kudryavtsev3a (947417), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Он большей частью применяется лишь для «грубой прикидки» результата, т. е. для «грубогоп определения интервала, на котором лежит искомый корень рассматриваемого уравнения, а за.тем на этом интервале для отыскания «более точного» значения корня используются другие, быстрее сходящиеся методы; обычно применяешься нижеописанный метод касательных («метод Ньютона»). Как правило, по такой схеме действуют при проведении вычислений на быстродействующих вычислительных машинах.

Конечно, такой пу!ь целесообразен и при проведении вычислений «вручную», в частности при помощи логарифмической линейки или миникомпьютера. Мы рассмотрим методы решения уравнения, носящие названия метода хорд и метода касательных. Последний из них хорошо обобщается и на случай систем уравнений. В дальнейшем будем все!да предполагать, что функция у' непрерывна на отрезке ~а, Ь ) и имееч на этом отрезке первую и вторую производные *, причем обе они знакопостоянны (в частности, отличны о! нуля). Мы будем предполагать такжс, что функция у'принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция у строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (60.9) имеет в точности один корень на интервале (а, Ь). Метод хорд Этот метод состоит в следующем.

График функции 1' заменяется его хордой, т, е. отрезком соединяю!ням концевые точки графика функции у': точки (а, у(а)) и (Ь, у'(Ь)). Абсцисса х, точки пересечения этой хорды с осью Ох и рассматривается квк первое приближение искомого корня (рис. 266). Далее берется тот из отрезков (и, к, ! и (хз, Ь 4. на концах которого функция 5' принимает значения разного знака (далее будет показано, что " Для метода хорд лостаточно требовать сушествования первой и второй производных лишь на и|первале (и, и). Существование произволной в копнах отрезка (а, и) бузст использовано ~олько в мстолс касательных. 3!О при сделанных предположениях !'(х,)~0 н, следовательно, такой отрезок всегда существует), и к нему применяется тот же прием; получается второе приближение корня х, и т.

д. В результате образуется последовательность х„, п=1, 2, Рис. 2бб которая„ как это будет показано, при сделанных ограничениях на функцию !'сходится к корню уравнения (62.9). Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел х„, п=1, 2, ..., Уравнение прямой, проходящей через крайние точки графика функции (, имеет вид ЛЬ) — 2( )( „)+((и) Ь вЂ” а (62.10) Обозначим его правую часть через !(х), т. е. запишем уравнение (62.10) в виде у = !(х). Найдем абсциссу х, точки пересечения прямой (62.10) с осью Ох, т. е. решим уравнение !(х)=0; получим х,=а— (ь — а) Г(а) (62.11) у(Ь) — Яа) Легко убедиться, что а<х,<Ь (62.! 2) (это, например, следует из строгой монотонности и непрерывности функции !(х) и того, что на концах отрезка [а, Ь) она принимает значения разного знака: !(а)=!'(а) и !(Ь)=ДЬ)).

Аналогично находим Я) — 3(х„) ' Покажем, что последовательность (х„) стремится к корню уравнения (62.9) монотонно. Предположим для определенности, что !" (х)>0, !'"(х)>0, а<х<Ь (см. рис. 265). В этом случае функция ! строго монотонно возрастает и строго выпукла вниз. Следовательно, любая внутренняя точка хорды, соединяющей крайние точки графика функции у, лежит над соответствующей точкой графика функции )", т. е. !(х)>3"(х), а<х«Ь. В частности, если х„- - корень уравнения (62.9): !(х )=О, то отсюда следует, что !(х„)>0.

Имеем (см. (62.1!) и (62.12)): Е(х,)=0, а<х,<Ь. Таким образом, Е(х!) с Е(хо) (62.14) но линейная функция Е(х) строго монотонно возрастает, ибо Е(Ь) =Е(Ь) >Е(и) = Е(а), поэтому из (62.14) следует х, <хо. Заменяя теперь отрезок [а, Ь) отрезком [х!, Ь) и замечая, что 7(х!)сО, аналогично докажем, что х, <х <х . Далее по индукции получим х, <хх«... <х„<...«х„. Таким образом, последовательность (х„), будучи мойо тонной и ограниченной, сходится. Пусть !пп х„=с.

Переходя к пределу при и- со в равенстве (62.13), получим Е'(с)=0, т. е. последовательность (х„) сходится к корню уравнения (62.9). Если [Е'(х)[>т>0, и<х<Ь, то нетрудно получить оценку скорости сходимости последоватсльностн (х„) через значения самой функции Е в точках х„. Действительйо, Е (х„) =Е (х„) — Е(хо) Е (Ц„)(х„хо), х„сс„схо, и=1, 2, отсюда Остальные случаи, т. е. случаи Е'(х)>0, Е "(х)<0, Е'(х)<0, Е'"(х)>0, Е'(х) < О, Е'" (х) <О, рассматриваются аналогично разобранному (рис.

