kudryavtsev3a (947417), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Итак, преобразование Фурье отображает 5 в 5, при этом зто отображение взаимно однозначно (см. лемму 3 п. 56.5). Аналогично доказывается н то, что обратное отображение Фурье Г ' отображает 5 в 5 и притом взаимно однозначно. Легко убедиться, что на самом деле зги отображения происходят. на пространство 5, т. е. являются биекциями. Это сразу следует из формул взаимности (61.29) для прямого и обратного преобразований Фурье *'.
*' Заметим еще. что из того, что К(Я)=Г '(5)=о, следует, что в формулах (б).29) интегралы существуют в обычном смысие, а не только в смысле главного значении (ср. с и. 5б.5). Действительно, покажем, что г (5) совпадает со всем пространством 5. Пусть фе5, положим <р=Г '(|)|3. Тогда Подобным же образом доказывается и то, что Линейность преобразования Фурье отмечалась раньше (см.
лемму 2 в и. 56.5). Докажем теперь непрерывность отображения Г. Сначала докажем его непрерывность в нуле. Пусть 1пп Ф„=О в 5. Тогда из (61.30) следует, что !у"ф,', '(у)(< -.зпр(!+х')!(х <р„(т))вв(, й=1, 2, Но из (6!.24) (при Ф(х)=0) имеем !пп кпр(1+х')!(х |р„(х))ьч!=0; ь" т поэтому 1пп зпр!у"ф,', '(у)!=О, т. е. 1пп ф„=О в 5.
Поскольку преобразование Фурье является линейным отображением линейного пространства 5 в себя, непрерывным в нуле, то оно непрерывно и во всех точках этого пространства (см. лемму 3 в и. 61.2). Таким образом, преобразование Фурье Г непрерывно отображает 5 на 5. Совершенно аналогично доказывается непрерывность обратного преобразования Фурье Г '. 1:э 6|лн ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЪ|Х ФУНКЦИЙ Предварительно докажем одно интегральное равенство. Пусть функция /' непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой оси и пус| ь Ф е 5, тогда +а +х 1 <р(х)с!х 1 Яу)е '"'Иу= 1" т'(у) и'г 1 Ф(х)е '"'Ых.(61.31) 295 Это следует из теоремы 7 и.
54.3. Действительно, повторный интеграл, стоящий слева, существует, ибо существует интеграл +ю л к О -~- х (р(х) ~ 7(у)е '"'с/у дх< 1 $ср(х)$Их ~ $/'(у)$Иу. Если (а, Ь1--- произвольный отрезок то функция /; в силу ее непрерывности ограничена на (а, Ь~):$г'(у)$<М; поэтому фу)<р(х)е '"'$<М$ <р(х)$, а<у<Ь. Отсюда в силу сходимости интеграла ) $ у (у) $с(х следует > равномерная сходимость интеграла /(у) ) <р(х)е плах на отрезке $'а, Ь).
Далее, $ ~р(х) $ <с„, — ж <х <+ х, (см. (61.23)); поэтому $ср(х)/(у)е '"'$<сел$((у)$, и так как интеграл ) $1(у)$ау сходится„то интеграл р(х) ( Лу)е илЬ равномерно сходится на всей оси. Наконец, интеграл +о~ л ° +а Ю ( ах ) $<р(х)г(у)еьл$ау= ) $ср(х)$ах ) $яу)$ау конечен, поэтому в рассматриваемом случае выполнены все условия торемы 7 п.
54З и, следовательно, можно переставить порядок интегрирования. Равенство (61.31) доказано. Если функция г(Л порождает некоторый функционал на Ь' (например, удовлетворяет условию (6! .25) или абсолютно интегрируема на всей числовой оси), то, умножив равенство (61.31) на, получим 1 /Гл (Г'ь11, (р)=(у, Г~ф3), фЕо. (61.
32) Эту формулу и примем за определение преобразования Фурье обобщенных функций из пространства 5'. (1, ф)=(1, ф)= з)у — <р(х)е '*згlх= 2п .! е ~ ->т '2 [,— [ р ) д! ! '"" *'Ы~ - х — т =,изйнр '(ГМ))1,=о=~зс2к~Р(!)), о=,,/2к(Р(0)=,,/2Я(Ь, ф) (мы воспользовались здесь леммой ! п.
