kudryavtsev3a (947417), страница 58
Текст из файла (страница 58)
2. Пусть Х= !т'х Ж, Ек — натуральный фильтр, 1у=Е х Ен (см. д( (64.2)), У вЂ” топологическое пространство, 7': (ч'х (з( У, у „=Ят, и), (пп(з(, пни; тогда предел !ипат'(т, и) совпадает с обычным пределом двойной последовательности (у „): точка Ь называется пределом 1пп у,„„последовательности (у „), если для любой (т,п(- х окрест ности 1/ точки Ь существуют такие т и и, что при т > и и п>п выполняется включение у„„пГ Таким образом, !ипат, и)= 1пп у „. (лсьв о 3. Если система (Г(=(А„), А„~Х, с(пк1, является направлением (см.
пример 7 в п. 64.2), а У вЂ” метрическое пространство, то существование предела 1!щв(7'(х) = Ь отображения у: Х- У означает, что для любого а>0 существует такое множество А„п )у, что для всех хе А, выполняется неравенство р(('(х), Ь)<а. В этом случае предел 1ппау'(х) называют также пределом по направлению.
4. Пусть Š†измерим по Жордану множество в Я", т какое-либо его разбиение: т=(Е),'==",, ~,пЕи (=1, 2, ..., !с. Пусть элементами множества Х являются, в свою очередь, всевозможные множества вида х=(т, с„..., Г„). (64.6) 339 Для любого «) >0 обозначим через А„подмножество множества Х, состоящее из всех таких элементов х, у которых мелкости ! т ~ входящих в них разбиений «меньше «1, т. е. !т!<«). Система !у = (А„) является филь«ром на Х.
Более того, система «у представляет собой направление, если в ней за отношение порядка А„-~А„, взять включение А„,~Ачг Всякая действительйая функция т":Е К порождает отображение д .: Х-+!х по формуле ве« «рг (х) = ,'«ф;)рЕь х = (т, «=1 Таким образом, «(«(х) является значением соответствующей интегральной суммы Римана функции Предел отображения «!««. Х-+Я по фильтру !у=(А„««совпадает с обычным пределом интегральных сумм Римана функции г" при условии, что мелкости рассматриваемых разбиений стремятся к нулю: !ппа«р«(х)= 1пп „'«" ('(~,.))«Е«.
и 0«=« Очевидно, что этот предел является пределом по направлению. 5. Пусть Х и У вЂ” топологические пространства, «': Х- У, апХ, и !«! — такой фильтр на Х, что 1пп Я=а (т.е. фильтр (у сильнее некоторой локальной базы топологии хэ(а) в точке а). Предел 1ппаг(х) в данном случае называется пределом отображения ~ по фильтру 3 в п«очке а. При соответствующих выборах фильтров Я будут получаться, в частности, пределы в данной точке по различным множествам. Например, если фильтр !у состоит из окрестностей некоторой локальной базы топологии З (а) точки а, то существование предела !ипатах) в точке а по такому фильтру означает непрерывность отображения ~ в точке а, причем !ппяД'(х) = !пп «'(х) =«(а).
Если точка а является предельной точкой множества Х, а фильтр $ состоит из проколотых окрестностей некоторой локальной базы топологии в этой точке (см. пример б в п, б4.2), то предел 1нпат(х) совпадает с пределом 1ппДх), х~а. к а Если Х и У вЂ” подмножества соответственно метрических пространств Х' и У', апХ', Ьа У', то существование предела !!и 2"(х) = Ь, означает существование предела функции ! по х а направлению «у, состоящему из пересечений множества Х со всевозможными б-окрестностями точки х=а (см. пример 3).
