kudryavtsev3a (947417), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Определение 9. Фильтр 5 но множестве Х называется полным, если из условий А е Д, В е ч) 1Х) и А с В следуеьп, что Ве Сг. В рассмотренных выше примерах 1, 2 н 4 фильтры являлись ш5лными. Например, в примере 4 (фильтр Фреше) это вытекает из того, что если Анаши и, следовательно, его дополнение в множестве натуральных чисел Л' конечно, то любое подмножество натуральных чисел В, которое содержит А, также имеет конечное дополнение в Л~ ибо, если АсВсЛ', то ЛгхВсЛс~А.
Фильтры же, рассмотренные в примерах 3, 5 и 6, уже не являются полными. В примере 3 натуральный фильтр Г, не является полным, поскольку не всякое подмножество А множества натуральных чисел, содержащее множество вида А„ (см. (64.1)), само имеет такой вид, т.
е. принадлежит натуральному фильтру Р . Фильтры, рассмотренные в примерах 5 н 6, не являются полными, так как не всякое множество, содержащее открытое множество, является обязательно само открытым. Иногда в математической литературе полный фильтр называется просто фильтром, а фильтр в смысле определения 4 базисом (илн базой) фильтра. Это оправдано тем, что справедливо следующее утверждение.
Л е м м а 1. Всякий филыпр является базой некоторого полного фильтра. Доказательство. Пусть $=(А) — фильтр на множесгве Х. Определим множество %, как множесгво всех таких подмножеств В множества Х, что каждое нз них имеет в качестве своего подмножества некоторый элемент фильтра 91. Короче, Ве® тогда и только тогда, когда существует такое А с Д, что А с В.
Покажем, что % является полным фильтром, а фильтр $ — его базои. Если В'ей, В" п%, то существуют такие А'е 5 и А" е 13, что А'сВ', А" с В". Поскольку Я вЂ” фильтр, то найдется такое А е~~, что А с А'1)А". Заметив, что А'1А "сВ'1')В", получим Ас сВ1)В" н, следовательно, согласно определению % множество 335 ВДВ" является его элементом: В'()В" е%. Тем самым выполняется условие 1' определения 4. Если бы Оа%, то снова, согласно определению 5, нашлось бы такое А и «т, что А ~ Я, но тогда А = Я, т, е.
пустое множество оказалось бы элементом «т, что противоречило бы тому, что «у — фильтр. Следовательно, 8~(й«. Кроме того, так как А ~ А, то каждое множество А и 2« является и элементом Ь, т. е. 5 ~ (б, а поскольку «т, как всякий фильтр, не пуст: $ М 8, то не пусто и множество %: % ~ Я. Таким образом, Ь удовлетворяет всем условиям определения 4, т. е. является фильтром.
Его полнота тоже сразу вытекает из его определения. В самом деле, если ВнВ, то существует такое Ап5, что А~В. Поэтому для каждого множества В', такого, что В~ В'~Х, также справедливо включение А ~ В', которое и означает, В'и «й. Наконец, «т является базой полного фильтра (б. Действительно, с одной стороны, как было показано, $~%, т. е. фильтр «3 является подфильтром Ь; а выше отмечалось, что всякий фильтр сильнее любого своего подфильтра. С другой стороны, определение фильтра (й как раз и означает, что фильтр «т сильнее фильтра Ь: каково бы ни было Вн«й существует такое Ап3, что А~В (см.
определение 5). Итак, фильтры «у н бб эквивалентны. П Лемма 2. Пусть «т,— фильтр на множестве Х,, «т —- фильтр на множестве Хз и а« Я=(С: С=АхВ, Ан5„Вниз); (64.2) тогда $ является фильтром на произведении Х, х Хз множеств Х, иХ,. Фильтр 5, определенный равенством (64.2), называется произведением фильтров «у, и $ . Если 5 является произведением фильтров $, и «т „то пишется Д=$«х б . Доказательство.
Пусть С,н5«н С,п'«3«,, тогда, согласно определению (64.3), существуют такие А, н «т„Азн «т«и В, и «т„ Взе)уз, что С, =А, х В„а С,=А, х В,. Поскольку ~««и «у,— фильтры, то найдутся такйе Ап«у«и Ва«у,, что (64.3) А с А «()Аз, В » ВЯВз. В силу того же определения (64.2), А х Вн $, причем из (64,3) следует, что Ах В~(А, х В,)Д(Аз хВ ), нбо, если (х, у) и А х В, то х и А, у и В. Следовательно, в 336 силу (64.3), хеА>()А„уеВ>()Вг, поэтому (х, у)пА> х В, и (х, у) е А, х В , т. е.
(х, у)е(А> х В>)('1(А х В,). Никоне>с каждое С=А х ВФО, А нЯ„ВеЯ~г, ибо, в силу определения фильтра, АФО, В~о. Из того, что Д~>эео и 3>ФО, следует, что и ~~=5~> х 13,~8. Таким образом, 1у= Ягх >у удовлетворяет определению фильтра. сл Л е и м а 3. Пусть Х и У вЂ” некоторые множества, >': Х- 1' — отображение Х в У и $=(А) — фильтр на множе>зпве Х.
