kudryavtsev3a (947417), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. выполняется условие (60.69). Доказательство достаточности условия (60.69). Пусть хоеХ, у,е У и для всех элементов уе Уо выполняется условие (хо — у„у) = О. (60.71) Покажем, что элемент у„удовлетворяющий этому условию, едннствен. Действительно, пусть элемент узе У таков, что для всех ун У также выполняется условие (хо — у, у)=0; (60.72) написав тождество у,-у,+(х,— у,) — (х,— у,)=0 (60.73) и заметив, что у, — у,н У, умножим скалярно равенство (60.73) на у, — уи Тогда, в силу (60.71) и (60.72), будем иметь (у, — у„ у,— у,)=О, .
е. ~1у,-у, 1~ =о, а из этого следует, что у, =у . Выше было доказано, что элемент уо, удовлетворяющий условию (60.66), удовлетворяет и условию (60.69). Следовательно, в силу единственности такого элемента, у, =у, т. е. элемент у, является ортогональной проекцией элемента х в пространстве У. П Замечание 2. Отметим, что для любого билинейного функционала А(х, у) (билинейного отображения, см.
п. 58.7) имеет место тождество, аналогичное тождеству (60.60): А — + А — = — А (и) + -. А (о), где А(х)=А(х, х). Поэтому метод, примененный в доказательствах теорем 16 и 17, является типичным для решения задач на экстремум квадратичных функционалов А (х) в бесконечномерных пространствах. Т е о р е м а 17. Линейное пространство Х со скалярным произведением является прямой суммой всякого своего подпространства У и его ортогонального дополнения У': Х= УО+ У~.
(60.74) Доказательство. Согласно определению прямой суммы (см. п. 58.!), надо доказать, что каждый элемент хеХ уе у, ге)"т, и при этом един- представим в виде х=у+г, ственным образом. Пусть х е Х; обозначим через у н у его ортогональную аее У и положим г=х — у. Тогда, проекцию на пространство очевидно, х=у+г (60.75) и, согласно теореме 15, имеет место равенство (х — у, у) =О, или (г, у)=(х — у, у)=0, т. е. элемент г ортогонален элементу у и. следовательно, гн У". Докажем единственность разложения элемента х в сумму элементов, принадлежащих ортогональным подпространствам Х и т', Хотя она следует и из предыдущих результатов, для наглядности приведем ее прямое доказательство.
Если х=у, +е, (у, и У, г, е г'~), то, вычитая это равенство из равенства (60.75), йолучим (у — у,)+(г — г,)=0. Так как у — у,н г', г —., н Г" и, следовательно, у — утэ' г — го то из теоремы Пифагора имеем )г+5г †: ~~г 0 откуда у=у„г=г,. ) У п р а и н е н и е 5. Доказать, что если Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением и У- его полпространство, то (ут)т= у. 608. ФУНКЦИОНАЛЫ ГИЛЬБЕРГОВЫХ ПРОСТРАНСТВ При изучении линейных нормированных пространств и пространств других типов большую роль играют так называемые линейные функционалы на этих пространствах, с которыми мы встречались в случае конечномерных пространств в (см. и, 41.6).
В дальнейшем мы убедимся в существенном значении линейных функционалов на примере теории обобщенных функций, а теперь сформулируем их определение дпя случая линейных нормированных пространств. Определение 9. Линейное отображение линейного нормированного пространства в множество действительных чисел низываетсл линейным е)5ункиионалом на этом пространстве (или над этим пространством). Очевидно, что линейные функционалы линейного нормированного пространства Х являются частным случаем операторов Х- У, когда линейное нормированное пространство У' является 255 >(х)=(а, х), хнХ, (60.77) является непрерывным линейным функционалом и Щ = ( а ~~.
С л е д с т в и е. Гильбертово пространство изоморфно со своим сопряже>тым пространство.м. Доказательство. Прежде всего очевидно, что функцио- пал Г(х) =(х, а) линейный и ограниченный. Последнее следует из неравенсгва Коши — Шварца (г'(х)/=1(х, а)3< к/~ ~~ а Ц. Так как при х = а это неравенство превращается в равенство, то (см.
п. 58.6) ~К~~ = ~~ а ~~. Пусть г' — линейный ограниченный функционал на гнльбертовом пространстве Х, а У-- его ядро: ы> У= йети'= (х е Х Ях) = О). (60.78) Тогда, как это было показано в п. 60.7, множество У является подпространством пространства Х. Обозначим через г. ортогональное дополнение в Х подпространства У, т. е. 2= У~. Если Г=-О на Х, что равносильно равенству Х= У, то формула (60.76) очевидна, так как для любого хеХ имеем Г(х)=(0, х)=0, т. е. а=О. 256 множеством действительных чисел, и поэтому для линейных функционалов справедливы все понятия, введенные для линейных операторов, например их ограниченность, непрерывность, норма, и имеют место все их свойства, доказанные выше (см. п.
58.6). В частности, непрерывность и ограниченность линейного функционала эквивалентны между собой. Функционалы линейного нормированного пространства также (как и вообще операторы) образуют линейное нормированное пространство, которое называется сопряженным данному. В случае конечномерных пространств было показано, что все функционалы порождаются скалярным произведением; покажем, что аналогичное утверждение верно и для гильбертовых пространств. Теорема 13. Для всякого линейного ограниченного функционала Г действительного гильбертова пространства Х существует единственный элемент ан Х такой, что дл.ч всех .те Х выполняется равенство Лх)=( а) (60.76) причем Щ=~~ а~). Обратно: если анХ, >по отображение Пусть |фО на Х и, следовательно, Х~ ?'.