зло Это равносильно тому, что для всякого а>0 существует такое б>0, что для всех точек хнХ( )Ца; б) выполняются неравенства р(1 х), Ь)<в. аметим, что раньше символ х-+а, хнЕ не имел для нас самостоятельного смысла: было определено лишь все обозначение 1пп у(х) в целом. Теперь, в конце курса, мы видим, что Ч д,~ЕЕ символ х- а, ха Е, можно рассматривать как обозначение фильтра (например, фильтра 41 (а) или фильтра Ю (а)), по которому берется предел отображения. Итак, действительно все встретившиеся нам раньше понятия предела являются частным случаем предела отображения по фильтру. Для отображений в полное метрическое пространство, в частное~и для всех функций, принимаюп1их числовые значения, имеется критерий существования предела по фильтру, формулируемый в терминах самого фильтра, без непользования значения самого предела, т.
е. критерий, обобщающий разнообразные критерии Коши, встречавшиеся нам раньше. Определение 12. Фильтр в метрическом пространстве называется фильтром Коши, если он содержит сколь угодно малые по диаметру множества. Теорема 2. Для того чтобы отображение 1:Х- У произвольного,иножества Х в полное метрическое пространство У имело предел по некоторому фильтру б иножества Х, необходимо и достаточно, чтобы образ ~Я) фильтра Р! при отображении г был фильтра,и Коши в пространстве У. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Н е о б х о д и м о с т ь. Если существует предел !ппгхо(х) =Ь, то, согласно определению 10, для любой е-окрестности ЦЬ„е) точки Ь е У существует такое множество А е 1у„что у (А) ~ ЦЬ, е) н, следовательно, йаш(т"(А))<2в. Это и означает, что фильтр 1'(5) содержит сколь угодно малые по диаметру множества, т.
е. является фильтром Коши. Достаточность. Пусть фильтр у"(5) является фильтром Коши. Выберем какое-либо множество А,аЯ так, чтобы 1 йаш (1(А,)) < 1, а затем множество В,нр! так, чтобы йагп (т (В,)) < —. 2 Согласно определению фильтра, существует такое множество 1 А,а!У, что А,~А, и АзсВ„а следовательно, йаш(А,)<-. 2 1 Если выбраны множеств» А„н$ так, что йаш(/(А„))<-, /с=1,2,...,п,и З41 ,1, =~А.~."~Ап то найдется множество В„~Д, для которого г11атфВ„))< . а 1 и-г1 затем и такое множество А„„, н1у, что а следовательно, гйат фА„„,)) < — -, Продолжая этот процесс, получим последовательность таких множеств А„ну; и=1, 2, ..., что для нее будут выполняться условия: 1) 7(А„)~о, в=1, 2, 2) ЯА,)~Д(А~)~„,зу(А„)~...; 3) 1пп йат(7'(А„))=0.
Это означает, что последовательность множеств 7'(А,), п=!, 2, ..., метрического пространства У является последователь- ностью Коши. В силу полноты пространства У, согласно следствию теоремы 1 и. 57.2, существует точка Ьи 'т', являющаяся точкой прикосновения для всех множеств ЯА„). Выберем произвольно с>0. В силу выполнения условия 3, существует такое ле, что имеет место неравенство Йат (7"(А„,)) < —.
(64.7) р(Ь, у)<-'. (64.8) Из неравенств (64,7) и (64.8) следует, что для любой точки снЯА„,) выполняется неравенство р(, Ь)<р(г, у)+р(у, Ь) < Йат(Г(А„))+е < в в <-+-=с. 2 2 Это означает, что ЯА„)с: ЦЬ, с). 342 Так как точка Ь является точкой прикосновения множества ДА„,), то найдется такая точка уе7(А„), что Таким образом, в любой окрестности точки Ь имеется элемент фильтра т(5), т. е., согласно определениям 1О и 11, имеем 11щх1И=6. [Л В заключение отметим, что на пределы по фильтру отображений в числовые множества очевидным образом обобщаются свойства классических конечных пределов функций, например возможность предельного перехода в неравенствах, н свойства, связанные с арифметическими свойствами над функциями.