267). Ь а Рис. 267 Метод касательных (метод Ньютона) Вудем предполагать, что функция Е удовлетворяет тем же условиям, что и при рассмотрении метода хорд. Проведем касательную к графику функции с в одной из его концевых точек, например, в точке (Ь, с'(Ь)). Абсцисса х, э очки ее пересечения с осью Ох и считается первым приближением корня уравнения (б2.9). Далее, если х, ~(а, Ь) (а это всегда имеет меся о для одной нз касательных в концевых точках графика см. ниже), то из двух отрезков [а, х,) и [х,, Ь) выбирается тот, на концах которого функция )' прийимает значения разного знака (далее будет показано, что У(х,)ФО). Затем проводится касательная к графику функции 2 в точке (х,, 2(х,)): точка ее пересечения с осью Ох обозначается х и т. д. (рис.

268). Легко получаются рекуррентные формулы для указанных чисел х„, я=1, 2, .... Уравнение касательной, проходящей через точку (Ь, г'(Ь)), имеет вид у=(' [Ь)[х — Ь)+ДЬ). Обозначим его правую часть через Е(х), т. е. запишем это уравнение в виде у =Е(х). Найдем абсциссу х, точки пересечения этой касательной с осью Ох, т. е. решим уравнение Е (х) = 0; получим Х(6) х,=Ь вЂ” —, .Г(ь) Точка х„может лежать, вообще говоря, вне д отрезка [а, Ь), т.

е. вне области определения функции Е Однако если г(Ь) одного Рис. 268 знака с у", то х, е(а, Ь). Рассмотрим подробно, как и для метода хорд, случай, когда ~'>О, у'и >О на [а, Ь). В этом случае функция ~ строго монотонно возрастает, следовательно.

у(Ь) >О; кроме сого, функция у выпукла вниз на (а, Ь), следовательно, Е(х)<с(х) (см. п. 14.3). Если с(хи)=0, а<х <Ь, то Е(хи) <О, но Е(Ь)=)(Ь)>0, следовательно, х <х, <Ь. При этом )(х,)>Е(х,)=0. Применяя те же рассуждения к отрезку [а, х,), получим точку хэ такую, что пз а ч а уайт <11 Рис, 269 у(х, ) Хг=Х1 — —,', ХВ<ХЗ<Х,, У(х,)' ' и, далее, г( .) х„,, =х„-- —,", х„<х„, <х„. г'(х„ (62.15) Подобным же образом разбираются и оставшиеся случаи различных комбинаций знаков первой и второй производных (рис. 269). Дадим еще одну оценку скорости сходимости метода касательных, из которой будет хороню видно достоинство этого метода. Пусть для функции ~ на рассматриваемом интервале выполняются неравенства (~'(х)1>т>0, (1 '(х))<М, и<х<Ъ.

Разложим функцию Г в окресгности точки х„по формуле Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа .1(х)=Ях.)+( (х.)(х х»)+ .1 (~)(х х.) где «=х„+0(х — х„), 0«0<1, Если г(с)=0, то, подставляя хг с в написанную формулу, получим 314 Следовательно, последовательность (х„) монотонна и ограничена, а потому сходится. Пусть 1пп х„=с. Переходя к пределу в (62.15), получим )'(с) =О, т. е. последовательность (62.! 5) сходится к корню уравнения (62.9).

Когда К(х)( >т>0, и<х<Ь, то тем же способом, что и в случае метода хорд, получаем оценку 1х — с1< ( "), л=-1, 2, и Ях„)+('(х„)(г — х„)»- -("(~)(с — х„)2=0. Отсюда Ф) ! () ( )2 ' ' г(.)' г(..)' '" или, в силу формулы (60.15), х„,,— с=, (с — х„) . г (1), г 2/' (х„) Следовательно, )х„, — г(< — )х„— с(-, М 2 Ри откуда — (х„~,— с)<~ — (х„— с( и=1, 2, 3, М ГМ 2ги ( 2т " / Применяя последовательно это неравенство, будем иметь М 1'М вЂ” (х„— с)с~ — (х„,— с() < < — (х„-с( « ...

— (Ь-с( Если выбрать первоначальное приближение Ь так, чтобы деГ М д= — (Ь вЂ” с(<1, то получим 2иь (х„— с(с-- дт, т. е. скорость сходимости приближенных решений х„к корню х=с значительно превышает скорость убывания геометрической прогрессии со знаменателем по абсолютной величине, меныпим единицы. Пример. Применим метод Ньютона для приближенного вычисления корня (г-й степени из числа а ) О, 1г -- целое положительное. В этом случае речь идет о приближенном решении уравнения л~ — а=О, т. е.

формулу (б2.15) следует применить к функции 2'(х)=х" — а. Имеем 2'(х)=/сх' ', и потому для последовательных приближенных значений х„корня " ~х имеем рекуррентную формулу 315 х„— а х п41 -н г ! ях„ нли х„, =- (/с — 1)х„+ В случае А.=2 мы встречались с этой формулой в и. 4.9. 62.3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ (62. 18) а„+а,х„л, +...+а„х„"', =7(х„! !).

Характеристики

Список файлов книги