56.5). Таким образом, 1= з2яб. Отметим, что преобразование Фурье Г[ф3 функции цзин, вообще говоря, не принадлежит пространству П, поскольку Г[у) не всегда является финитной функцией. Поэтому формула (61.32) имеет смысл не для всех з'еП'. Из-за этого обстоятельства прн рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций нам и пришлось сузить класс обобщенных функций, введенных раньше, ограничившись только обобщенными функциями медленного роста. Преобразование Фурье г"[!3' обобщенной функции /' будем обозначать также символом — з(х)е '"зсзх.
Таким образом, равенство х — )(х)е ы'с!х=с [!1 ~'2к л (6!.33) 297 Определение 23. Преобразованием Фурье обобзценной функции з'е Ь" называется функционал Г [!3', определяемый формулой (61.32). Итак, для любой обобщенной функции з'из о' определено ее преобразование Фурье Г[23': значение функционала ГЯ в любой точке ф пространства Ь' равно значению функционала!'в точке Г[ф)ео. Преобразование Фурье обобщенной функции т' будем, как и в случае обычных функций, обозначать также и символом у, Пример 1.
Найдем преобразование Фурье единицы, рассматриваемой как обобтценная функция. Очевидно, 1 е 5'. Имеем в случае, когда г" — обобщенная функция, является определением символа, стоящего в левой части этого равенства. Опрелелив преобразование Фурье для всех обобщенных функций нз 5', мы, в частности, определили и преобразование Фурье для обычных функций ); удовлетворяющих условию (61.25), т. е, функций существенно более широкого класса, чем это было сделано раньше (см.
п. 56.5 и 60.9*). Это является одним из весьма существенных обстоятельств, оправдывающих целесообразность введения понятия обобщенных функций. Покажем, что преобразование Фурье обобщенных функций обладает рядом свойств, аналогичных свойствам классического преобразования Фурье, т. е. преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций. Лемма 7. Преобразование Фурье Г[г ! обобщенной функг)ии (еЯ' также яв гяется обобщенной функиией к.гасса Я', гп. е.
Р'[г] — яинейньгй и непрерывный функииогнт над простронсгнвом о. Доказательст во. Проверим линейность преобразования Фурье, т. е, покажем, что, какова бы ни была обобщенная функция гаЯ', для любых функций грс5, г(ге5 и любых чисел ) и р справедливо равенство Действительно, (ри, хгр+)гг(г)=(), р[). р+)гг!г])= Проверим непрерывность преобразования Фурье. Пусть уа5', гре 5', г!г„е 5, п=1, 2, ..., 1пп гр„=гр и, следовательно (см. теорему 1 и. 6!.6), )пи с" [г!г„] =Г[г!г].
Тогда, в силу непрерывности функционала ) на Я, получим 1пп (с Я гр„)= 1пп (~, Г[г!г„])=(/, Г[г!г])=(РЯ гр), Итак, мы показали, что если (нЬ", то и е"[г]еЯ'..! Естественно определяется и обратное преобразование Фурье с' ' [Я элемеьпа /Ыо' как функционал пространства 5', задава- 298 емый формулой (с '[11. г1г)=(1, с '[гр3)..Й5. Если г' — абсолютно интегрируемая непрерывная функция, зто равенство выполняется для нее в обычном смысле.
Это проверяется так же, как и в случае формулы (61.31). По определению, полагается также (ср. (61.33)) (61.34) Как и в случае прямого преобразования Фурье с", показывается, что если 1е5', то и Г' ' [г)е5'. Теорема 2. Цреобризование Фурье с и обратное ггреобразовониг Фурье с" ' огпобрггзгсаюггг линейно, взиимно однозначно и непрерывно пространство 5' на себя; при этом для любого элелгенпга г'е5' с'приведливы равенспгва Доказательство, Докажем сначала формулы (61.35).
Для любого элемента гр е 5 имеем (Р '[РИ1. 9)=(РИ Р '[Р1)=К Р[Р '[911=(~ Р). Аналогично, (р[ 'И). р)=( 'И рЫ)=К 'М И)=(р р) Покажем теперь, что преобразование Фурье с отображает пространство 5' на все пространство 5':с(5')=5'. Пусть яа5', тогда если )=-Г '[е1, то с~Я=с[Г '[дД=р, т. е. в любой элемент из 5' при преобразовании Фурье с" отображается некоторый элемент из 5'.