Поэтому существует такой элемент хепХ, что х„й У и, следовательно, Цх,)ФО. Согласно теореме 16, имеет место разложение ха=Ус+го, Уон 1', коиХ. Так как Г(хс)ФО, 7(ус)=0 (ибо усе ?'='кег)), то 7(хо) =7(уо+ко) =Фо)+7(ео)=Но) и, следовательно, 8И ю =-7'(с„) Ф О. (60.79) Положим з, = — '. Тогда а Выберем произвольно элемент хсХ и пусть 1'(х) = (3; то1 да (60.80) Дх — (3=,) =1'(х) — ф'(с,) = О.
Поэтому элемент х — ()а, принадлежит пространству 1'. у=х — 13к, е У. (60.81) Таким образом, х = г+ (3к8, у е ?, 1321 н У.. (60.82) Так как у2.а,, то ( =) =,(3(с ° =) (60.88) (60.83) Положим 8И а= — - —; 1= = )' (60.84) тогда 257 Таким образом, искомый элемент а найден и формула (60.76) доказана. Покажем, что такой элемент а единственный. Если элемент ЬнХ таков, что для всех хнХ выполняется равенство 2(х)= =(х, Ь), а следовательно, и (х, Ь вЂ” а) =О, то, положив х=Ь вЂ” а, получим 1Ь вЂ” а 8 =0 и, следовательно, а=Ь. П Замечание 3.
Изоморфизм гильбертова пространства с ему сопряженным имеет место и для комплексных гильбертовых пространств. 60.9*. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ В КВАДРАТЕ ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА ПЛАНШЕРЕЛЯ Если квадрат функции т' интегрируем на всей действительной оси, то сама функция Г; вообще говоря, не абсолютно интегрируема на всей оси, как это видно на примере функции г'(х) = Поэтому, на основании теории преобразования Фурье, изложенной в 8 5б„нельзя утверждать существование преобразования Фурье для функций из пространства Е,,(- со, со).
Покажем, что в этом случае можно определить йреобразование Фурье в некотором обобщенном смысле. Предварительно остановимся на определении пространства Е,,( — со, +со) для комплекснозначных функций. Пусть Г и я — две непрерывные функции с интегрируемым квадратом модуля на всей оси и принимающие, вообще говоря, комплексные значения, Их скалярное произведение определяется в этом случае по формуле (г', я) = ) /(х) я (х) 4х. Легко проверяется, что все свойства, которыми должно обладать скалярное произведение в комплексном линейном пространстве (см. п.
59.1), в этом случае выполняются. Пространство Е,2 ( — со, со ), которое мы будем рассматривать в этом пункте, определим как пополнение предгильбертова пространства непрерывных и с интегрируемым на всей оси квадратом модуля комплекснозначных функций с указанным скалярным произведением (ср. с теоремой 3 в п.
59.4). Через ~ф~ в настоящем параграфе обозначается норма элемента ) нЕ,( — со, +со), т. е. а также и полунорма 258 для функций у с интегрируемым на всей оси квадратом модуля. Выше для случая действительных функций отмечалось без доказательства (см. п. 59.4), что каждый элемент пространства 2.з можно рассматривать как класс функций. Аналогичный факт справедлив и для пространства Е комплекснозначных функций, причем полунорма 8у'8 функций г совпадает с нормой элемента пространства Ез, которому принадлежит (в смысле, аналогичном указанному в и. 59.4) функция /: Мы не будем останавливаться на доказательстве этих фактов и не будем их использовать в дальнейшем.
Комплекснозначную функцию Дх) = <р (х)+ йр (х), где <р(х) и ф (х) — действительные функции, — со < х < + со, назовем финитной ступенчатой функцией, если финитными ступенчатыми функциями являются функции у (х) и ф (х) (см. определение 7 в и. 55.2). В дальнейшем для краткости финитные ступенчатые функции будем называть просто ступенчатыми функциями. Любые две ступенчатые функции у (х) и ф (х) можно представить в виде конечной линейной комбинации одних и тех же одноступенчатых функций (см. п, 55.2), принимающих значения 1 и О. Для этого достаточно взять всевозможные непустые пересечения полуинтервалов постоянства функций р(х) и ф(х).
Эти пересечения также являются иолуинтервалами (х„о х„), )с=1, 2,..., и, на которых постоянны одновременно функции <р(х) и ф(х). Поэтому если 1, если х„, <х<х„, О, если х<х, илй х>х,, /с=1,2, ...,п, соответствующие одноступенчатые функции, то сушествуют такие действительные числа ).„, р„ = 1, 2, ..., п, что л л ~р(х) = 2 ).„ьз„(х), ф (х) = „'>" ц„св (х). к=1 в=1 Огсюда следует, что любая комплекснозначная ступенчатая функция 1(х)=д(х)+1ф(х) представима в виде 1(х)= „"~ «„ьз (х), (60.85) ь=! где «„=Х„+щ, /с=1, 2, ..., и комплексные числа. Лемма 7. Пусть 1-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