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютно интегрируемая функция 8 — схолящийся инте~ рал 8 Аксиомы расстояния 96 Фреше 275 Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144 Ариола Ч. !34 База топологии пространства 331, 332 — фильтра 335 Базис пространства !40, 167 Ьиник С. !!1, 163 Банахово пространство 163 Бескояечномерное линейное пространство !47 Бессель Ф. 51 Билинейное отображенпе 147, !48 Буняковский В.
Я 192 Виндерионд .4. 7; 3!6 Вектор ! 39 Вес 322 Вложение пространств 227 Вольтерри В. 113 Вполне ограниченное множество метрического пространства 121 Ггнно Р. 183 Гельдер О. Л. 36, 38 Гильбергн Д. 98, 201 Гильбертов кирпич 123 Гильбертово пространство 97, 98. 201 Главное значение инте~раза 79,80 Гочеоморфизм 132 трам И. 221 2я-периодическая абсолютно интегрируемая функция 19 344 Действительное линейное пространство 137, !38 Дельта-последовательность 41, 284, 285 Дельта-функция 269, 282, 283 Диаметр подмножества !05 Дини У. 24 Дирихле Л. !7 Дирик 77.
269, 274 Дифференциал Гато 184 отображения !80 Фреше !80 Дифференпируемое в точке отображение 180 — — по заланному направлению отображение 183 Единичная функция 287 Естественное вложение 215 -- отображение 209 г:окрестность !00 е-сеть !21 Замкнутая ортогональная система 239 Изометричное соответствие 99 Изометричные пространства 99 Изоморфизм 146, 159, 179 Изоморфное отображение !46, !59, 179 Изоморфные линейные пространсзва 146, 159, 179, 200 Интеграл Дирихле !7 Фурье 69 —. -- в комплексной форме 81 Интегральное уравнение Вольтсрра 113, 114 Интегралы Лапласа 86 Интервал в линейном нормированном пространстве 183 Интерполяцнонный многочлен 316 — — Лагранжа 317 Квадратурнвя формула 318, 322 , точная для многочленов данной степени 322 Класс эквивалентности 205, 206 Компакт в метрическом пространстве 120, 121 Комплексное линейное пространство 138 Конечное покрытие 127 Конечномерное линейное пространство 140 Константа вложения 227 Континуум 133 рблии О.
101, 105, 109, 192, 243, 341 Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168 — Фурье 9, 231, 233 Критерий линейной независимости элементов 221 Краиекер П. 140 Кусочно-непрерывная производная 55 Лагранж Ж.-Л, 317 Лежандр А. М. 143 Пал»аг П. 86 Пебег А. 23, 154 Лепбиич Г. 31 Лемма Л. Шварца 185, 186 Линейная комбинация элементов пространства 139 — оболочка множества 140 Линейно зависимая система векторов !39 независимая система векторов !39 Линейное отображение 145 - — пространство 192 -- с почти скалярным произвелением 192 — со скалярным произволением 192 сходнмостью 275 Линейность дифференциала 182 квадратурной формулы 322 -- преобразования Фурье 83 Линейный оператор 145 — функционал 255, 276 Лилшип Р. 37 Локальная база топологии пространства 332 Локально ингегрнруемая функция 281 Метод нвилки» 309 касательных (метод Ньютона) 312- -315 хорд 310 †3 Метрика 96 †, порожденная заданной нормой пространства 161 Метрическое пространство 96 Минимальное свойство коэффипиентов Фурье 232 Многочлены Лежандра 143 Чебышева 143, 144 Мультилинейное отобрюкение 148 Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233 Направление 334 Натуральный фильтр 333 Неподвижная точка отображенив 111 Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111 — — пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279 Непрерывный функционал 276 Неравенство Бесселя 51, 234 — Коши — Буняковского 192, 194 — Коши--Шварца 243 -- треугольника 149, 192 л-мерное пространство !40 л-мерный вектор !40 Норма 149 — билинейного отображения 176 †, иорождснная скалярным произведением 193 Нормированное линейное пространство 149 Носитель функции !2 Нулевой функционал 277 элемент 138 Ньютон И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
