отметим, что если линейный функционал принимает на всех точках пространства одно н то же значение, то это значение равно нулю. Иначе говоря, кроме нулевого, не существует никакого другого линейного функционала, принимающего одно и то же значение на всех точках пространства.

Характеристики

Список файлов книги