kudryavtsev3a (947417), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рассмотрим теперь систему степеней х: 1,х,х~,...,х", В п. 58.1 было показано, что эта система линейно независима на любом промежутке числовой оси, не вырождающемся в точку, и так как входящие в нее функции, рассматриваемые на некотором отрезке 1а, Ь1, принадлежат пространствам С(а, Ь) (см, пример 6 в п. 58.3), СЕ, (а, Ь1 и Е, |а, Ь 3 (см. и. 59.4), то в этих просграйствах имеются бесконечные линейно независимые системы.
Следовательно, указанные пространства бесконечномерны, т. е. заведомо не имеют базиса, состоящего из конечного числа элементов. Если систему (60Л!) взять на отрезке [ — 1, 11 в качестве исходной системы (60.4) и применить к ней процесс ортогонализации (см. (60.5)) в пространстве Е, ( — 1, Ц, то получим последовательность ортогональных многочленов соответственно степеней О, 1, 2, .... Из сделанного выше замечания следует, что эти многочлены могут отличаться от многочленов Лежандра (60.3), которые также ортогональны, лишь постоянным множителем. ба.э.
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ ПОЛИИОМОВ ЛЕЖАНДРА Напомним (см. п, 58.5), что система элементов !2=(х„), аетт, называется полной в полунормирооанном иространсчиве Х, если множество всех конечных линейных комбинаций ее элементов плотно в пространстве Х в смысле заданной в нем полунормы. Иначе говоря, система полна, если для каждого 226 хаХ и любого а>0 существуют такие элементы х„,нй и числа Х„, (с=1, 2, ..., т, что х — ~> )ч,х„, < а, 1=1 Определение 3. Полунормированное пространство Х низывиется вложенным в полунормированное пространство У, если: 1") Хс У; 2") суи1ествует такая постоянния с>0, что для любого хи Х имеет место неравенство !)х'аг<с~!х!)х.
(60.12) Постоянная с > 0 называется констинтой вложения. Вложение пространства Х в пространство У обозначается символом ХСс У. Легко проверить, что если Хй У и Уйе., то ХСсл.. Из леммы З„п. 58.3 следует, что для любого отрезка имеют место вложения АЕ (а, Ь|йАЕ,(а, ЬЗ, АЕр(и, ЬЗ! !В(и, ЬЗйАЕг(а, Ь), 1<р<+со.
Здесь во втором вложении пространство АЕ (а, Ь~( !В(а, Ь1 рассматривается с нормой а ~~„, т. е. с нормои пространства В(а, Ь~. Если ограничиться только одними непрерывными функциями, то из второго вложения следует вложение С(а, Ь|йСЕр(и, Ь~, 1<р<+со. (60.13) Отсюда, вспоминая, что при р=2 пространство СЕ (а, ЬЗ изометрически вкладывается в пространство Е (и, Ь1 (см. (59.33)), получаем еще вложение С(а, Ь1КЕ, (а, Ь1.
(60.14) Обратим внимание на то, что во вложениях (60.13) и (60.14) вкладываемые пространства плотны в пространствах, в которые они вкладываются: в случае (60.13) это следует просто из того, что множества точек обоих пространств совпадают, а в случае (60.!4) это следует из теоремы 3 и. 59.4. Лемма 3. Если система й=(х,'1, инИ, полна в полунормированном пространстве Х, пространство Х вложено в полунормированное пространство У и множество К плотно в простринстве У по полунорме этого пространства„то система й полни в пространстве У. Доказательство.
Возьмем произвольный элемент ун У и любое а>0. В силу плотности множества Х в пространстве У, найдется такой элемент хнХ, что Поскольку система Й полна в пространстве Х, то существует конечное множество таких элементов хи и П и чисел ~.„, (с = 1, 2, ... ..., т, что я х — 2 )„х,„< —, 2г где с>0 — константа вложения Хй У В силу этого вложения (см, определение 3), х — ,"~ ).,х,„< с х- ,'~" )ч,х,„<-. В.1 ' н г(60.12) А=1 " х 2 Поэтому для первоначально выбранного нами элемента у получим У вЂ” 2„).„х„, <~~У вЂ” хат+ х — 2 ).,х, <-+-=а.
х=1 ' г х=1 '" у Это и означает плотность системы П в пространстве У. ( Примеры. 1. Система степеней (60.15) полна в пространствах С ( а, Ь 3, С1.„(а, Ь 3, 1 < р < + со и А 2 ( и, Ь 3 для любого отрезка (а, Ь). Действительно, в силу теоремы Вейерштрасса (см. теорему 8 в п. 55.8), указанная система степеней полна в пространстве С (а, Ь 3, которое, согласно (60.14), вложено в пространство 12(а, Ь3 и плотно в нем. Поэтому по лемме 3 этого пункта система степеней (60.15) полна в пространстве 1,, ~а, Ь 3 По той же лемме эта система полна и в пространстве СЕ (и, Ь3 при любом р>1, ибо С'(а, Ь3 вложено в СА (а, Ь) и плотно в нем (см.