Тогда совокупность всех образов ДА) множесп>в из фильтра Я является фильтром на множестве У. Фильтр (с'(А)), А е ст, называется образом фильтра )у при отображсиии >' и обозначается через ЯД)=(~'(А)), Аа~я. окажем, что 7'(>у) действительно является фильтром. Пусть Г(А е>(5), >(В)ее(ст), А а~5, Ве3. Тогда су!цествует такой '( ) элемент С' фильтра 3: Се 5, что С~ А()В. Поскольку )(С) Т(А()В) Г(А~ГЯВ), и по определению системы ДЯ) имеем 1(С) Ясу), то первое условие определения фильтра (см.
определение 4) выполнено. Второе условие также выполнено, поскольку Т(3) состоит только из элементов вида Т(А), где А е >у. Следовательно, 1(А)ФО, поскольку А ~Я. Наконец, из того, что ДАЛО, следует, что и ЯД)~8. 3 Ь4.3. ПРЕДЕЛ ФИЛЬТРА Определение 10. Пусть Х вЂ” топологическое пространс>пво, хеХ, и )т — филыпр на Х. Точка х называется пределом фильтра Д или его предельной точкой, если фильтр )у сильнее фильтра >В(х), хсвля>он>его>я локальной бизой топологии в этой точке. Если точка х является пределолс филыпра Я, то пишут х= 1»п ~~. Прнмерьг. 1.
Пусть Х=сз>--мпожество натуральных чисел, рассматриваемое, как обычно, с дискретной топологией: каждая гочка па% считается открытым множеством (иначе говоря, каждая точка является изолированной точкой); .тогда натуральный фильтр ен (см, пример 3 в п. 64.2) не имеет предела в >ч'.
Действительно, никакое число пеЖ не является пределом филыра Гн, ибо у любого числа и еД> существует локальная база топологии, состоящая только из этого числа >г, и не существует АеРч, содержащегося в одноточечном множестве 337 (и ), поскольку любое А н Гн содержит бесконечно много элементов. Таким образом, фйльтр Вч не сильнее локальной базы топологии любого числа и б)чг.
2. Пусть Х=М.~(+со), т. е. множество Х получено добавлением к множеству натуральных чисел гч' «бесконечно удаленной точкив + со, причем локальная база топологии кз(+ со) состоит из всевозможных множеств А„(см. (64.1)), а локальные базы грз(п), ггеЛг, по-прежнему из одной точки и. База топологии в Х определяется как объединение локальных баз всех его точек. В пространстве М)(+оэ) натуральный фильтр ся имеет своим пределом +со. Действительно, для любой окрестности А„бит(+оэ) в качестве элемента Анеля такого, что А~А„(см.
определение 10), можно взять само А„, ибо А„бр . Задача 47. Доквзвть, что, для того чтобы любой фильтр топологическопя прострвнствв имел не более одного пределв, необходимо и достаточно, чтобы прострвнсгво было хвусдорфовым. Теорема 1. Для того чтобы точка .х являлась пределом фильтра Я топологического пространство Х, необходимо, чтобы зта точка являлась пределом каждой его оазы, и досгпаточно, чтобы она являлась пределом по крайней мере одной его базы.
Доказательство необходимости. Пусть подфильтр 'гуо является базой фильтра 5 пространства Х и х=1пп Я, т. е. фильтр Я сильнее локальной базы топологии йт(х) в точке .х. Это означает, что для любой окрестности гз*еиз(х) сущесгвует такое Аа5, что А~К Поскольку )7 является базой фильтра 1!1, то для указанного А н$ найдется такое Вб)уо, что ВсА и, следовательно, В~ У, т. е. подфильтр Яо также сильнее локальной базы топологии д)(х), и потому х=!пиР) . Доказательство достаточности.
Пусть подфильтр 'гуо фильтра 3 является его базой и х=1пп До, т. е. 5о сильнее локальной базы топологии гВ(х), тогда сам фильтр (у тем более сильнее З (х), ибо каждый элемент подфильтра является и элементом фильтра. Следовательно, х=1пп 5. 1:) 64.4. ПРЕДЕЛ ОТОБРАЖЕНИЯ ПО ФИЛЬТРУ Общее понятие предела дается следующим определением. Определение 11. Пусть Х .. некоторое множество, 1'.. топологическое пространство, г": Х-ч У - - - отображение Х в 1; 17---фильтр на Х.
Точка бн 1' называется пределом отображения з'по фильпгру и пишетс.я !ип я г(х) = 6, 333 если фильтр /Я имеет своим пределом в пространстве У точку Ь. Таким образом ди 1ппаЯх) = !ппЯ 5). (64.5) Примеры. 1. Пусть Х=М вЂ” множество натуральных чисел, де( У вЂ” топологическое пространство, 7: (з(- У, у„=р(п), па(з(, и пусть Š— натуральный фильтр, построенный в примере 3, п.
64.2, т. е, Е состоит из множеств (64.1). Тогда предел отображения Г" по фильтру Г совпадает с обычным пределом последовательности (у„( в У. Действительно, условие !пп. Яп)=Ь равносилыю, согласно (64.5), условию !ип7(Г„)=Ь, где 7(Е )= = (Г(А„)), Г(А„) = ',у: т>п,'. Равенство предела фильтра у(рн) ~очке Ь означае(, что для любой окрестности 1(с Ю(Ь), где Ж(Ь)---локальная база топологии в точке Ь, существует содержащийся в С~ элемент ((А„,) фильтра ( (си): ('(А„„) ~ С(. Поскольку при п>п выполняется включение ппА„е а следовательно, и включение у„=Яп)нД(А„„), то при п>п„имеет место включение у„нК Это и означает, что 1пп у„=Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