Покажем. что с" взаимно однозначно. Если ~г е5', У~в 5' и [г г з Ц[г г1 гг г гг ~ [~ [г гзз ~ [~ [г гээ, откуда, в силу (бг1.35), имеем Покажем, что отображение Г линейно, т. е. для любых обобщенных функций Ге 5', ян 5' и любых чисел ), и р справедливо равенство рЫ+ р4=) ЕИ+рр[4 299 Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, проверим его для любого, по фиксированного элемента сре5: (ГМ+р4, р)=М+рк, ГИ)=Ю ГМ)+п(~ Г[р1)= =).(ГИ )+р(ГЫ ) ( И+ Ы р) 1пп (Г[Я ср)= 1пп ((;„Г[ср~)=(); Г[ср))=(Г[Я, ср). Аналогично доказывается, что и Г ' непрерывно взаимно однозначно отображает Я' на Я', П Пример 2. Найдем Г[5]=Ь. Имеем (Б, ср)=(б, ср)=ср(0)= ~ ср(х)е '"лсКх$л ,сзл ср (х) сс х =, ср, ср е 5, с поэтому ГЯ= — — и, следовательно, Г ' [11= '2яб (заметим, Ес2л что обратное классическое преобразование Фурье Г ' [11, так 'же как и прямое Г[13', не существуют).
С помощью интегралов (б!.33) и (61.34) эти формулы можно переписать в виде Ь (х) е '"' ссх = 1, — е '*' ссх = б (у). ы 2л ) Подобным же образом находится и обратное преобразование Фурье д-функции: Гси= 1 =Г[Ч отсюда Г [13 = Г ' [13 = 2я 6.
Наконец, покажем, что бражением. Действительно, 1пп т'„' = (' и, следовательно равенство 1пп ((„, ср)=(1; ср). Г является непрерывным ото- пусть (е5', („'е5', п=-1, 2, для любого ср н 5 справедливо Тогда Используя способ записи, основанный на равенствах (61.33) и (61.34), зти формулы можно переписать в виде ем е с — е птЫх=б(у), б(х)лгите=1. 2я и ы Заметим, что все многочлены удовлетворяют з~ому условию.
Если функция з(г типа (61.36) и гр б 5, то ф гр а 5. Если функция г локально суммнруема и удовлетворяет условию (61.25), а функция зр — условию (61.36), то з(гУ' также удовлетворяет условию (61.25) и (), фгр)= ( ~(х)з(г(х)гр(х)ЫХ=(з(г1; гр). Пусть ф удовлетворяет условию (61.36), а уб5'. Определим теперь функционал на 5, равный произведению з(гу, формулой (ф); р)=(); фр), (рб5 Легко проверить, что з(11'65' вв1, т.
е. что з(гг'является линейным непрерывным функционалом, определенным на пространстве 5. Упражнение 24. Пусть функция ф=ф(х) удовлетворяет условию (61.36), а обобпгенная функпия Ген'. Доказать, что фуеЯ'. Докажем в заключение формулы ~У"'1-(1Х) "~И г"г " И=У(х73, 265. (61. 37) (61.38) *' В силу этого условия (при я=0), можно рассматривать ф(х) как обобщенную функцию пространства 5' (см. (61,25).
Яы Затруднения при определении произведения обобщенных функций связаны с тем, что произведение линейных функционалов в обычном смысле как произведение функций (т. е. как произведение значений сомножителей в каждой точке) не является линейным функционалом. 301 Вычислим, далее, преобразование Фурье производной обобщенной функции и производную от преобразования Фурье. Предварительно нам придется ввести понятие произведения обобщенной функции /'б 5' на обычную бесконечно дифференцируемую функцию ф(х), обладающую тем свойством, что для любой ее производнои г(г'"1(х) существуют постоянные 13„>0 и а„>0, п=О, 1, ..., такие, что для всех х справедливо неравенство ~з(гоо(х)~<(3„(1+~х~)", п=О, 1, 2, ...*'. (61.36) Имеем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