(60.13)). Обратим внимание на то, что всякий базис в линейном нормированном пространстве является, очевидно, полной линейно независимой системой. Обратное неверно. Например, система степеней (60.15) хотя и образует полную линейно независимую систему в банаховом пространстве С ( а, Ь 3, однако не является в нем базисом: если в пространстве С[а, Ь3 некоторая функция т раскладывается по системе степеней (58.15), т.
е. ((х)= ',> а„х", то это означает, что написанный степенной а=в ряд сходится равномерно на отрезке (и, Ь3, и, следовательно, функция г аналитическая на интервале [а, Ь ]. Поэтому заведомо 228 любая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция не может быть представлена в указанном виде. 2.
Система полиномов Лежандра (см. (60.3)) Ро(х)=1, Р„(х)= —, полна в пространствах С [а Ь], СЕ [и, Ь], 1 <р < + со, и Е~ [а, Ь] для любого отрезка 1и, Ь]. Это сразу следует из того, что любой многочлен Д(х) является линейной комбинацией полиномов Лежандра (см. п. 58.1): Д (х) = 2 7 Р„(х).
(60.16) ь=о Поэтому, если в каком-то полунормированном пространстве Х полна система степеней (60.15), т. е. для любого элемента АХ и любого е) 0 существует такой многочлен Д =- Д(х), что Ц' — Я~~<с, то в силу (60.16), л — )хРь < е. х=о Это и означает полноту системы полиномов Лежандра в пространстве Х. 3. Обозначим через С* [ †, я] подпространство пространст- ва непрерывных функций С[ — я я], состоящее из функций, принимаюгцих на концах отрезка ~ — я, я] одинаковые значения: Д вЂ” и) =7' (и).
(60.17) Тригонометрическая система (60.2) 1, соях, япх, ..., сохах, гйппх, полна в пространствах СЯ [ — я, я] и Е [ — я, я]. Полнота тригонометрической системы в пространстве С*[ — я, я] была доказана раньше: см. теорему 7' в п. 55.8.
Обозначим через С [ — я, я] подпространство пространства С" [ — я, я], состоящее из таких функций Г, которые принимают на концах отрезка [ — я, я] значения, равные нулю: 7( — я)= =.1'(я)=0. Согласно теореме 3, п. 59.4 множество С [ — я, я], а следовательно, и пространство СЯ [ — я, к]~~ [ — я, я], плот- но в пространстве Е [ — я, я]. Поэтому, в силу вложения (см. (60.14)) С*[ — я, к]~ФА,[ — я, я], и леммы 3 этого пункта тригонометрическая система (60.2) полна в пространстве Е,[-я, я]. Отметим, что поскольку условие (60.17) сохраняется при 229 равномерной сходимости, и каждый тригонометрический многочлен ему удовлетворяет, то тригонометрическая система заведомо не полна в пространстве С| — я, я), так как в нем заведомо есгь функции, не удовлетворяющие условию (60.17).
Из рассмотренных примеров как простое следствие вытекает следующее утверждение. Теорема 2. Бинихово пространство С(а, 6) и гильбертово простринство й. '(а, о1 являнйтся сепирабельными простринствими. Действительно, сепарабельность пространства означает (см. определение 22 в п. 58.5) наличие в нем счетной полной системы. В указанных пространствах таковой системой является, например, система (60.15) целых неотрицательных степеней переменной х. 60.4. РЯДЫ ФУРЬЕ Пусть, как и раньше, Х вЂ” предгильбертово пространство.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана система и линейно независимых векторов е„ е„ ..., е„ пространства Х и фиксирован некоторый вектор хнХ. Требуется найти линейную комбинацию вида а,е, +...+и„е„, (60.18) которая дает наилучшее приближение в пространстве Х элемента х, т. е. осуществляет минимум выражения !! х — (а,е, + ... + а„е„) ~), (60.19) или, что то же, минимум функции л 2,~' и и х — ',й айей =~ х — ',> ийей, х — ',й ийе, (60.20) й=й й=й й=й от переменных а,, ..., а„. Геометрически это означает, что в и-мерном пространстве Я"=л.(е„..., е„), натянутом на векторы ейаХ, ..., е„иХ, ищется элемент, наименее удаленный от заданного элемента хиХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
